docAkumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia w N
download 
Reklamacja Transkrypt
Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia w N
Tomasz Tokarski Uniwersytet Jagielloński Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego* 1. Wprowadzenie Celem prezentowanego opracowania jest próba teoretycznej analizy współzależności zachodzących pomiędzy procesem akumulacji kapitału, wzrostem produktu, wzrostem zatrudnienia oraz (implicite) zmianami bezrobocia. Rozważania te prowadzone są na gruncie N-kapitałowego wzrostu gospodarczego. W analizowanym w opracowaniu modelu wzrostu gospodarczego (będącego rozszerzeniem neoklasycznych modeli wzrostu Solowa, Mankiwa-Romera-Weila oraz Nonnemana-Vanhoudta1) przyjmuje się m.in., że proces produkcyjny opisany jest przez N + 1-czynnikową funkcję produkcji Cobba-Douglasa (w której w skład czynników produkcji wchodzi N różnych zasobów kapitału oraz nakłady efektywnej pracy), przyrost każdego z zasobów kapitału jest różnicą między inwestycjami w ów zasób a jego deprecjacją, popyt na pracę (podobnie jak w neoklasycznych modelach rynku pracy) wyznaczany jest przez zrównanie krańcowego produktu pracy z płacami realnymi, płace realne zaś kształtują się zgodnie * Autor pragnie podziękować Pawłowi Dykasowi (studentowi matematyki i ekonomii na Uniwersytecie Jagiellońskim) za uwagi do matematycznej strony prezentowanego opracowania. 1 R.M. Solow, A Contribution to the Theory of Economic Growth, „Quarterly Journal of Economics” 1956, February; N.G. Mankiw, D. Romer, D.N. Weil, A Contribution to the Empirics of Economic Growth, „Quarterly Journal of Economics” 1992, May oraz W. Nonneman, P. Vanhoudt, A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, „Quarterly Journal of Economics” 1996, August. 104 Tomasz Tokarski z mechanizmem zbliżonym do tego, który występuje w modelach płac efektywnościowych Solowa i Summersa2. Prezentowany w opracowaniu model wzrostu gospodarczego jest również rozszerzeniem i kompilacją modeli wzrostu z endogeniczną stopą wzrostu liczby pracujących prezentowanych we wcześniejszych opracowaniach autora3. 2. Model W analizowanym w pracy modelu wzrostu gospodarczego przyjmuje się następujące założenia4: 2 R.M. Solow, Another Possible Source of Wage Stickiness, „Journal of Macroeconomics” 1979, Winter oraz L.H. Summers, Relative Wages, Efficiency Wages, and Keynesian Unemployment, „American Economic Review” 1988, May. Alternatywne modele rynku pracy scharakteryzowane są m.in. w pracach P. Fallona, D. Very’ego, The Economics of Labour Market, Philip Allan, New York 1988; C.A. Pissaridesa, Equilibrium Unemployment Theory, Basil Blackwell, Oxford, UK, Cambridge, MA 1990; M.W. Sochy, U. Sztanderskiej, Strukturalne podstawy bezrobocia w Polsce, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000; E. Kwiatkowskiego, Bezrobocie w nowej ekonomii keynesistowskiej [w:] Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i bezrobocie w Polsce. Ujęcie teoretyczne i praktyczne, Materiały pokonferencyjne, Katedra Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2000; E. Kwiatkowskiego, Bezrobocie. Podstawy teoretyczne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002; E. Kwiatkowskiego, P. Gajewskiego, T. Tokarskiego, Determinanty popytu na pracę w teorii ekonomii [w:] System prognozowania popytu na pracę w Polsce, cz. 1: Podstawowa metodologia, pod red. B. Sucheckiego, Studia i Materiały RCSS, t. 11, Warszawa 2003; T. Tokarskiego, Statystyczna analiza regionalnego zróżnicowania wydajności pracy, zatrudnienia i bezrobocia w Polsce, Wydawnictwo PTE, Warszawa 2005, rozdz. 