PDF 721 KB - Politechnika Wrocławska

Wydział Fizyki i Astronomii
Uniwersytet Wrocławski
Andrzej Pilarczyk
Modelowanie oligopolu metodami fizyki
statystycznej
Praca magisterska
Opiekun: dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron
Wrocław 2009
Streszczenie
W tej pracy wprowadzam dwa mikroskopowe modele opisujące dynamikę rynku oligopolistycznego oraz stosuję je do zbadania sytuacji, gdy na równo podzielony pomiędzy
dwie firmy rynek wchodzi trzeci przedsiębiorca. Na decyzje klientów tych firm oddziałują dwie siły: wpływ społeczny (lokalny zasięg oddziaływania) oraz reklama (globalny
zasięg oddziaływania). Sprawdzam zachowanie modeli przy użyciu symulacji Monte Carlo
oraz przybliżenia pola średniego. Otrzymane wyniki porównuję do wyników otrzymanych
z modelu Sznajdów przez Weron i Włoszczowską.
2
Modeling oligopoly markets by the methods
of statistical physics.
Abstract
In this paper I introduce two microscopic models of opinion dynamics in oligopoly
markets and apply them to a situation, where a new company is entering the market which
is divided by two company’s. Two forces influence customer’s choice: social interactions
(local) and advertising (global). I study behavior of the models using the Monte Carlo
simulations and Mean Field Approximation. I compare my results to results from Sznajd
model recived by Weron and Włoszczowska.
3
0. Spis treści
Spis treści
1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2. Opis rynku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Historia telefonii komórkowej w Polsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Stan obecny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
3. Modele . .
3.1. Model
3.2. Model
3.3. Model
3.4. Model
. . . . . .
Isinga . .
Voter . .
majority .
Sznajdów
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
11
12
14
4. Modele z trójstanowymi spinami oraz zewnętrznym polem . .
4.1. Model Sznajdów z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
4.2. Model Votera z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym . .
4.3. Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
18
5. Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Symulacja Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera . . . .
5.1.2. Wyniki symulacj MC dla modelu majority . . .
5.2. Przybliżenie pola średniego – MFA . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Wyniki MFA dla modelu Votera . . . . . . . . .
5.2.2. Wyniki MFA dla modelu majority . . . . . . . .
5.3. Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
25
25
29
30
32
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4
1. Wstęp
1. Wstęp
W ostatnich latach metody i modele fizyki statystycznej zostały z powodzeniem zastosowane do badania zjawisk, którymi dotychczas zajmowały się inne nauki (np. ekonomia, socjologia). Za przykład niech posłuży zastosowanie modeli isingowskich do badania wyborów
politycznych. Modele isingowskie oraz metoda pola średniego zostały też wykorzystane do
badania szerszej klasy zjawisk ekonomiczno-społecznych [1]. Jednym z poruszanych przez
fizyków tematów jest marketing, a w szczególności wpływ reklamy na decyzje konsumenckie.
W pracy [2] zostały przedstawione badania na temat rynku oligopolistycznego w sytuacji,
gdy mamy tylko dwie firmy. W pracach [3, 4] został zaproponowany model do opisu i badania rynku oligopolistycznego z trzema graczami na przykładzie rynku telefonii komórkowej
w Polsce. Model ten jest zmodyfikowanym modelem Sznajdów [5].
Przedmiotem pracy będzie analiza rynku oligopolistycznego z trzema firmami, analogicznie jak w [3, 4], lecz ze zmienionym typem oddziaływań. Celem tej pracy jest sprawdzenie jak na wyniki wpływa zastosowanie innego typu oddziaływań (przy niezmienionych
cechach rynku). W [3, 4] zastosowano oddziaływanie takie jak w modelu Sznajdów („na
zewnątrz” – ang. outflow dynamics). W tej pracy badam dwa modele – pierwszy z oddziaływaniami takimi jak w modelu wyborcy (ang. Voter model ), a drugi z oddziaływaniami
typu reguły większościowej (ang. majority model ).
Praca ta składa się z sześciu rozdziałów. Pierwszym jest niniejszy wstęp. W drugim
rozdziale opisuję historię rynku telefonii komórkowej w Polsce, przedstawiam obecną strukturę tego rynku oraz opisuję wpływ reklamy na kształtowanie się rynku. W trzecim rozdziale przedstawiam użyte w niniejszej pracy modele oraz opisuję model Sznajdów, gdyż
do wyników otrzymanych w ramach modelu Sznajdów będę porównywał rezultaty swojej
pracy. Czwarty rozdział jest poświęcony zaprezentowaniu własnych modeli, opartych na
zaproponowanym w [3, 4]. Będą to, opisane w rozdziale 3, modele Votera i majority, ale
ze zmodyfikowanymi regułami oddziaływań. W piątym rozdziale przedstawiam i analizuję
otrzymane, zarówno na drodze symulacji Monte Carlo, jak i z użyciem teorii pola średniego,
wyniki. Rozdział szósty jest podsumowaniem niniejszej pracy.
5
2. Opis rynku
2. Opis rynku
Oligopol jest słowem pochodzenia greckiego (gr. oligos – kilka) i oznacza formę struktury rynkowej, w której występuje tylko kilka firm konkurujących ze sobą w danej branży.
Cechami charakterystycznymi rynku oligopolistycznego są występujące silne bariery wejścia na taki rynek oraz to, że ceny produktów (usług) oferowanych przez kilku producentów
(usługodawców) są bardzo podobne.
Konkurencja na rynku oligopolistycznym występuje na kilku polach. Są to jakość produktów bądź usług, wprowadzanie nowości na rynek, różnicowanie produktów, reklama.
Ważną cechą rynku oligopolistycznego jest to, że konkurencja cenowa jest tu znikoma.
Przyczyną takiego stanu rzeczy jest fakt, że przedsiębiorstwa są ze sobą bardzo silnie
powiązane. Gdy jedna z firm obniży ceny swojego produktu to konkurenci natychmiast
zareagują dostosowując się do nowego poziomu cen. W efekcie zysk pierwszej firmy będzie
niewielki. Gdyby natomiast, któryś z konkurentów zdecydował się zwiększyć zysk przez
podniesienie cen, to uzyskany efekt będzie odwrotny do zamierzonego. Zysk się zmniejszy,
gdyż konsumenci odejdą do konkurencji, która nawet nie musi zmieniać swoich cen.
Skoro konkurencja na polu cen jest niewielka lub też nie ma jej wcale, to firmy na rynku
oligopolistycznym muszą szukać możliwości zdobycia klienta przy użyciu innych metod (wymienionych powyżej). Jednym z głównych pól konkurencji, które pozostaje do dyspozycji
firm, jest reklama. Zadaniem reklamy jest wstępne przedstawienie oferty przędsiębiorstwa.
Ma ona podkreślić różnice między produktami konkurujących firm – uwypuklając zalety
jednego produktu i wady produktu konkurencji. Różnice podkreślane przez reklamę często
są tylko pozorne. Reklama powinna też ułatwić podjęcie decyzji konsumentowi. Oczywistym jest, że reklama jest środkiem budowania marki. Nie podlega wątpliwości również
to, że reklama jest konieczna zarówno przy wprowadzaniu nowego produktu na rynek, jak
również, w sytuacji gdy na rynek próbuje wejść nowa firma.
Wiele osób uważa, że wszelkie decyzje dotyczące zakupów podejmuje w pełni świadomie. Gdyby zapytać przypadkowe osoby o wpływ reklam na ich decyzje dotyczące zakupów, większość odpowiedziałaby, że reklama nie ma na te decyzje żadnego wpływu. Uważa
się jednak, że reklama ma znaczący wpływ na nasze decyzje [6, 7]. Nie można przecież
powiedzieć, że żyjąc we współczesnym świecie, nie jesteśmy poddani wpływowi reklamy.
