2000.01.15 - Matematyka Finansowa

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 stycznia 2000 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie nr 1
v
1
1− vn
,
=
Þ an = v ⋅
1− v i
1− v
1
1
1
vn
=i⋅
,
=
i
⋅
an
sn
1− vn
1− vn
sn =
(1 + i ) n − 1
i
æ 1
1
1
vn ö
÷=i
a)
−
= i ⋅ çç
−
n
an sn
1 − v n ÷ø
è1− v
b) a = a&&n = a n ⋅ (1 + i ), b = &s&n = s n ⋅ (1 + i )
Z a) i b) mamy:
1
1
1+ i 1+ i
−
=
−
⋅ (ab)
a
b
a
b
1+ i 1+ i
a ⋅ b ⋅ i = (1 + i ) ⋅ (b − a )
i
b−a
d=
=
i +1
ab
i=
Zadanie nr 2
Opłata pobierana przez poŜyczkodawcę wynosi: 3% ⋅ 150000 = 4500
X - rata
1 − v 25
150000 = X ⋅
→ X =?
0,11
X ⋅ a 2 3 - dług po zapłaceniu drugiej raty
Wprowadźmy oznaczenie: v1 =
1
, gdzie i to rozwiązanie zadania
1+ i
Mamy równanie:
150000 − 4500 = X ⋅ v1 + ( X + X ⋅ a 23 ) ⋅ v12
Stąd obliczamy ∆ w powyŜszym równaniu kwadratowym i wyznaczamy v1
Ostatecznie: i =
1 − v1
≈ 12,8%
v1
Zadanie 3
Niech K - szukana cena obligacji
1 − v 40
+ 1050 ⋅ v 40 = 1250 − 1250 ⋅ v 40 + 1050 ⋅ v 40 = 1250 − 200 ⋅ v 40
0,04
Teraz przekształćmy odpowiedź III:
K = 50 ⋅
III = 1050 ⋅ v 40 + 1250 − 1250 ⋅ v 40 = 1250 − 200 ⋅ v 40 = K ≠ II - OCZYWISTE
Z tego wynika, Ŝe III prawdziwa, II nie
Sprawdzamy I:
1 − v 40
= 1000 + 200 ⋅ 1 − v 40 = 1200 − 200 ⋅ v 40 ≠ II
0,04
Ostatecznie prawdziwa jest tylko odpowiedź III
(
I = 1000 + 8 ⋅
)
Zadanie 4
R = ò m ⋅t3 ⋅e
6
−
t 8
ò k ⋅s ds
0
dt =
0
(
m
⋅ 1 − e −324⋅k
k
)
Zadanie 5
I - obecna wartość renty
I = v + 2 ⋅ v 2 + 3v 3 + .....
I
= 1 + 2v + 3v 2 + ....
v
Odejmujemy równania stronami:
1
1+ i
æ1 ö
I ⋅ ç − 1÷ = 1 + v + v 2 + ..... =
=
1− v
i
èv ø
1+ i
1+ i
I ⋅i =
→ I = 2 - dobrze jest znać takie wielkości na pamięć
i
i
(i)
oczywiste Ŝe nie
1
2
1− d
1 + i = (1 + i ) = 1 + i
(ii)
tak, bo:
=
d2
i2
i 2 ⋅ (1 + i )
i2
(iii)
= 1+ i +
1
1+ i
(1 + i )2
(1 + i )2 + 1
=
1+ i
- oczywiste, Ŝe nie
Zadanie 6
X - wartość wykupu
Obligacji P musi być o jeden więcej niŜ obligacji Q poniewaŜ róŜnica musi dawać wartość
wykupu równą X.
P = 40a n + Xv n
Q = 30a n + Xv n
R = 80a n + Xv n
(
)
(
)
5 P − 4Q = 5 ⋅ 40a n + Xv n − 4 ⋅ 30a n + Xv n = 80a n + Xv n = R
Zadanie 7
d
1
(d ) =
= v 2 tak
2
di
(1 + i )
d
1
(ii ) δ = − ln v → (δ ) = − tak
dv
v
(i ) d =
i
1+ i
(iii ) A(t ) = exp( ò δ s ds
t
0
A (t ) = A(t ) ⋅ δ t
'
A '' (t ) = A ' (t ) ⋅ δ t + A(t ) ⋅ δ t' = A(t ) ⋅ δ t2 + A(t ) ⋅ δ t'
: A(t )
A '' (t )
= δ t2 + δ t' → (iii )nie
A(t )
Zadanie 8
ò t ⋅ (10 − t )e
10
d =
ò (10 − t )e
0
10
− ln(1, 05 ) t
− ln(1, 05 ) t
dt
≈ 3,07 ≅ 3.1
dt
0
Zadanie 9
x - cena zapałki
Zakładamy, Ŝe cena zakupu wyznaczona jest przy stopie 10% tzn:
50000 = (1000 x − 10000)a10
x=
50
+ 10
a10
Korzystając z zasady równowaŜności kapitałów mamy:
50000 + (10000 − 1000 x)a10 = 10000 + (15000 − Kx)a 5 → K ≈ 972 ≈ 970
Zadanie 10
K=2000 - poŜyczka
ODSETKI = 0,1 ⋅ 2000 + 0,1 ⋅ 1900 + ..... + 0,1 ⋅ 100 = 2100
ODSETKI 2 = 0,1 ⋅ 2000 + 0,1 ⋅ 1800 + ..... + 0,1 ⋅ 200 = 1100
ODP = ODSETKI − ODSETKI 2 = 2100 − 1100 = 1000