WPL - wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
Wielokryteriowa
optymalizacja liniowa (WPL)
Rozwiązanie optymalne zadania WPL
1. Jeżeli rozwiązanie idealne w przestrzeni kryteriów jest rozwiązaniem dopuszczalnym,
to zadanie WPL posiada rozwiązanie optymalne i jest nim obraz (wierzchołek) tego
rozwiązania w przestrzeni decyzji.
2. Jeżeli rozwiązanie idealne w przestrzeni kryteriów nie jest rozwiązaniem
dopuszczalnym, to zadanie WPL nie posiada jednoznacznego rozwiązania
optymalnego.
Rozwiązaniem optymalnym WPL będzie wówczas dowolne rozwiązanie sprawne,
które będzie rozwiązaniem kompromisowo-optymalnym.
Wybrane metody generowania rozwiązań sprawnych
(skalaryzacja WPL)
Rozwiązanie sprawne zadania WPL możemy otrzymać między innymi poprzez:
1. „ściągnięcie” punktu idealnego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni
kryteriów,
2. użycie dowolnej z K funkcji celu (rozwiązanie zadania jednokryterialnego),
3. „ważenie” wszystkich funkcji celu,
4. ustalenie dla K-1 kryteriów satysfakcjonujących poziomów,
5. hierarchizację kryteriów,
6. wykorzystanie podejścia optymalizacji celowej,
7. wykorzystanie metody interaktywnej,
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[2]
1. Wykorzystanie rozwiązania idealnego
Metoda polega na znalezieniu w zbiorze rozwiązań niezdominowanych (przestrzeń
kryteriów) takiego rozwiązania niezdominowanego, które będzie najbliższe rozwiązaniu
idealnemu (metryka euklidesowa).
Ponieważ zbiór rozwiązań niezdominowanych jest podzbiorem rozwiązań
dopuszczalnych w przestrzeni decyzji (zbiór wypukły), to zagadnienie poszukiwania
odpowiedniego rozwiązania w przestrzeni kryteriów można przedstawić jako następujące
zadanie optymalizacji nieliniowej: „znajdź punkt najbliższy idealnemu należący do zbioru
rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów” (por. rysunek 8).
PRZYKŁAD 4
Dla sytuacji decyzyjnej z przykładu 3 znajdź rozwiązanie stosując podejście „ściągania”
punktu idealnego.
Rys. 8. Ilustracja „ściągania” rozwiązania idealnego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych
w przestrzeni kryteriów zadania WPL w przykładzie 2
W celu zbudowania stosownego zadania optymalizacji nieliniowej oznaczmy:
 j - współczynniki wypukłej kombinacji liniowej wektorów współrzędnych punktów
wierzchołkowych zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów
j  A' , B' , C' , D'
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[3]
 y1 j 
 y  - wektory współrzędnych współrzędnych punktów wierzchołkowych zbioru
 2j
rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów j  A' , B' , C' , D'
 y1I 
 y  - wktor współrzędnych punktu idealnego (I),
 2I 
 y1NN 
 y  - wektor współrzędnych punktu „najbliższego” niezdominowanego (NN)
 2 NN 
Zadanie optymalizacji nieliniowej minimalizujące odległość rozwiązania idealnego od
zbioru rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów jest następujące:


1
2 2
w    y1NN  42400  y2 NN   64000
2
 min
 27200
 40000
 42400
 16000  y1NN 






B' 
C' 
D' 



  y 

70400

96000

112000

64000







  2 NN 
 A' 
 A '   B '   C'   D'  1
 A'  0,  B'  0, C'  0,  D'  0
Rozwiązanie powyższego problemu1 prowadzi do rozwiązania niezdominowanego
 27680
 . Powstaje ono jako
„najbliższego” rozwiązaniu idealnemu. Ma ono postać: 
 71360
liniowa kombinacja wypukła wierzchołków A’ oraz B’. Optymalne wartości
współczynników kombinacji liniowej wynoszą:  A ' 
77
3
,  B '  ,  C'  0,  D'  0 .
80
80
W celu wyznaczenia „odpowiednika” w przestrzeni decyzji wykorzystamy te
współczynniki i wygenerujemy kompromisowo-optymalną decyzję WPL z przykładu 2.
16
 0
32
80
15,4 