Z reklamą spotykamy się na każdym kroku. Idąc ulicą widzimy billboardy, oglądane przez
nas programy telewizyjne i słuchane audycje radiowe przerywane są blokami reklamowymi, na witrynach internetowych co raz pojawiają się nam banery reklamowe. Specjaliści
od marketingu każdego dnia stosują coraz wymyślniejsze sposoby na dotarcie do naszej
podświadomości. I dlatego właśnie nie możemy powiedzieć, że wszystkie zakupy są podejmowane w 100 % z racjonalnych powodów – bez żadnego wpływu reklamy. Dlatego też
firmy poświęcają wiele środków finansowych na kampanie reklamowe.
Bardzo dobrym przykładem oligopolu (rynku oligopolistycznego) jest rynek telefonii
komórkowej w Polsce.
6
2.1 Historia telefonii komórkowej w Polsce
2.1. Historia telefonii komórkowej w Polsce
Historia telefonii komórkowej w Polsce sięga roku 1992, kiedy to Polska Telefonia Komórkowa (PTK) uruchomiła pierwszą analogową sieć komórkową pod nazwą Centertel.
Sieć ta pracowała w standardzie NMT450i. Pierwsze aparaty telefoniczne były bardzo
duże, a koszty ich zakupu wysokie. Dopiero w 1996 roku na polski rynek weszło dwóch
kolejnych operatorów. Była to Polska Telefonia Cyfrowa (PTC) oraz Polkomtel. PTC uruchomiła sieć pod nazwą Era, a Polkomtel pod nazwą Plus. Obie sieci szybko zyskiwały
nowych abonentów między innymi dlatego, że były to sieci tzw. drugiej generacji. Oznacza
to, że pracowały w cyfrowym standardzie GSM 900 MHz, który zapewniał lepszą jakość
połączeń. Z tego też względu PTK zaczęła tracić swoich dotychczasowych klientów. Aby
ich odzyskać w 1998 roku PTK uruchomiło sieć cyfrową pod marką Idea Centertel pracującą w standardzie GSM 1800 MHz. Sieć analogowa nie została całkowicie zlikwidowana
jednak jej działanie zostało ograniczone. Obecnie wykorzystywana jest ona głównie przez
rybaków oraz przez Telekomunikację Polską na terenach gdzie nie jest opłacalne kładzenie
kabli. Również w 1998 roku wszyscy trzej operatorzy wprowadzili do swojej oferty tzw.
telefony „na kartę”. Polkomtel wprowadził markę Simplus, PTC markę Tak Tak, a PTK
markę POP. Oferta pre-paidowa nie wymagała podpisywania umowy co ułatwiło dostęp do
telefonów komórkowych szerokiemu gronu odbiorców. Kolejnym krokiem w rozwoju sieci
komórkowych w Polsce było przyznanie operatorom dodatkowych częstotliwości. Polkomtel i PTC otrzymali dostęp do częstotliwości 1800 MHz, a Polska Telefonia Komórkowa do
częstotliwości 900 MHz. W 2004 roku na rynek weszła telefonia komórkowa trzeciej generacji (UMTS – ang. Universal Mobile Telecommunications System) jednak jej wprowadzenie,
wbrew przewidywaniom, nie spowodowało drastycznej zmiany ilości klientów. W 2005 roku
Idea zmieniła nazwę na Orange. W ostatnich latach na rynek zostały wprowadzone kolejne
marki działających już operatorów (Heyah, Sami Swoi), a także powstali pierwsi wirtualni
operatorzy. Wartym wspomnienia jest również to, że w 2007 roku na rynek wszedł czwarty
operator – firma P4 – który wprowadził markę Play.
Liczba abonentów sieci komórkowych bardzo szybko rosła. Wzrost ten został przedstawiony na rysunku 1 (rysunek przygotowany na podstawie danych GUS [8]). Wykorzystane
dane zawierają sumaryczną liczbę klientow wszystkich operatorów. Dane te uwzględniają
zarówno klientów abonamentowych, jak i tych, którzy korzystają z usług przedpłaconych
(czyli „na kartę”).
2.2. Stan obecny
Obecnie na polskim rynku swoje usługi oferuje czterech operatorów. Są to:
- Polska Telefonia Komórkowa Centertel sp. z o.o. (marka Orange),
- Polska Telefonia Cyfrowa sp. z o.o. (marki: Era, Tak Tak, Heyah),
- Polkomtel S.A. (marki: Plus, Simplus, Sami Swoi),
- P4 sp. z o.o. (marka: Play).
Oprócz wyżej wymienionych na rynku działają operatorzy wirtualni (ang. MVNO – Mobile
Virtual Network Operator ). Jest ich aż jedenastu. Jednak ich udział w rynku jest znikomy
7
2.2 Stan obecny
Rys. 1. Liczba abonentów sieci komórkowych w latach 1995-2007.
(poniżej 1 %). Można powiedzieć, że rynek jest podzielony pomiędzy cztery wymienione
wyżej firmy. Ich udziały w rynku są przedstawione na rysunku 2 (na podstawie [9]).
Jak widać, udział marki Play w rynku jest nadal niewielki, choć dość szybko rośnie.
Uważam jednak, iż udział ten jest na tyle niski, że zasadnym będzie rozpatrywanie rynku, na którym mamy tylko trzy firmy. Takie podejście umożliwi mi również porównanie
otrzymanych wyników do wyników z [3, 4]. Sądzę również, że rozpatrzenie rynku oligopolistycznego, na którym mielibyśmy cztery firmy mogłoby dać ciekawe rezultaty i być może
będzie przedmiotem przyszłej pracy.
Przez wiele lat operatorzy utrzymywali wysokie ceny. Dopiero w ostatnich latach wysokie nasycenie (a wręcz przesycenie) rynku zmusiło firmy do zaoferowania tańszych połączeń
– tak aby z ich oferty mogły skorzystać osoby o niższych dochodach. Ta oferta była jednak
skierowana tylko do nowych klientów. Wzrost popularności ofert „na kartę” oraz ustalenie
przez Urząd Komunikacji Elektronicznej maksymalnej opłaty jaką operator może pobrać
za przeniesienie numeru do innej sieci spowodowało, że firmy obniżyły ceny również dla
wcześniej pozyskanych klientów. Łatwość zmiany operatora wymusiła to, że firmy muszą
dbać o dobre imię swojej marki, gdyż klient niezadowolony odejdzie do konkurencji.
Pomimo ciągłych zmian cen obecna oferta operatorów jest dość podobna, dlatego też,
firmy walczą o klienta reklamami. Operatorzy zdecydowali się, oprócz tradycyjnych kampanii reklamowych w mediach i na billboardach, prezentować swoją markę wspierając sportowców i drużyny (lub związki) sportowe. Polkomtel wspiera polskie reprezentacje siatkówki, PTC Polski Komitet Olimpijski, PTK natomiast ekstraklasę piłkarską. Natężenie
reklam z jakim spotyka się potencjalny klient jest więc ogromne.
8
2.2 Stan obecny
Rys. 2. Udziały w rynku poszczególnych firm na koniec 2008 roku.
Ze względu na nasycenie rynku oraz na koszty niezbędnej do prowadzenia działalności
infrastruktury sprzętowej, rynek telefonii komórkowej posiada bardzo silne bariery wejścia.
Jak widać, rynek ten spełnia wszystkie cechy rynku oligopolistycznego.
9
3. Modele
3. Modele
W pracy tej do symulacji wykorzystane zostały dwa modele sieciowe – model Votera
i model majority. Obydwa modele oparte są na modelu Isinga. W dalszym ciągu rozważał
będę modele na dwuwymiarowej sieci kwadratowej o L2 węzłach. W każdym węźle znajduje
się jeden spin – w pracy jeden spin symbolizuje jedną osobę (klienta wybranego operatora).
Czy jednak za pomocą symulacji komputerowej na regularnej sieci można odwzorować zachowania i preferencje zakupowe ludzi? Na pierwszy rzut oka wydawałoby się, że nie można.
