Nieliniowa Analiza Funkcjonalna Grzegorz Karch Zadanie 1

Lista Zadań Nr 1
Nieliniowa Analiza Funkcjonalna
24 lutego 2015 r.
Grzegorz Karch
Zadanie 1. Udowodnij, że zbiór funkcji ciaglych C([a, b]) z norma kuk = maxx∈[a,b] |u(x)|
‘
‘
jest przestrzenia Banacha.
‘
Zadanie 2. Dane jest odwzorowanie F : IRn → IRn klasy C 1 . Zaproponuj zalożenia na
funkcje F , które gwarantuja istnienie rozwiazań równania
‘
‘
‘
x = F (x).
Zadanie 3. Sformuluj i udowodnij tw. Banacha o punkcie stalym dla kontrakcji na dowolnej
zupelnej przestrzeni metrycznej (niekoniecznie przestrzeni Banacha).
Zadanie 4. Niech (X , k · k) bedzie przestrzenia Banacha oraz niech F : X → X bedzie
‘
‘
‘
kontrakcja:
‘
kF (x) − F (y)k ≤ kkx − yk
dla pewnego k ∈ (0, 1). Niech x0 bedzie rozwiazaniem równania x = F (x). Oznaczmy przez
‘
‘
{xn } ciag iteracji xn+1 = F (xn ). Udowodnij oszacowania
‘
a) kxn+1 − x0 k ≤ kkxn − x0 k;
k
kxn+1 − xn k;
b) kxn+1 − x0 k ≤ 1−k
n
k
c) kxn − x0 k ≤ 1−k kx1 − x0 k.
Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru λ ∈ IR operator F : C([a, b]) → C([a, b]) dany
wzorem
Z b
sin(u(y)) dy
F (u)(x) = x + λ
a
jest kontrakcja.
‘
Zadanie 6. Znaleźć b > 0 oraz domkniety podzbiór przestrzeni C([0, b]), na którym operator
‘
F dany wzorem
Z x
u3 (y) dy
F (u)(x) = 1 +
0
jest kontrakcja.
‘
Zadanie 7. Udowodnić nastepujace twierdzenie: Niech (X , k · kX ) bedzie przestrzenia Ba‘
‘
‘
‘
nacha, natomiast B : X × X → X forma dwuliniowa spelniajaca
‘
‘
‘ ‘
kB(x1 , x2 )kX ≤ ηkx1 kX kx2 kX
dla wszystkich x1 , x2 ∈ X i pewnej stalej η > 0. Wówczas, jeżeli 0 < ε < 1/(4η) oraz y ∈ X
spelnia kyk < ε, to równanie x = y + B(x, x) ma rozwiaznie w X spelniajace kxkX ≤ 2ε.
‘
‘
Jest to jedyne rozwiazanie w kuli B̄(0, 2ε). Rozwiazanie to zależy w sposób ciagly od y w
‘
‘
‘
nastepujacy sposób: jeżeli kỹkX ≤ ε, x̃ = ỹ + B(x̃, x̃) oraz kx̃kX ≤ 2ε, to
‘
‘
1
kx − x̃kX ≤
ky − ỹkX .
1 − 4ηε
Zadanie 8. Zastosować poprzednie zadanie do dowodu istnienia rozwiazań równania
‘
u(x) = u0 (x) +
Z 1
K(x, y)u2 (y) dy,
0
gdzie u0 ∈ C([0, 1]) oraz K ∈ C([0, 1] × [0, 1] sa dane.
‘
1