 

 

 A '     B '     C'     D'    
48
80
72
0
49,2



Jest to rozwiązanie sprawne (Pareto-optymalne) leżące na krawędzi
rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji.
Kompromisowo-optymalne rozwiązanie WPL jest następujące:
 Proces P1 - 15,4 godziny,
 Proces P2 - 49,2 godziny.
Optymalne wartości funkcji celu są następujące:
 Zysk - 27680 $,
 Koszty - 71360 $.
1
Użyto narzędzia Solver w Excel z MS Office.
AB zbioru
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[4]
2. Wykorzystanie indywidualnych funkcji kryterialnych
Użycie jednokryterialnych zadań PL prowadzi również do wskazania rozwiązań
sprawnych (Pareto-optymalnych). Omówimy to na podstawie modelu WPL z przykładu 2.
z1 
200 x1
z '2   800 x1

500 x2

max
( zysk )
 1200 x2

max
(koszty)
100 x1

50 x2
 4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2
 2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
x1  0
,
x2  0
Jeżeli użyjemy tylko funkcji ”zysk”, to jako optymalne wskazane zostanie rozwiązanie
niezdominowane C’. W przestrzeni decyzji odpowiednikiem będzie rozwiązanie sprawne
C.
Jeżeli natomiast użyjemy tylko funkcji „- koszty”, to jako optymalne wskazane
zostanie rozwiązanie niezdominowane D’. W przestrzeni decyzji odpowiednikiem będzie
rozwiązanie sprawne D.
Rys. 9. Ilustracja zbioru rozwiązań sprawnych (przestrzeń decyzji) i zbioru rozwiązań
niezdominowanych (przestrzeń kryteriów) zadania WPL w przykładzie 2.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[5]
3. Wykorzystanie współczynników wagowych
Kolejnym wariantem użycia jednokryterialnego zadania PL prowadzącego do
wskazania rozwiązania sprawnego (Pareto-optymalnego) jest skonstruowanie jednej funkcji
kryterialnej w miejsce K funkcji celu zadaniaWPL. Jeżeli decydent jest w stanie podać
proporcje w jakiej pozostają względem siebie kryteria, to można sformułować jedną funkcję
celu za pomocą tzw. współczynników wagowych (wag).
Załóżmy, że w przykładzie 2 decydent określił proporcje ważności pomiędzy zyskiem
a kosztami na 7:3. Prowadzi to do następującej pojedynczej funkcji celu:
W x1 , x2   7  z1
 3  z '2
 max
Funkcja W powstaje następująco:
7  z1 
7  200 x1

3  z '2  3   800x1
7  500 x2
 3   1200x2
W x1 , x2   1000 x1
 max
( zysk )
 max
(koszty)
 100 x2
 max
Użycie wagowej funkcji celu W prowadzi do rozwiązania sprawnego (Paretooptymalnego) w punkcie B zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji.
W przestrzeni kryteriów odpowiada on rozwiązaniu niezdominowanemu B’.
4. Wykorzystanie satysfakcjonujących poziomów dla K-1 kryteriów
Kolejny wariantem użycia jednokryterialnego zadania PL w miejsce WPL prowadzący
do rozwiązań sprawnych polega na zamianie K-1 funkcji celu na ograniczenia gwarantujące
osiągnięcie satysfakcjonujących decydenta poziomów kryteriów i na rozwiązaniu WPL ze
względu na jedną wybraną funkcję celu.
Załóżmy, że w przykładzie 2 decydenta satysfakcjonuje kwota zysku na poziomie co
najmniej 40000$. W takiej sytuacji wystarczy rozwiązać następujący model optymalizacji
jednokryterialnej:
z '2   800 x1
 1200 x2