Przecież człowiek jest istotą bardzo złożoną i decyzje podejmowane przez niego zależą od
wielu czynników. Przypatrując się chociażby powodom dokonywania takich, a nie innych
zakupów, możemy znaleźć conajmniej kilka czynników, od których zależy wybór konkretnego produktu. Są to: sugestie znajomych i rodziny, zaufanie do marki, jakość produktu,
wspomniana wcześniej reklama i wiele innych. Czy w takim razie jest jakikolwiek sens
komputerowego modelowania ludzkich wyborów przy pomocy prostej sieci? Może zamiast
sieci regularnej (bo taką jest sieć kwadratowa) powinna zostać użyta bardziej złożona sieć?
Może model powinnien zawierać skomplikowane i uwzględniające wiele czynników reguły
ewolucji? Okazuje się, że ludzkie wybory można przyrównać do rzutów monetą lub kostką.
Jeden rzut jest nieprzewidywalny, ale jeśli wykonamy tych rzutów kilkaset, czy kilka tysięcy, to wówczas możemy z dużym prawdopodobieństwem przewidzieć wynik. A do badania
ludzkich wyborów najlepsze okazują się symulacje komputerowe, gdyż przy ich użyciu
można z łatwościa wielokrotnie powtarzać badanie zachowując losowość próbki. Okazuje
się również, że prosta sieć regularna (kwadratowa, trójkątna, heksagonalna) w zupełności
wystarcza do podstawowych symulacji – wyniki otrzymane z symulacji na takich sieciech
są całkiem dobre. Oczywiście użycie sieci o bardziej skomplikowanej topologii – jak sieci
Małego Świata, czy też sieci Barabasiego-Alberta – dałoby lepsze wyniki, ale jednocześnie
znacznie utrudniłoby (lub wręcz uniemożliwiłoby) rozpoznanie na ile poprawa jakości wyników jest zasługą oddziaływań w użytym modelu, a na ile jest to zasługa innej topologii
sieci. Zmiana typu oddziaływań w użytym modelu z prostych na o wiele bardziej skomplikowane i uwzględniające więcej rzeczywistych parametrów również mogłaby poprawić jakość
otrzymanych wyników. Jednak często ta poprawa byłaby niewspółmierna do kosztów jakie
ponosimy wprowadzając zmiany oddziaływań. Te koszty to m.in. znacznie wydłużony czas
obliczeń oraz znacznie większe skomplikowanie modelu utrudniające jego analizę.
W kolejnych podrozdziałach opisuję użyte modele. Przedstawiam również model Isinga,
jako model, z którego wywodzą się używane przeze mnie modele, oraz model Sznajdów, do
którego będę porównywał uzyskane wyniki.
3.1. Model Isinga
Model Isinga został zaproponowany przez Wilhelma Lenza jako model do badania ciągłego przejścia fazowego para-ferromagnetyk. Modelem tym zainteresował się i w swojej
pracy doktorskiej z 1924 roku [10] opisał niemiecki fizyk Ernst Ising. Model ten jest najpopularniejszym modelem mikroskopowym fizyki statystycznej. W podstawowej wersji,
opisanej przez Isinga, rozpatrywany jest łańcuch momentów magnetycznych, z których
10
3.2 Model Voter
każdy może przyjmować tylko dwie wartości (w górę lub w dół). Oddziaływanie jest tylko
do najbliższego sąsiada. Teoretycznie łańcuch spinów jest nieskończenie długi, a w praktyce na tyle długi, abyśmy mogli zaniedbać wpływ warunków brzegowych, które z reguły
przyjmuje się periodyczne. Oznacza to, że utożsamiamy ze sobą pierwszy i ostatni spin,
tworząc w ten sposób nieskończony łańcuch. Ernst Ising pokazał, że w takim przypadku
(jednowymiarowym) nie występuje przejście fazowe. Blisko dwadzieścia lat póżniej – w
1944 roku – Lars Onsager, fizyk duński, podał analityczne rozwiązanie dwuwymiarowego
modelu Isinga. W dwuwymiarowym przypadku występuje przejście fazowe. Z tego wynika,
że lokalne, mikroskopowe oddziaływania prowadzą do zmian w skali makroskopowej.
Model Isinga obecnie jest stosowany nie tylko do badania ferromagnetyzmu. Zastosowania dla tego modelu (lub modeli zbudowanych na bazie modelu Isinga) zostały znalezione
również w wielu innych niż fizyka dziedzinach nauki. Jest on z powodzeniem stosowany
przez biologów, genetyków, ekonomów czy socjologów. Dzięki temu, że spiny w tym modelu
mogą przyjmować tylko dwie wartości, dostajemy wiele możliwości ich interpretacji. Mogą
to być zajęte/wolne miejsca w teorii perkolacji, zdrowe/chore osobniki, kroki dół/góra w badaniach DNA, zwolennicy/przeciwnicy partii politycznej, czy też zwolennicy/przeciwnicy
jakiegoś produktu. range
3.2. Model Voter
Model wyborcy (Voter model ) był po raz pierwszy rozważany w 1973 roku przez
P. Clifforda i A. Sudburego w [11]. Nazwa pochodzi od tego, że narzucającą się interpretacją jest dynamika opinii, choć model ten ma także wiele innych zastosowań. Jest to model
typu isingowskiego. Rozważamy łańcuch N spinów, z których każdy może przyjmować dwie
wartości: si = ±1. Początkowo wszystkie spiny mają przypisaną opinię – nie ma węzłów
o nieustalonej opinii. W każdym kroku wybierany jest spin i oraz losowo jeden z dwóch jego
sąsiadów j (j = i − 1 lub j = i + 1), a następnie opinia spinu j jest przypisywana spinowi
i, czyli si = sj . Model ten został uogólniony do przypadku dwuwymiarowego. Możliwe
wartości są takie same jak w przypadku jednowymiarowym. Na sieci kwadratowej w kroku
ewolucji sąsiad węzła1 (i, j) jest wybierany losowo spośród czterech sąsiadów: (i − 1, j) –
węzeł powyżej, (i + 1, j) – węzeł poniżej, (i, j − 1) – węzeł z lewej strony oraz (i, j + 1)
– węzeł z prawej strony. Przyjmuje się periodyczne warunki brzegowe. Dynamika Votera,
uruchomiona w stanie początkowym całkowicie nieuporządkowanym, będzie w kolejnych
krokach dążyła do zwiększenia uporządkowania w układzie. Przykładowa ewolucja dla dwuwymiarowego modelu Votera jest przedstawiona na rysunku 3. Górny rysunek przedstawia
ewolucję od stanu uporządkowanego, w którym spiny ustawione w jednym kierunku tworzą
kroplę. Dolny rysunek przedstawia natomiast sytuację, gdy startujemy ze stanu całkowicie
nieuporządkowanego. Na jednowymiarowej sieci (łańcuch spinów) dynamika Votera zachowuję się tak samo jak zero temperaturowa dynamika Glaubera [12]. Model Votera doczekał
się wielu modyfikacji, których opis można znaleźć w [1]. Dynamika Votera była rozważana
również na sieciach złożonych (nieregularnych).
1
Numeracja węzłów rozpoczyna się od lewego górnego rogu siatki – tam znajduje się węzeł (1, 1).
11
3.3 Model majority
Rys. 3. Ewolucja w dwuwymiarowym modelu Votera dla dwóch stanów początkowych (rysunek
pochodzi z [1])
Ważną charakterystyką modeli takich jak model Votera jest „exit probability”. Dla
modelu Votera jest ono przedstawione na rysunku 4 – linia przerywana.
3.3. Model majority
Podobnie jak w przypadku poprzedniego modelu rozważamy N węzłów, z których każdy
może być w dwóch stanach: si = 1 lub si = −1 (nie ma węzłów o nieustalonej opinii).
Ewolucja układu przebiega w następujących krokach:2
1. Wybierz grupę G składającą się z nieparzystej liczby węzłów.
P
2. Wylicz opinię sG = i∈G si .
- Jeśli sG ­ 1, to sG = 1.
- Jeśli sG ¬ −1, to sG = −1.
- Jeśli sG = 0, to pomiń 3.
