Górny, z lewej strony Górny, środkowy Górny, z prawej

Górny, z lewej strony
Przekątna
√ podstawy (kwadratu)
√ jest równa d, a bok podstawy jest równy c, co daje związki:
d = c 2 i na odwrót: c = d 2/2 i pozwala wypełnić pola zaznaczone czerwonym kolorem.
Oznaczmy przez h wysokość graniastosłupa. Wtedy, z tw. Pitagorasa:
b2 = c2 + h2 oraz a2 = d2 + h2 czyli, po odjęciu tych równań stronami:
a2 − b2 = d2 − c2 , co pozwala w następnej kolejności uzupełnić pola oznaczone kolorem zielonym.
a
b
c
d
8
?
4
?
√
5 2
?
?
6
?
4
?
√
3 2
a
b
c
d
√
5 2
?
√
3 2
6
8
?
4
√
4 2
?
4
3
√
3 2
a
b
c
d
8
√
4 3
4
√
4 2
√
5√2
4√2
3 2
6
5
4
3
√
3 2
Górny, środkowy
Przekątna sześciokąta jest dwukrotnie dłuższa od jego boku czyli a = 2c i odwrotnie c = a/2.
To pozwala wypełnić pola zaznaczone na czerwono.
Z tw. Pitagorasa mamy b2 = a2 + d2 = 4c2 + d2 . Ten związek pozwala uzupełnić zielone pola.
a
b
c
d
12
?
?
5
?
10
?
6
?
?
5
2
a
b
c
d
12
?
6
5
?
10
?
6
10
?
5
2
a
b
c
d
12
13
6
5
8
10
4
6
10
√
2 26
5
2
Górny, z prawej strony
To może być źle, bo nie widzę “d” na rysunku. Niewykluczone, że d to wysokość graniastosłupa, tylko
nie wyszło na zdjęciu. Poniżej tak właśnie zakładam.
Przekątna b ściany bocznej z tw. Pitagorasa spełnia związek: b2 = c2 + d2
To pozwala wypełnić czerwone pola w tabelce.
Z przekątną “a” jest trudniej bo zauważ, że jej rzut na podstawę nie jest najdłuższą przekątną podstawy lecz łączy dwa wierzchołki podstawy odległe o 1 wierzchołek. Jak sobie narysujesz sześciokąt
i tą przekątną to okaże się, że jej długość L jest podwojoną wysokością trójkąta równobocznego
o boku “c”,
√ czyli: √
L = 2 · c 3/2 = c 3 więc L2 = 3c2 , co daje nam z tw. Pitagorasa wzór
d2 = a2 − L2 = a2 − 3c2 . Pozwala to wypełnić (zielone) pole d w ostatniej kolumnie i następnie pole
b ze wzoru na kwadrat b.
Ten sam wzór: a2 = d2 + 3c2 umożliwia wypełnienie (niebieskich) pozycji w tabelce.
a
b
c
d
√?
5
2
?
?
5
?
4
13
?
5
?
a
b
c
d
√?
5
2
1
?
5
3
4
13
?
5
?
a
b
c
d
√
√13
5
2
1
√
43
5
3
4
√13
94
5
√
94