max
(koszty)
100 x1

50 x2

4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2

2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
200 x1

500 x2
 40000
( zysk min)
x1  0
,
x2  0
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[6]
Rozwiązaniem optymalnym dla powyższego przykładu jest rozwiązanie sprawne B. W
przestrzeni kryteriów odpowiednikiem będzie rozwiązanie niezdominowane B’.
Rys. 10. Ilustracja zbiorów rozwiązań dopuszczalnych w przykładzie ze satysfakcjonującym
poziomem zysku (40000$) – zacienione obszary.
5a. Hierarchizacja kryteriów (ścisła)
Hierarchizacja kryteriów polega na ponumerowaniu (przenumerowaniu) funkcji
kryterialnych i przyporządkowaniu ich do określonych poziomów hierarchii ważności
według zasady: im niższy nowy numer kryterium, tym jest ono ważniejsze. Inaczej: im
niższy nowy numer kryterium, tym niższy (ważniejszy) numer poziom hierarchii.
Rozwiązywanie zhierarchizowanego zadania WPL odbywa się sekwencyjnie.
W pierwszym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu
numer 1.
W następnym kroku rozszerzamy zbiór ograniczeń o warstwicę funkcji celu dla
optymalnej wartości funkcji celu z poprzedniego kroku i rozwiązujemy jednokryterialne
zadanie PL z funkcją celu z drugiego poziomu hierarchii.
W kolejnych krokach postępujemy analogicznie jak w kroku poprzednim używając
funkcji celu z kolejnych (aktualnych) poziomów hierarchii i roszerzając zbiór ograniczeń o
warstwice funkcji celu ze wszystkich poprzednich poziomów hierarchii (optymalne ich
wartości).
Zatem z kroku na krok rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL o coraz
większej liczbie dodatkowych ograniczeń.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
PRZYKŁAD 5 (3-kryterialne zhierarchizowane WPL)
Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie 1 szef produkcji poszukuje takiej
kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile
P2), aby osiągnąć:
1. maksymalny zysk,
2. maksymalną ilość paliw X i Y oraz
3. minimalny koszt.
Załóżmy, że numeracja kryteriów odpowiada tutaj hierarchii ważności kryteriów.
Zadanie WPL ma tutaj postać:
z1 
200 x1

500 x2

max
( zysk )
z2 
130 x1

90 x2

max
( paliwa )
 1200 x2

max
(koszty)
z '3   800 x1
100 x1

50 x2
 4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2
 2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
x1  0
,
x2  0
W pierwszym kroku rozwiązywane jest następujące jednokryterialne zadanie PL
z funkcja celu „zysk” z pierwszego poziomu hierarchii:
z1  200 x1
 500 x2

max
( zysk )
100 x1

50 x2
 4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2
 2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
x1  0
,
x2  0
Rozwiązanie zadania z pierwszego poziomu hierarchii odpowiada w przestrzeni
decyzji wierzchołkowi C. (por. np. rysunek 9). Wiąże się z nim wartość zysku równa
42400$.
W drugim poziomie hierarchii warstwica funkcji zysku na poziomie kwoty 42400$
rozszerza podstawowy zbiór ograniczeń wyjściowego zadania WPL. Model decyzyjny
drugiego poziomu hierarchii z funkcją celu „paliwa” jest następujący:
[7]
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
z 2  130 x1