3. Przypisz opinię grupy sG wszystkim spinom z G, czyli ∀si ∈ G si = sG .
4. Wróć do 1.
Takie reguły dla tego modelu zostały zaproponowane przez Galama w 2002 roku w [14] do
opisu dyskusji publicznych. Grupa dyskusyjna G w powyższym algorytmie jest wybierana
nieparzysta, gdyż przy takim wyborze zawsze będzie możliwa do uzyskania większościowa opinia grupy. Są również modyfikacje, w których liczność grupy może być parzysta.
Ich autorzy proponują różne sposoby rozwiązywania sytuacji takich, że dokładnie połowa
grupy popiera jedną opcję, a druga połowa drugą opcję. Jednym ze sposobów jest preferowanie jednej z opinii. Takie rozwiązanie zostało po raz pierwszy zastosowane przez Galama
w prostym modelu do opisu hierarchicznego głosowania [15, 16].
Model majority z ustalonym rozmiarem r grupy G ma rozwiązanie analityczne w granicy
pola średniego. Rozwiązanie to podali Krapivsky i Redner w 2003 roku [13].
Istnieje wiele modyfikacji tego modelu. Przykładowe modyfikacje to takie, w których
2
Patrz również rysunek 5.
12
3.3 Model majority
Rys. 4. „Exit probability” dla modelu Votera – linia przerywana, oraz dla modelu majority –
linia kropkowana (rysunek pochodzi z [13])
Rys. 5. Reguła przejścia w modelu majority dla trzy spinowej grupy dyskusyjnej (rysunek pochodzi z [1])
13
3.4 Model Sznajdów
Rys. 6. Reguły przejścia w modelu Sznajdów w dwóch wymiarach zaproponowane przez Stauffera
– górny rysunek, oraz Galama – dolny rysunek (rysunek pochodzi z [18])
spin może przyjmować więcej niż dwie wartości, lub też taka, że spiny mogą poruszać się
po sieci. Inne przykłady modyfikacji to sytuacje, gdy spiny mogą „kontaktować się” ze
zmienną liczbą innych spinów, czy też gdy część spinów nigdy nie zmienia swojej opinii.
Różne modyfikacje modelu majority przedstawione są w [1] oraz pracach tam cytowanych.
„Exit probability” dla modelu majority jest przedstawione na rysunku 4 – linia ciągła.
3.4. Model Sznajdów
Model Sznajdów został zaproponowany w 2000 roku przez wrocławskich fizyków: Katarzynę Sznajd-Weron i Józefa Sznajda w pracy [5]. Podobnie jak w innych modelach isingowskich (np. opisanych wyżej) tak i w modelu Sznajdów spiny mogą przyjmować dwie
wartości, najczęściej si = ±1. Model ten został przez autorów nazwany USDF – od maksymy „zgoda buduje, niezgoda rujnuje” (ang. United we Stand, Divided we Fall ). Nazwa
ta pochodzi od tego, że w podstawowej wersji rozpatrujemy dwa spiny, które wpływają na
swoich sąsiadów. Jeśli rozpatrywane spiny są zgodne, to ich sąsiedzi są ustawiani zgodnie
z nimi (zgoda buduje), w przeciwnym przypadku sąsiedzi ustawiani są niezgodnie (niezgoda
rujnuje). Cechą charakterystyczną modelu Sznajdów jest to, że oddziaływanie w modelu
jest skierowane „na zewnątrz”. Model ten został zmodyfikowany przez Dietricha Stauffera,
który w pracy [17] zaproponował jego dwuwymiarową wersję. W tej wersji rozpatrywane są
klastry złożone z czterech położonych w swoim sąsiedztwie spinów. Stauffer jest również autorem obecnie używanej nazwy tego modelu. Inne uogólnienie do dwóch wymiarów modelu
Sznajdów zaproponował Galam. Uogólnienie to zostało również opisane przez Stauffera
w [17]. Polega ono na tym, że klaster złożony z czterech spinów jest rozpatrywany jako
14
3.4 Model Sznajdów
Rys. 7. „Exit probability” dla modelu Sznajdów. Symbolami ∗, × oraz O oznaczono wyniki
symulacji, a linią ciągłą wynik analityczny (rysunek pochodzi z [19])
cztery jednowymiarowe przypadki (patrz rysunek 6). Model ten został wykorzystany jako
podstawa do budowy modelu rynku oligopolistycznego w pracach [3, 4].
„Exit probability” dla modelu Sznajdów jest przedstawiony na rysunku 7 przy czym
symbolami ∗, × oraz O oznaczono wyniki symulacji, natomiast linią ciągłą narysowano
wynik analityczny.
15
4. Modele z trójstanowymi spinami oraz zewnętrznym polem
4. Modele z trójstanowymi spinami oraz zewnętrznym polem
Zastosowanie modelu Sznajdów z zewnętrznym polem do modelowania rynku oligopolistycznego zostało zaproponowane w [2]. W tej pracy rolę zewnętrznego pola spełnia
reklama, a przyjęcie przez spin jednej z dwóch wartości jest traktowane jak wybór przez
osobę (która jest reprezentowana w modelu przez spin) jednego z dwóch produktów/usług.
Autorzy otrzymali wyniki, które pokazują, że w takim układzie istnieją krytyczne wartości
koncentracji początkowej klientów jednej z firm i natężenia reklamy tej firmy pozwalające
opanować jej rynek.
4.1. Model Sznajdów z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Kolejnym krokiem w badaniach rynku oligopolistycznego było zmodyfikowanie dwuwymiarowego modelu Sznajdów do wersji z trójstanowymi spinami. Idealnym do badań okazał
się być w tej sytuacji rynek telefonii komórkowej w Polsce, którym ja również się zajmuję. W trójstanowym modelu Sznajdów każdy spin może przyjąć jedną z trzech wartości:
∀i si ∈ (1, 2, 3). Początkowo wszystkim spinom na siatce nadawane są wartości losowe zgodnie z zadanymi koncentracjami początkowymi: c10 , c20 , c30 (ci0 oznacza koncentracje
początkową firmy i-tej). Rolę pola zewnętrznego, podobnie jak w wersji z dwuwartościowymi spinami, spełnia reklama. Każdej z firm jest również przypisany parametr hi , gdzie
i ∈ (1, 2, 3), oznaczający natężenie reklamy i-tej firmy. Kolejnym parametrem modelu jest
p, czyli prawdopodobieństwo, że osoba zostanie przekonana przez grupę (prawdopodobieństwo konformizmu). Jak widać w tak sformułowanym modelu mamy siedem parametrów.
Aby zmniejszyć liczbę parametrów wprowadzone zostały warunki na koncentacje początkową oraz natężenie reklamy. Koncentracje początkowe muszą spełniać warunek
(1)
c10 + c20 + c30 = 1,
który oznacza, że każdy spin na siatce ma ustaloną wartośc początkową. Jednocześnie
koncentracje drugiej i trzeciej firmy są początkowo sobie równe, czyli
(2)
c20 = c30 .
Drugie założenie wynika z rzeczywistej sytuacji rynkowej. Jak pokazuje Włoszczowska w [4]
udział poszczególnych operatorów w rynku jest mniej więcej równy. Natężenie reklamy,
podobnie jak koncentracja początkowa, musi spełniać warunek normalizacji do jedynki,
czyli
(3)
3
X
hi = 1.
i=1
Drugim warunkiem dotyczącym natężenia reklamy jest to, że wartość reklamy dwóch firm
(drugiej i trzeciej) jest równa, czyli
(4)
h2 = h3 .
16
4.2 Model Votera z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Założenie (4) wynika z tego, że wszyscy operatorzy mają podobne nakłady na reklamę.3
Przyjęcie warunków (1)–(4) pozwala zmniejszyć liczbę parametrów do trzech, gdyż dzięki
warunkom (1) oraz (2) można napisać, że
c10 = 1 − 2c20 ,
(5)
czyli
c10 = 1 − 2cp ,
(6)
gdzie cp oznacza wartość koncentracji początkowej drugiej i trzeciej firmy. Podobnie z warunków (3) oraz (4) wynika analogiczne równanie dla natężenia reklamy:
h1 = 1 − 2h0 ,
(7)
gdzie h0 oznacza natężenie reklamy drugiego i trzeciego operatora.
