Matematyka ubezpieczeń majątkowych

 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech T
T 0 gdy
T 1 T 2 T
Y a czasem jej likwidacji T
!"
j
Pr T j E Y T j 0
0.4
10
1
0.3
15
2
0.2
20
3
0.1
30
Ani T, ani Y
Niech nt !
t. Mamy dane na ten temat z
roku t 0 oraz kilku lat poprzednich:
t
nt
t0
100
t0 1
80
t0 2
60
t0 3
40
Oznaczmy literami A i B
#
A - szko
$
$ t 0 3
do t 0 t 0 B -
$
ach od t 0 3
do t 0 t 0
%
$$
(A)
1.00
(B)
1.17
(C)
1.33
(D)
1.50
(E)
1.67
1
E Y A
wynosi:
E Y B 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
&$X i YZ ma
$
#
COV ( X , Y / Z ) 2 Z ,
E ( X / Z ) 3Z ,
E (Y / Z ) Z ;
Z w populacji ryzyk daj
!
logarytmiczno- ln Z $
1
, 2 0,
.
10 COV ( X , Y ) '"#
(A)
2.00
(B)
2.15
(C)
2.30
(D)
2.45
(E)
2.50
2
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa:
(przyjmujemy S 0 N 0 )
S Y1 ... YN ,
#
k 1
1
Pr N k ,
k 0,1,2,...
2
(
Y k 0,1,...,5 (
Pr S k .
k
Pr Y k Pr S k 0
0
0.50000
1
0.2
0.05000
2
0.3
0.08000
3
0.1
0.04050
4
0.2
0.06855
5
0.1
0.04693
6
0.1
?
Pr S 6 '"#
(A)
0.0425
(B)
0.0450
(C)
0.0475
(D)
0.0500
(E)
0.0525
3
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
)
!*
#
u x const exp( x)
+
w 1 X:
1
Pr X 1 1 Pr X 0 5
&*
X
d 0, 1 za c#
5
Pd E X d 4
! d * parametru kontraktu d!
maksimum, wynosi:
(A)
d* 0
(B)
d * ln
3
2
(C)
d * ln
4
3
(D)
d * ln
5
4
(E)
d * 1 (brak ubezpieczenia)
4
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
W momencie t 0 procesem Poissona t , a o parametrze zmiennej losowej o , , #
f 1 exp ,
z parametrami: 2 , 10 .
&
t 0 t1 ! pod
t1 t 0 2 , wynosi:
(A)
6
24
(B)
6
25
(C)
5
24
(D)
5
25
(E)
4
24
5
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
- ! X z pewnego ryzyka
-
, FY / !
oczekiwana pojedynczej szkody Y dana jest wzorem:
E Y 10 1 2 .
Parametr ryzyka , , #
1 exp ,
z parametrami: 4 , 20 .
E X wynosi:
f (A)
2.80
(B)
2.85
(C)
2.90
(D)
2.95
(E)
3.00
6
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
.!
(
$
komponentów:
X 0 -
($
X 1 -
($
$
-
#
$
ryzyka :
E X 0 m1 p
VAR X 0 m2 p
E X 1 m1 q ,
VAR X 1 m2 q ,
COV X 0 , X 1 0
oraz o bezwarunkowym ro :
E ,
VAR L2
1 q p 0,1 oraz (dodatnich) parametrów
m1 , m2 , oraz L2 .
-
X 0 X 1
#
1
BLP X 1 X 0 q z X 0 1 z m1 .
p
z liniowych, jest postaci:
L2 p m12
L2 p m12 m2
(A)
z
(B)
L2 p m2
z 2
L p m2 m12
(C)
z
(D)
L2 m2
z 2
L m2 2 p m12
(E)
z
L2 m12
L2 m12 p m2
L2 p m2
L2 p m2 2 m12
7
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
&
skretnym postaci:
U n u c n S n , n 0,1,2,...
gdzie S n W1 W2 ... Wn $$
#
W).
c za portfel ryzyk gener!
W
(
!
exp( Ru ) , gdzie R to adjustment coefficientu
-W posiada funkc
$
"
W , natomiast wyrazy
$*
pomijalne.
-e:
$
zmiennej W:
u 2 W ,
(
# exp(3)
*
#
c E W W a 0 a1 W parametr a1 *
#
(A)
a1 3
2
(B)
a1 3
8
(C)
a1 9
8
(D)
a1 3
4
(E)
a1 9
16
8
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
!
Y-
#
3
10 dla y 0 ,
FY y 1 10 y FY y 0 dla y 0 .
oraz
&
U t w czasie
/
-
!
"
#
5
c E Y .
4
-
.
Niech T inf t : t 0, U t 0 oznacza moment czasu, w którym dochodzi do
ruiny (przyjmujemy T t 0 "
Niech funkcja:
G h Pr T U T h , h 0
(
*
!h.
! G 2 wynosi:
(A)
23
(B)
35
(C)
59
(D)
12
(E)
49
9
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
&
#
U n u c n S n , n 0,1,2,...
gdzie S n W1 W2 ... Wn $$
#
W"$ Pr W 0 1 .
0 c E W . Wobec tego ruina jest pewna.
Niech T u oznacza czas ruiny:
T u inf n : n 0,1,2,..., U n 0,
E T u oczekiwany czas ruiny (traktowany explicite jako funkcja zmiennej u).
1$u zachodzi E T u 0 .
)$u funkcja E T u !#
(A)
E T u u c
E T u c x dF x W
0
(B)
E T u 1 u c
E T u c x dF x W
0
(C)
E T u 1 FW u c uc
E T u c x dF x W
0
(D)
E T u 1 FW u c FW u c uc
E T u c x dF x W
0
(E)
E T u 1 FW u c FW u c uc
1 E T u c x dF x W
0
Wskazówka#&# U 1 0 oraz U 1 0
10
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.
Matematyka Arkusz odpowiedzi*
2
...................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
1'
D
D
E
C
A
E
A
B
C
B
Punktacja
Arkuszu odpowiedzi.
11