90 x2

max
( paliwa )
100 x1

50 x2

4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2

2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
 42400
( zysk )
 500 x2
200 x1
x1  0
[8]
x2  0
,
Rozwiązanie zadania z drugiego poziomu hierarchii odpowiada w przestrzeni decyzji
również wierzchołkowi C. Wiąże się z nim ilość paliw równa 10640 galonów.
W trzecim poziomie hierarchii warstwica funkcji paliw na poziomie 10640 galonów
rozszerza zbiór ograniczeń zadania z poziomu drugiego. Model decyzyjny trzeciego poziomu
hierarchii z funkcją celu „-koszty” jest następujący:
z '3   800 x1
 1200 x2

max
(koszty)
100 x1

50 x2

4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2

2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
200 x1

500 x2
 42400
( zysk )
130 x1

90 x2
 10640
( paliwa )
x1  0
,
x2  0
Rozwiązanie zadania z trzeciego poziomu hierarchii odpowiada w przestrzeni decyzji
również wierzchołkowi C. Wiążą się z nim koszty w kwocie 112000 $.
Rozwiązanie kompromisowo-optymalne WPL w tym przykładzie jest następujące:
proces P1 - 32 godziny,
proces P2 – 72 godziny,
zysk – 42400 $,
paliwa – 10640 galonów oraz
koszty – 112000 $.
Uwaga !!! Rozwiązanie uzyskane podejściem hierarchizacji kryteriów (ścisłej) jest
zawsze rozwiązaniem sprawnym.
5b. Hierarchizacja kryteriów (quasi)
Jeżeli w postępowaniu ścisłej hierarchizacji nowo dołączane (od kroku 2) ograniczenia
w postaci równości zastąpimy nierównościami z prawymi stronami na poziomie nieco
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[9]
niższym od maksymalnych, to postępowanie takie będzie odpowiadało tzw. quasihierarchizacji.
Takie postępowanie jest podobne do opisanego postępowania, w którym w charakterze
ograniczeń wprowadzaliśmy satysfakcjonujące poziomy kryteriów. Jedyna różnica polega
tutaj na kolejności wprowadzania takich restrykcji.
Rozpatrzmy przykład 5 i ustalmy w imieniu decydenta, że będą nas satysfakcjonowały
90%-owe poziomy maksymalnych wartości kryteriów na K-1 pierwszych stopniach
hierarchii.
Przy takich założeniach na drugim stopniu hierarchii rozwiązywać będziemy model:
z 2  130 x1

90 x2

max
( paliwa )
100 x1

50 x2

4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2

2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
 0,9  42400
( zysk )
 500 x2
200 x1
x1  0
x2  0
,
Rozwiązaniem będzie tutaj punkt C z wartością funkcji celu 10640 galonów.
Z kolei na trzecim stopniu hierarchii rozwiązywanym będzie model:
z '3   800 x1
 1200 x2