Widać z tego, że pozostałe parametry to:
1. koncentracja początkowa cp ,
2. natężenie reklamy h0 ,
3. prawdopodobieństwo konformizmu p.
Ewolucja w takim modelu jest w dużej mierze zależna od prawdopodobieństwa p, gdyż
decyzję o sposobie zmiany spinów podejmujemy w zależności od tego prawdopodobieństwa.
- Z prawdopodobieństwem p spin zmienia swój stan pod wpływem grupy swoich sąsiadów.
- Z prawdopodobieństwem 1 − p na spin działa reklama.
Przebieg symulacji jest następujący:
1. Wybierz spin si i utwórz grupę G.
2. Z prawdopodobieństwem p zrób:
- Jeśli w G panuje jedność, to zmień sąsiadów na zgodnych z członkami grupy G.
- Jeśli w G nie ma jedności, to nic nie rób.
3. Z prawdopodobieństwem 1 − p zrób:
- Z prawdopodobieństwem h1 zmień spiny z G na korzyść firmy pierwszej.
- Z prawdopodobieństwem h2 zmień spiny z G na korzyść firmy drugiej.
- Z prawdopodobieństwem h3 zmień spiny z G na korzyść firmy trzeciej.
4. Wróc do kroku 1.
Ważne w tym modelu jest to, że tylko całkowicie zgodna grupa G ma zdolność do przekonania innych.
4.2. Model Votera z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Celem tej pracy jest zbadanie jak dwa inne modele sprawdzą się w modelowaniu zachowań rynkowych. Pierwszym z nich jest model Votera, który po modyfikacjach dokonanych
na potrzeby tej pracy wygląda następująco:
3
Źródło: raporty tygodniowe firmy AGB Nielsen Media Research dostępne na wirynie firmy.
17
4.3 Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Każdy spin może przyjąć jedną z trzech wartości: ∀i si ∈ (1, 2, 3).
Wszystkie spiny mają przypisaną wartość.
Początkowo wszystkie spiny mają przypisane wartości losowe zgodnie z zadanymi koncentracjami początkowymi ci0 .
- Koncentracje początkowe spełniają te same warunki co w modelu Sznajdów, czyli warunki (1) oraz (2).
- Spiny rozłożone są na sieci kwadratowej o rozmiarze L × L.
- Zastosowano cykliczne warunki brzegowe.
Dodatkowo do modelu zostało wprowadzone pole zewnętrzne, którego rolę pełni oczywiście
reklama. Może ona działać na każdy ze spinów – nie ma osób odpornych na działanie
reklamy. Każdy z operatorów ma przypisane natężenie reklamy hi , które spełnia warunki
(3) i (4). Ewolucja w tak zmodyfikowanym modelu jest, podobnie jak w modelu Sznajdów
z 4.1, zależna w znacznym stopniu od prawdopodobieństwa konformizmu p, a sam model
ma trzy parametry (cp , h0 oraz p). Sąsiadami węzła o współrzędnych (i, j) są te same spiny
co w orginalnym dwuwymiarowym modelu Votera, czyli tak jak to opisano w 3.2. Kolejne
kroki modelu przedstawiają się następująco:
1. Wylosuj spin si .
2. Wybierz losowo jednego z czterech jego sąsiadów sj i w zależności od p zrób:
- Z prawdopodobieństwem p: si = sj .
- Z prawdopodobieństwem 1 − p wykonaj:
— Z prawdopodobieństwem h1 : si = 1.
— Z prawdopodobieństwem h2 : si = 2.
— Z prawdopodobieństwem h3 : si = 3.
3. Wróć do 1.
Jak widać z powyższych reguł ewolucji, może wystąpić sytuacja, kiedy wybrany spin si nie
zmieni się w danym kroku. Taka sytuacja występuje, gdy jego sąsiad sj korzysta z usług
tego samego operatora, lub gdy zostanie przekonany przez reklamę operatora, z którego
usług korzystał dotychczas. Oczywiście jest to prawidłowe i odpowiadające rzeczywistemu zachowanie, gdyż nie zawsze po zakończeniu umowy zmieniamy operatora. Czasem
decydujemy się nadal korzystać z usług dotychczasowego.
-
4.3. Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Model majority jest podobny do modelu Sznajdów. W nim również wokół wybranego
spinu tworzymy „grupę dyskusyjną” i od opinii grupy zależy zmiana spinów. Są jednak dwie
zasadnicze różnice między tymi dwoma modelami. Pierwsza różnica jest taka, że w modelu
Sznajdów grupa G przekonywała swoich sąsiadów, a w modelu majority grupa ta przekonuje
sama siebie. Druga różnica polega na tym, że w modelu Sznajdów grupa miała zdolność
przekonania innych, tylko wówczas, gdy była jednomyślna. W modelu majority grupa nie
musi być jednomyślna aby móc przekonywać – wystarczy, że w grupie G jest większość
popierająca jedną z opcji. Oznacza to przyjęcie zasady, że większość ma rację.
Na potrzeby tej pracy do orginalnego modelu zostało wprowadzonych kilka zmian. Po
tych modyfikacjach model przedstawia się następująco:
18
4.3 Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Tabela 1. Opinia sG grupy G w modelu majority w zależności od liczby spinów o poszczególnych
wartościach dla grupy o liczności 4.
Liczba spinów
Opinia grupy sG
si = 1 si = 2 si = 3
4
0
0
1
3
1
0
1
3
0
1
1
2
2
0
0
2
0
2
0
2
1
1
1
1
3
0
2
1
0
3
3
1
2
1
2
1
1
2
3
0
4
0
2
0
3
1
2
0
2
2
0
0
1
3
3
0
0
4
3
Każdy spin może przyjąć jedną z trzech wartości: ∀i si ∈ (1, 2, 3).
Wszystkie spiny mają przypisaną wartość.
Początkowo wszystkie spiny mają przypisane wartości losowe zgodnie z zadanymi koncentracjami początkowymi ci0 .
- Koncentracje początkowe spełniają te same warunki co w modelu Sznajdów, czyli warunki (1) oraz (2).
- Spiny rozłożone są na sieci kwadratowej o rozmiarze L × L.
- Występują cykliczne warunki brzegowe.
- Liczność grupy G wynosi cztery.
- Sąsiadami spinu o współrzędnych (i, j) w grupie G są spiny, których jedna lub obie
współrzędne są większe o jeden.
W modelu występuje również reklama, która spełnia role zewnętrznego pola. Spełnia ona,
podobnie jak w dwóch poprzednich modelach, warunki (3) i (4). W tym modelu również nie
ma spinów odpornych na działanie reklamy. Również tutaj mamy te same trzy parametry:
cp , h0 oraz p. Jednak ze względu na to, że bierzemy pod uwagę grupę, a nie pojedyncze spiny
to kolejne kroki ewolucji wyglądają trochę inaczej niż w modelu Votera. Przedstawiają się
one następująco:
1. Wybierz losowo spin si,j .
2. Utwórz grupę G, w której skład wchodzą spiny: si,j , si,j+1 , si+1,j oraz si+1,j+1 .
3. Z prawdopodobieństwem p wykonaj:
- Wylicz opinię sG grupy G.
-
19
4.3 Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym
Dla każdego si ∈ G wykonaj
— Znajdź odpowiadający składowi grupy wiersz k w tabeli 1.
— Jeśli w k-tym wierszu sG = 0, to przejdź to kroku 5.
— Jeśli w k-tym wierszu sG 6= 0, to ∀si ∈ G si = sG .
4. Z prawdopodobieństwem 1 − p wykonaj:
- Z prawdopodobieństwem h1 : ∀si ∈ G si = 1.
- Z prawdopodobieństwem h2 : ∀si ∈ G si = 2.
- Z prawdopodobieństwem h3 : ∀si ∈ G si = 3.
5. Wróć do 1.
Podobnie jak w modelu Votera, tak i w modelu majority możliwa jest sytuacja, gdy
w danym kroku żaden ze spinów nie zmieni operatora. Jest tak, gdy wszystkie spiny są
jednomyślne, a przejście następuje zgodnie z konformizmem. Taka sytuacja występuje również wtedy, gdy jednomyślna grupa jest poddana działaniu reklamy firmy, z której usług
obecnie korzystają. Trzecim przypadkiem, w którym nie nastąpi zmiana wartości żadnego
ze spinów to sytuacja, w której jednocześnie spełnione są następujące warunki:
1. W grupie dwie osoby korzystają z usług operatora i, a pozostałe dwie z usług operatora
j, gdzie i, j ∈ (1, 2, 3) oraz i 6= j.
2. Na grupę działa konformizm społeczny.
Gdy opisana w dwóch powyższych punktach sytuacja zachodzi to grupa nie może się „dogadać” i żaden z jej członków nie zmienia operatora.
Warto zauważyć, że działanie reklamy jest we wszystkich trzech modelach „równoległe”
z działaniem konformizmu społecznego.
-
20
5. Wyniki
5. Wyniki
Aby zbadać zachowanie modelu Votera i modelu majority w przypadku zastosowania
ich do polskiego rynku telefonii komórkowej opisanego w podrozdziale 2.2 przeprowadzono
symulacje Monte Carlo oraz obliczenia analityczne przy użyciu przybliżenia pola średniego.
Ich wyniki przedstawione są w dwóch kolejnych podrozdziałach.
5.1. Symulacja Monte Carlo
Metodę Monte Carlo stworzył polski matematyk Stanisław Ulam. Metoda ta jest stosowana do analizy złożonych problemów, takich, które nie dają się (lub też jest to bardzo
trudne) rozwiązywać analitycznie. Idea metody Monte Carlo polega na obliczeniu parametrów układu za pomocą liczb losowych wygenerowanych ze znanego rozkładu.
Wszystkie przedstawione poniżej wyniki zostały uzyskane dla sieci 100 × 100. Początkowe koncentracje klientów Polkomtela i Polskiej Telefonii Cyfrowej wynosiły cp , a początkowa koncentracja klientów Polskiej Telefonii Komórkowej wyniosła, zgodnie z (6), 1 − 2cp .
We wszystkich symulacjach, przez cały czas ich trwania, natężenie reklamy dla wszystkich
trzech operatorów było stałe i wynosiło: h0 dla Polkomtela oraz PTC oraz, zgodnie z (7),
1 − 2h0 dla PTK. Wszystkie symulacje przeprowadzone zostały 102 razy, a otrzymane
wyniki uśrednione. Na wszystkich poniższych wykresach c_0 (tzn. c_0 = 1 − 2cp ) oznacza
koncentrację początkową firmy wchodzącej na rynek, h (tzn. h = 1 − 2h0 ) – natężenie
reklamy firmy wchodzącej na rynek, a c_k koncentrację końcową firmy wchodzącej na
rynek.
5.1.1. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera
Zależność koncentracji końcowej od natężenia reklamy ck (h) dla modelu Votera jest
całkowicie liniowa dla prawie wszystkich prawdopodobieństw konformizmu (rysunki od 8
do 13). Nawet dla wysokich wartości prawdopodobieństwa konformizmu p (rysunki od 9 do
13) zależność pozostaje liniowa, co odróżnia wyniki uzyskane za pomocą modelu Votera od
wyników z modelu majority i modelu Sznajdów. Wynik taki nie jest dziwny jeśli zwrócimy
uwagę na to, że prawdopodobieństwo wyjścia (ang. exit probability) w modelu Votera jest
również liniowe.4 Dla prawdopodobieństw p ¬ 0, 995 nie występuje zależność od koncentracji początkowej. Bez względu na wybór początkowej koncentracji osiągane udziały w rynku
są identyczne, zależne tylko od poziomu reklamy. Dla p = 1, czyli sytuacji, gdy nie działa
reklama, następuje całkowite odwrócenie zależności od parametrów. Funkcja koncentracji
końcowej z zależności od natężenia reklamy przechodzi w zależność od koncentracji początkowej: ck (h) 7→ ck (c0 ) (rysunek 14). Jest to oczywiście prawidłowe zachowanie, gdyż
przy tej wartości p nie działa reklama i koncentracja końcowa musi zależeć od koncentracji
początkowej.
4
Patrz rysunek 4
21
5.1 Symulacja Monte Carlo
Rys. 8. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera. Symbolami + oznaczono p = 0, 1; × – p = 0, 3;
∗ – p = 0, 5; – p = 0, 7; – p = 0, 9.
Rys. 9. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 95.
22
5.1 Symulacja Monte Carlo
Rys. 10. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 97.
Rys. 11. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 98.
23
5.1 Symulacja Monte Carlo
Rys. 12. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 99.
Rys. 13. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 995.
24
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
Rys. 14. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 1.
5.1.2. Wyniki symulacj MC dla modelu majority
W modelu majority zależność koncentracji końcowej dla niskich p (dla p ¬ 0, 5) jest
liniową funkcji natężenia reklamy h. Jak widać na rysunku 15, począwszy od około p = 0, 5
możemy zaobserwować zmianę tej tendencji. Odchylenie od zachowania liniowego rośnie
wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa konformizmu. Dla p = 0, 96 i wyższych (rysunki
17, 18) można zaobserwować krytyczną wartość koncentracji początkowej c∗0 poniżej której,
firma nie ma szans na utrzymanie się na rynku, bez względu na początkowe udziały.
(8)
ck = 0
ck > 0
dla
dla
c0 < c∗0
c0 > c∗0
Dla wysokich p możemy również zauważyć, że koncentracja końcowa jest funkcją nie tylko
natężenia reklamy i prawdopodobieństwa, ale zależy również od koncentracji początkowej:
ck (p, h, c0 ) – rysunki 17, 18. Oczywiście również dla modelu majority przy p = 1 funkcja
koncentracji końcowej przestaje zależeć od pola zewnętrznego: ck (p, c0 ). Jest to całkowicie
zgodne z oczekiwaniami zachowanie, gdyż dla p = 1 jedyny wpływ na stan spinów mają
inne spiny – brak jest pola zewnętrznego.
5.2. Przybliżenie pola średniego – MFA
Przybliżenie pola średniego (ang. Mean Field Approximation) jest to przybliżenie,
w którym oddziaływanie spinu z sąsiadami traktuje się jako oddziaływanie tego spinu
25
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
Rys. 15. Wyniki symulacji MC dla modelu majority. Symbolami + oznaczono p = 0, 1; × –
p = 0, 3; ∗ – p = 0, 5; – p = 0, 7; – p = 0, 9.
Rys. 16. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 0, 93.
26
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
Rys. 17. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 0, 96.
Rys. 18. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 0, 98.
27
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
Rys. 19. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 1.
z pewnym uśrednionym polem generowanym przez sąsiadów.
Wprowadźmy kilka oznaczeń przydatnych przy analizie obu modeli. Niech N1 (t), N2 (t)
oraz N3 (t) oznaczają odpowiednio klientów operatora pierwszego, drugiego oraz trzeciego
N2 (t)
w chwili t. Przez c1 (t) = NL1 (t)
i c3 (t) = NL3 (t)
oznaczę koncentracje (procen2 , c2 (t) =
2
L2
towy udział w rynku) odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego operatora. W żadnym
kroku ewolucji spin nie może zostać „bez przydziału do operatora”, czyli zakładamy, że
jeśli ktoś posiada już telefon komórkowy to nie rezygnuje z jego użytkowania. Jednocześnie
pamiętając, że początkowo we wszystkich modelach koncentracje sumowały się do jedności
(warunek (1)) otrzymuję warunek normalizacji koncentracji:
∀t
(9)
3
X
ci (t) = 1
i=1
Równanie bilansu w postaci ogólnej przedstawia się następująco:
(10)
Ni (t + 1) − Ni (t) = L2 (⇑ − ⇓) ,
Gdzie ⇑ i ⇓ oznaczają odpowiednio zmiany na korzyść i niekorzyść i-tego operatora. Zakładamy, że układ jest jednorodny (tzn. przestrzenne fluktuacje koncentracji są bliskie
zeru), co odpowiada przybliżeniu średniego pola. Metodę średniego pola wykorzystam do
wyliczenia prawdopodobieństw zajścia zdarzeń na korzyść i niekorzyść operatora. Prawdopodobieństwa te są iloczynami średniej koncentracji klientów poszczególnych operatorów,
siły reklamy tych operatorów oraz prawdopodobieństwa konformizmu. Szczegółowe wyliczenia przedstawione są poniżej.