max
(koszty)
100 x1

50 x2

4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2

2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
200 x1

500 x2
 0,9  42400
( zysk )
130 x1

90 x2
x1  0
,
x2  0

0,9 10640
( paliwa )
Rozwiązaniem będzie tutaj punkt Q w przestrzeni decyzji o następujących
współrzędnych: proces P1 – 28,8 godziny oraz proces P2 – 64,8 godziny. Wartości funkcji
celu będą następujące: zysk - 38160 $, paliwa - 9576 galonów oraz koszty - 10080 $.
Uwaga !!! Rozwiązanie uzyskane podejściem quasi-hierarchizacji kryteriów nie musi
być rozwiązaniem sprawnym.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[10]
6. Wykorzystanie hierarchicznej optymalizacji celowej
Decydent może wskazać dla każdego kryterium cele do osiągnięcia. W ogólności cele
mogą być formułowane punktowo (wartość liczbowa kryterium) lub przedziałowo (nie mniej
niż lub nie więcej niż założony poziom). Ten ostatni wariant formułowania celów możemy
sprowadzić do pierwszego (punktowego) poprzez równania bilansujące cele i nałożenie
odpowiednich kar za odstępstwa od ich realizacji.
Zróżnicowanie celów osiąga się poprzez hierarchizację celów oraz odpowiednie ich
„ważenie”.
Na każdym poziomie hierarchii rozwiązywane jest jednokryteriowe zadanie PL, w
którym w charakterze ograniczeń używane są wszystkie ograniczenia zadania WPL oraz
równania bilansujące cele. Począwszy od drugiego poziomu hierarchii zbiór ograniczeń jest
powiększany o optymalną warstwicę funkcji celu z poprzedniego poziomu hierarchii.
Funkcja celu na danym poziomie hierarchii jest ściśle powiązana wyłącznie z celami
tego poziomu.
Ogólna postać równań bilansujących dla każdego z K kryteriów jest następująca:
ci1x1
   cin xn
 si
 si
 celi
i  1,, K
gdzie
celi
- kwota i-tego celu
si
- niedoszacowanie kwoty i-tego celu
si
- nadszacowanie kwoty i-tego celu
PRZYKŁAD 6 (2-poziomowa hierarchiczna optymalizacja celowa)
Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie 1 szef produkcji poszukuje takiej
kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile
P2), aby:
1. pierwszy poziom hierarchii
osiągnąć zysk na poziomie co najmniej 40000$ (kara za niedoszacowanie o 1 $ =10$)
oraz nie przekroczyć kosztów na poziomie 90000 $ (kara za przekroczenie o 1 $ =5$).
2. drugi poziom hierarchii
osiągnąć produkcję na poziomie co najmniej 9000 galonów (kara za niedoszacowanie
o 1 galon =8$)
Wszystkie 3 cele w przykładzie 6 są celami przedziałowymi.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[11]
Model pierwszego poziomu hierarchii jest następujący:
10s1
S
 5s3

min
100 x1
 50 x2

4000 ( paliwo X )
30 x1
 40 x2

2400
( paliwo Y )
x1
 4 x2

320
(ropa A)
3x1
 2 x2

240
(ropa B)
 40000
( zysk )
200 x1
 500 x2
130 x1
 90 x2
800 x1
 1200 x2
x1  0,

1
s

1
s
s

2
s

2

 s3
 s3
9000
( paliwa )
 90000
(koszty)
x2  0, s1  0, s1  0, s 2  0, s 2  0, s3  0, s3  0
Jego rozwiązanie optymalne daje wartość funkcji celu S=30000 „ważonych” $ .
Model drugiego poziomu hierarchii jest następujący:
8s 2
S

min
100 x1
 50 x2

4000 ( paliwo X )
30 x1
 40 x2

2400
( paliwo Y )
x1
 4 x2

320
(ropa A)
3x1
 2 x2

240
(ropa B)
200 x1
 500 x2
 40000
( zysk )
130 x1
800 x1
 s1
 90 x2
s
 1200 x2

2
s

2

s

1
10 s
x1  0,
 s1

3
s
 5s

3

3
x2  0, s1  0, s1  0, s 2  0, s 2  0, s3  0, s3  0
Rozwiązanie modelu z drugiego poziomu hierarchii jest następujące:
wartość funkcji kryterialnej S - 14400 „ważonych” $.
proces P1 – 0 godzin
proces P2 – 80 godzin,
kwota zysku dokładna (40000$),
kwota kosztów przeszacowana o 6000$ (96000$) oraz
ilość paliw niedoszacowana o 1800 galonów (7200 galonów).
9000
( paliwa )
 90000
(koszty)
 30000
( poziom 1)
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[12]
7. Wykorzystanie metody interaktywnej
Idea metody interaktywnej polega na rozwiązywaniu zadań jednokryterialnych w
każdej iteracji. Zadania te mają oryginalny zbiór ograniczeń zadania WPL, który
wzbogacany jest dodatkowymi żądaniami dla każdego z K kryteriów – poziomy aspiracji
(por. metoda satysfakcjonujących poziomów). Rozwiązując jednokryterialne zadanie PL
możemy wyliczyć wartości funkcji celu dla pozostałych K-1 kryteriów. W ten sposób dla
wszystkich kryteriów możemy w danej iteracji ustalić dwie skrajne wartości: pesymistyczną
i optymistyczną.
W tabeli 1 pokazano wartości każdej funkcji kryterium uzyskane na podstawie
rozwiązań jednokryterialnych (dane z przykładu 5).
Tabela 1. Oszacowania kryteriów w przykładzie 5 uzyskane po pierwszej iteracji w metodzie
interaktywnej.
wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego
jednokryterialnego PL
użyte funkcje
zysk
paliwa
-koszty
celu
zysk
42400
10640
-112000
paliwa
42400
10640
-112000
-koszty
16000
10400
-64000
ocena kryterium („widełki”)
pesymistyczna
16000
10400
-112000
poziom aspiracji
?
?
?
optymistyczna
42400
10640
-64000
Decydent ustala dla każdego kryterium swoje poziomy aspiracji (pomiędzy oceną
pesymistyczną i optymistyczną). Następnie konstruuje K nowych ograniczeń i dołącza je do
oryginalnych ograniczeń zadania WPL.
Przypuśćmy, że poziomy te ustalono na poziomie połowy wartości między wartością
optymistyczną, a pesymistyczną dla funkcji zysk, pesymistycznej wartości dla funkcji ilość
paliwa oraz koszty i dołączono w związku z tym następujące dodatkowe ograniczenia:
200𝑥1 + 500𝑥2 = 29200
130𝑥1 + 90𝑥2 = 10400
800𝑥1 + 1200𝑥2 = 112000
Otrzymano wyniki i ustalono nowe poziomy aspiracji uwzględniając uzyskane
poziomy pesymistyczne i optymistyczne:
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
[13]
wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego
jednokryterialnego PL
użyte funkcje
celu
zysk
paliwa
-koszty
zysk
paliwa
-koszty
42400
42400
29200
-112000
-112000
-87591,49
pesymistyczna
poziom aspiracji
optymistyczna
29200
29200
42400
10640
10640
10400
ocena kryterium („widełki”)
10400
10520
10640
-112000
-112000
-87591,49
W kolejnej (drugiej) iteracji ponownie rozwiązywane są jednokryteriowe zadania PL,
tworzone są dla każdego kryterium oceny pesymistyczne i optymistyczne, a następnie na ich
podstawie decydent ustala nowe poziomy aspiracji.
Powyższe postępowanie prowadzi się tak długo, aż w pewnej iteracji wektory
oszacowań (pesymistycznych i optymistycznych) nie ulegną zmianie w stosunku do
poprzedniej iteracji. Procedurę można też przerwać na życzenie decydenta, który uzna, że
satysfakcjonuje go jedno z dotychczasowych rozwiązań.
W dalszym postępowaniu otrzymano następujące wyniki i przyjęto nowy poziom aspiracji
dla funkcji koszty:
wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego
jednokryterialnego PL
użyte funkcje
celu
zysk
paliwa
-koszty
zysk
paliwa
-koszty
42400
42400
29200
-112000
-112000
-88000
pesymistyczna
poziom aspiracji
optymistyczna
29200
29200
42400
10640
10640
10520
ocena kryterium („widełki”)
10520
10520
10640
W rezultacie otrzymano wyniki:
-112000
-100000
-88000
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2
wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego
jednokryterialnego PL
użyte funkcje
celu
zysk
paliwa
-koszty
pesymistyczna
poziom aspiracji
optymistyczna
zysk
paliwa
-koszty
35914,29
35800
29200
10520
-100000
10580
-100000
10520
-88000
ocena kryterium („widełki”)
29200
10520
-100000
?
?
?
35914,29
10580
-88000
I wskazano rozwiązanie na poziomie wartości optymistycznej zysku uznając je za
satysfakcjonujące. Wartości zmiennych decyzyjnych zostały ustalone na poziomie:
x1=43,14, x2=54,57
[14]