28
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
5.2.1. Wyniki MFA dla modelu Votera
Zmiany na korzyść i niekorzyść w modelu Votera rozpatrzymy na przykładzie operatora pierwszego.5 Są cztery przejścia na korzyść i cztery na niekorzyść tej firmy. Możliwe
zmiany na jej korzyść wraz z prawdopodobieństwami zajścia takich zdarzeń przedstawiają
się następująco:
- Klient PTC został przekonany przez klienta Polkomtela – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi pc1 (t)c2 (t).
- Klient PTK został przekonany przez klienta Polkomtela – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi pc1 (t)c3 (t).
- Klient PTC został przekonany przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi (1 − p)h1 c2 (t).
- Klient PTK został przekonany przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi (1 − p)h1 c3 (t).
Podobnie zmiany na niekorzyść Polkomtela wraz z prawdopodobieństwami zajścia można
zapisać następująco:
- Klient Polkomtela został przekonany przez klienta PTC – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi pc2 (t)c1 (t).
- Klient Polkomtela został przekonany przez klienta PTK – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi pc3 (t)c1 (t).
- Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTC – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi (1 − p)h2 c1 (t).
- Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTK – prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia wynosi (1 − p)h3 c1 (t).
Zmiany dla pozostałych firm można zapisać analogicznie.
Wobec tego, po uwzględnieniu powyższych ośmiu zmian, równanie bilansu (10) dla
modelu Votera można zapisać jako:
(11) N1 (t + 1) − N1 (t) = L2 [pc1 (t)c2 (t) + pc1 (t)c3 (t) + (1 − p)h1 c2 (t)+
+(1 − p)h1 c3 (t) − pc2 (t)c1 (t) − pc3 (t)c1 (t) − (1 − p)h2 c1 (t) − (1 − p)h3 c1 (t)] .
Dla skrócenia zapisu wprowadzę dodatkowe oznaczenia. Niech ci oznacza ci (t) oraz niech
c0i oznacza ci (t+1). Po podzieleniu równania (11) obustronnie przez L2 i dokonaniu prostych
przekształceń otrzymuję
(12)
c01 − c1 = (1 − p)h1 c2 + (1 − p)h1 c3 − (1 − p)h2 c1 − (1 − p)h3 c1 ,
a następnie wyciągając wspólne czynniki przed nawias i stosując warunki normalizacji (3)
i (9) równanie bilansu mogę zapisać w postaci:
(13)
c01 − c1 = (1 − p)h1 (1 − c1 ) − (1 − p)c1 (1 − h1 ) ,
z którego łatwo można otrzymać końcowe równanie bilansu dla pierwszego operatora:
(14)
5
c01 − c1 = (1 − p) (h1 − c1 ) .
Dla uproszczenia zapisu przyjmę, że operator pierwszy to Polkomtel, drugi to PTC, a trzeci PTK.
29
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
Analogicznymi równaniami możemy przedstawić zmiany dla pozostałych dwóch operatorów. Wobec tego kompletne równania ewolucji dla modelu Votera przedstawiają się następująco:
(15)
c01 − c1 = (1 − p) (h1 − c1 ) ,
c02 − c2 = (1 − p) (h2 − c2 ) ,
c03 − c3 = (1 − p) (h3 − c3 ) .
Obliczając punkty stałe c0i − ci = 0 otrzymuję:
(16)
(1 − p) (hi − ci ) = 0
Dla p 6= 1 zerować musi się drugi nawias, czyli:
(17)
ci = hi
Jak widać z powyższego równania zależność końcowej koncentracji od reklamy w modelu
Votera jest całkowicie liniowa. Taki rezultat jest całkowicie zgodny z wynikami otrzymanymi za pomocą symulacji Monte Carlo, które opisano w 5.1.1.
5.2.2. Wyniki MFA dla modelu majority
Możliwych zmian w modelu majority jest aż czterdzieści jeden (dziewiętnaście na korzyść firmy i dwadzieścia dwa na jej niekorzyść). Tak duża liczba możliwych zachowań
wynika z tego, że rozpatrujemy tutaj grupę spinów, która (w przeciwieństwie do modelu
Sznajdów) nie musi być jednomyślna aby nastąpiła zmiana. Podobnie jak w modelu Votera
rozpiszę tylko zmiany na korzyść i niekorzyść pierwszej firmy, gdyż zmiany dla pozostałych
firm są analogiczne. Możliwe zmiany na korzyść Polkomtela wraz z prawdopodobieństwami
zajścia tych zdarzeń przedstawione są poniżej:
- Klient PTC został przekonany przez trzech klientów Polkomtela – prawdopodobieństwo
zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc31 (t)c2 (t).
- Klient PTK został przekonany przez trzech klientów Polkomtela – prawdopodobieństwo
zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc31 (t)c3 (t).
- Jeden klient PTC i jeden klient PTK zostali przekonani przez dwóch klientów Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24pc21 (t)c2 (t)c3 (t).
- Czterech klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c42 (t)h1 .
- Czterech klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c43 (t)h1 .
- Trzech klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c1 (t)c32 (t)h1 .
- Trzech klientów PTC i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 − p)c32 (t)c3 (t)h1 .
- Trzech klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c1 (t)c33 (t)h1 .
30
5.2 Przybliżenie pola średniego – MFA
-
Trzech klientów PTK i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 − p)c2 (t)c33 (t)h1 .
- Dwóch klientów PTC i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 − p)c1 (t)c22 (t)c3 (t)h1 .
- Dwóch klientów PTC i dwóch klienów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 48(1 − p)c22 (t)c23 (t)h1 .
- Dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c21 (t)c22 (t)h1 .
- Dwóch klientów PTK i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 − p)c1 (t)c2 (t)c23 (t)h1 .
- Dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c21 (t)c23 (t)h1 .
- Jeden klient PTC został przekonany przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo
zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c31 (t)c2 (t)h1 .
- Jeden klient PTC i jeden klient PTK zostali przekonani przez reklamę Polkomtela –
prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 48(1 − p)c21 (t)c2 (t)c3 (t)h1 .
- Jeden klient PTC i dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 − p)c1 (t)c2 (t)c23 (t)h1 .
- Jeden klient PTK został przekonany przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo
zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c31 (t)c3 (t)h1 .
- Jeden klient PTK i dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 − p)c1 (t)c22 (t)c3 (t)h1 .
W sposób analogiczny można zapisać zmiany na niekorzyść Polkomtela wraz z ich prawdopodobieństwami zajścia:
- Klient Polkomtela został przekonany przez trzech klientów PTC – prawdopodobieństwo
zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc1 (t)c32 (t).
- Klient Polkomtela został przekonany przez trzech klientów PTK – prawdopodobieństwo
zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc1 (t)c33 (t).
- Klient Polkomtela oraz klient PTK zostali przekonani przez dwóch klientów PTC –
prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12pc1 (t)c22 (t)c3 (t).
- Klient Polkomtela oraz klient PTC zostali przekonani przez dwóch klientów PTK –
prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12pc1 (t)c2 (t)c23 (t).
- Czterech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c41 (t)h2 .
- Czterech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c41 (t)h3 .
- Trzech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c31 (t)c2 (t)h2 .
- Trzech klientów Polkomtela i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę
PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 − p)c31 (t)c3 (t)h2 .
- Trzech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c31 (t)c3 (t)h3 .
31
5.3 Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów
-
Trzech klientów Polkomtela i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę
PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 − p)c31 (t)c2 (t)h3 .
- Dwóch klientów Polkomtela i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę
PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1−p)c21 (t)c2 (t)c3 (t)h2 .
- Dwóch klientów Polkomtela i dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę
PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 − p)c21 (t)c23 (t)h2 .
- Dwóch klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c21 (t)c22 (t)h2 .
- Dwóch klientów Polkomtela i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę
PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1−p)c21 (t)c2 (t)c3 (t)h3 .
- Dwóch klientów Polkomtela i dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę
PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 − p)c21 (t)c22 (t)h3 .
- Dwóch klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 − p)c21 (t)c23 (t)h3 .
- Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTC – prawdopodobieństwo zajścia
takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c1 (t)c32 (t)h2 .
- Klient Polkomtela i klient PTK zostali przekonani przez reklamę PTC – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 − p)c1 (t)c22 (t)c3 (t)h2 .
- Klient Polkomtela i dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę PTC –
prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 − p)c1 (t)c2 (t)c23 (t)h2 .
- Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTK – prawdopodobieństwo zajścia
takiego zdarzenia wynosi 4(1 − p)c1 (t)c33 (t)h3 .
- Klient Polkomtela i klient PTC zostali przekonani przez reklamę PTK – prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 − p)c1 (t)c2 (t)c23 (t)h3 .
- Klient Polkomtela i dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę PTK –
prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 − p)c1 (t)c22 (t)c3 (t)h3 .
Po prawej stronie równania bilansu (10) dla modelu majority jest aż czterdzieści jeden
składników (tyle, co możliwych zachowań układu) i próba ich analizy nie prowadzi do
prostych uproszczeń – zachowanie modelu jest bardzo złożone.
5.3. Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów
Wyniki uzyskane z obydwu modeli (Voter model i majority model) pokazują, że podobnie jak rezultaty uzyskane z modelu Sznajdów w [3] dla niskich p zależność koncentracji końcowej od parametrów modelu jest tylko funkcją prawdopodobieństwa konformizmu
p i reklamy, czyli ck = f (h, p). Przesunięciu uległa tylko wartość tego granicznego prawdopodobieństwa. Dla modelu Sznajdów było to około p = 0, 7, a dla badanych przeze
mnie modeli wartość ta osiągneła p = 0, 9. W modelu majority, podobnie jak w modelu
Sznajdów, zależność od pola zewnętrznego jest nieliniowa dla wyższych wartości prawdopodobieństwa konformizmu p. Wyniki uzyskane z modelu Votera różnią się znacznie do
wyników z modelu Sznajdów. Dla modelu wyborcy dopiero przy bliskiej jedynce wartości
prawdopodobieństwa konformizmu ujawnia się zależność koncentracji końcowej od koncentracji początkowej. W modelu majority, podobnie jak w modelu Sznajdów, koncentracja
32
5.3 Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów
końcowa dla wysokich p jest zależna od wszystkich trzech parametrów: ck = f (c0 , h, p).
Oczywiście dla p = 1 we wszystkich trzech modelach mamy ck = f (c0 , p), gdyż przy tej
wartości prawdopodobieństwa konformizmu nie może być zależności od reklamy – reklama
wówczas nie działa.
33
6. Podsumowanie
6. Podsumowanie
W pracy tej przedstawiłem dwa modele służące do badania wpływu konformizmu społecznego i reklamy na wybory konsumenckie na rynku oligopolistycznym. Modele te zostały
użyte do zbadania sytuacji na polskim rynku telefonii komórkowej, który jest bardzo dobrym przykładem oligopolu z trzema graczami. W obu modelach na konsumenta wpływają
dwie równolegle działające siły. Pierwsza z nich to wpływ społeczny. Ma on lokalny zasięg
oddziaływania. Drugą siłą jest reklama, której zasięg działania jest globalny i pełni ona
rolę pola zewnętrznego.
Do zbadania obu zaproponowanych modeli użyłem dwóch metod. Pierwszą z nich były
symulacje Monte Carlo, a drugą analiza za pomocą przybliżenia pola średniego. Modele
zostały tak zbudowane, aby były zależne od trzech parametrów: koncentracji początkowej
cp klientów poszczególnych operatorów, natężenia reklamy h0 oraz prawdopodobieństwa
konformizmu p. W przypadku modelu Votera za pomocą obu wymienionych wyżej metod
otrzymałem zależność liniową od natężenia reklamy. W modelu majority symulacje Monte
Carlo pokazały, że dla dostatecznie wysokich wartości parametru p istnieje wartość krytyczna początkowej koncentracji, jednak duży stopień skomplikowania analizy tego modelu
przy użyciu przybliżenia pola średniego uniemożliwił porównanie wyników symulacji komputerowej z wynikami analitycznymi.
Ze względu na stale rosnący udział w rynku czwartego operatora sieci komórkowej, uważam, że ciekawe wyniki mogłyby dać badania sprawdzające zachowanie rynku w sytuacji,
gdy mielibyśmy trzy firmy o stabilnej pozycji rynkowej oraz czwartą firmę – wchodzącą na
rynek. Badania takie nie były celem tej pracy, ale być może będą przedmiotem przyszłych
prac.
34
Literatura
Literatura
1. Claudio Castellano, Santo Fortunato, Vittorio Loreto, Statistical physics of social dynamics. Reviews of Modern Physics 81, (2009)
2. Katarzyna Sznajd-Weron, Rafał Weron How effective is advertising in duopoly markets?
Physica A 324, 437 (2003).
3. Katarzyna Sznajd-Weron, Rafał Weron, Maja Włoszczowska Outflow Dynamics in Modeling Oligopoly Markets: The Case of the Mobile Telecomunications Market in Poland. J.
Stat. Mech. P11018, (2008).
4. Maja Włoszczowska, Wojny Coli (Cola wars) – czyli siła reklamy na rynku oligopolicznym.
Praca magisterska, Politechnika Wrocławska, Wrocław 2008.
5. Katarzyna Sznajd-Weron, Józef Sznajd, Opinion evolutionin closed community. Int. J.
Mod. Phys. C 11, 1157-1165, (2000)
6. T.Erdem, M.P.Keane, Market. Sci. 15, 1, (1996)
7. M.A.Janssen, W.Jager, J. Econ. Psychol. 22, 745, (2001)
8. Główny Urząd Statystyczny, Rocznik statystyczny Rzeczypospolitej Polskiej 2008. Warszawa, Zakład Wydawnictw Statystycznych 2008.
9. Urząd Komunikacji Elektronicznej, Raport o stanie rynku telekomunikacyjnego w 2008
roku. Warszawa 2009.
10. Ernst Ising, Beitrag zur theorie des ferromagnetismus. Zeitschrift für Physik 31, 253-258
(1925)
11. P.Clifford, A.Sudbury, A Model for Spatial Conflict. Biometrika 60, 581, (1973)
12. R.J.Glauber, Time-Dependent Statistics of the Ising Model. J. Math. Phys 4, 294, (1963)
13. P.L.Krapivsky, S.Redner, Dynamics of Majority Rule in Two-State Interacting Spin Systems, Phys. Rev. Lett. 90, 238701, (2003)
14. S.Galam, Minority opinion spreading in random geometry, Eur. Phys. J. B 25, 403, (2002)
15. S.Galam, J. Math. Psychol. 30, 426, (1986)
16. S.Galam, J. Stat. Phys. 61, 943, (1990)
17. D.Stauffer, A.O.Sousa S. Moss de Oliveira, Generalization to square lattice of Sznajd sociophysics model. Int. J. Mod. Phys. 11, 1239-1245, (2000)
18. Katarzyna Sznajd-Weron, Sznajd model and its applications, Acta Physica Polonica B 36,
1001-1011, (2005)
19. F.Slanina, K. Sznajd-Weron, P.Przybyła, Some new results on one-dimensional outflow
dynamics. EPL, 82 18006, (2008)
35