1 lub P. Krajewskiego, T. Tokarskiego, Rynek pracy w modelach nowej ekonomii klasycznej [w:] Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i rynek pracy w Polsce. Ujęcie teoretyczne i empiryczne, pod red. S. Krajewskiego, P. Kaczorowskiego, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2006, zaś alternatywne modele wzrostu scharakteryzowane są np. w pracach R.J. Barro, X. Sala-i-Martina, Economic Growth, McGraw-Hill, New York 1995; P. Aghiona, P. Hewitta, Endogenous Growth Theory, MIT Press, Cambridge, MA, London, England 1998; T. Tokarskiego, Determinanty wzrostu gospodarczego w warunkach stałych efektów skali, Katedra Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2001; T. Tokarskiego, Wybrane modele podażowych czynników wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2005; P. Kawy, Wzrost gospodarczy na gruncie modeli wzrostu endogenicznego – ujęcie teoretyczne i wnioski dla polityki gospodarczej [w:] Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i rynek pracy w Polsce. Ujęcie teoretyczne i empiryczne, pod red. S. Krajewskiego, L. Kucharskiego, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2005 lub K. Cichego, Kapitał ludzki i postęp techniczny jako determinanty wzrostu gospodarczego, Instytut Wiedzy i Innowacji, Warszawa 2008. 3 T. Tokarski, Wzrost gospodarczy a rynek pracy w neoklasycznych modelach wzrostu, „Studia Ekonomiczne INE PAN” 2003, nr 3; T. Tokarski, Wybrane modele…, rozdz. 4; T. Tokarski, Optymalne stopy inwestycji w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego, „Gospodarka Narodowa” 2007, nr 9; T. Tokarski, Efekty skali a akumulacja i wzrost zatrudnienia, „Ekonomista” 2007, nr 5 oraz T. Tokarski, Efekty skali a wzrost gospodarczy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2008, rozdz. 3. 4 O wszystkich występujących w dalszej części opracowania zmiennych implicite zakłada się, że są różniczkowalnymi funkcjami czasu t[0; +). Zapis x xt dx / dt oznaczał będzie po- 105 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… 1. Proces produkcyjny opisany jest przez rozszerzoną funkcję produkcji Cobba-Douglasa daną wzorem5: t [0; ) Y t N K t At Lt i i (1) , i 1 gdzie Y jest strumieniem wytworzonego produktu, Ki to nakłady i-tego zasobu kapitału (dla każdego i = 1, 2, …, N), A to zasób wiedzy wykorzystywanej w procesach produkcyjnych, której przyrost ma charakter egzogenicznego postępu technicznego w sensie Harroda (czyli postępu technicznego bezpośrednio potęgującego produktywność pracy), L to liczba pracujących. Parametry i (dla każdego i = 1, 2, …, N) są elastycznościami wytworzonego strumienia produktu względem nakładów i-tego zasobu kapitału, zaś to elastyczność owego produktu względem nakładów efektywnej pracy AL. O elastycznościach 1, 2, …, N oraz zakłada się, że i 1, 2, ..., N i 0; 1 , N 0; 1 oraz (0; 1). Poniei i 1 waż stopień jednorodności funkcji produkcji (1), względem nakładów kapitału N K1, K2, …, KN oraz jednostek efektywnej pracy AL, równy jest i , zatem i 1 N jeśli wyrażenie i jest mniejsze (większe) od jedności, to występują ma- i 1 N lejące (rosnące) efekty skali procesu produkcyjnego, zaś przy i 1 i 1 (podobnie jak w neoklasycznych modelach Solowa, Mankiwa-Romera-Weila czy Nonnemana-Vanhoudta) mają miejsce stałe efekty skali tegoż procesu6. 2. Przyrost każdego z zasobów kapitału Ki opisany jest przez następujące równanie różniczkowe: t [0; ) i 1, 2, ..., N Ki t siY t i K i t , (2) gdzie si jest stopą inwestycji w i-ty zasób kapitału, natomiast i to stopa deprecjacji tego zasobu (dla każdego i = 1, 2, …, N). Oznacza to, że przyrost i-tego (dla i = 1, 2, …, N) zasobu kapitału Ki jest różnicą pomiędzy inwestycjami siY chodną zmiennej x po czasie t, czyli – ekonomicznie rzecz biorąc – przyrost wartości tej zmiennej w momencie t. 5 Por. też np. W. Nonneman, P. Vanhoudt, op. cit. lub T. Tokarski, Optymalne stopy inwestycji… 6 Szerzej na ten temat por.: T. Tokarski, Wybrane modele…; T. Tokarski, Optymalne stopy inwestycji… lub T. Tokarski, Efekty skali a wzrost gospodarczy… 106 Tomasz Tokarski w ów zasób a jego deprecjacją iKi. O stopach inwestycji si oraz o stopach deprecjacji i zakłada się, że i 1, 2, ..., N si , i 0; 1 i N s 0; 1 . Natomiast i i 1 o zasobach Ki przyjmuje się również założenie, że: t [0; ) i 1, 2, ..., N K i t 0. 3. W warunkach maksymalizujących zysk producentów, podobnie jak w neoklasycznych modelach rynku pracy7, popyt na pracę wyznaczany jest przez zrównanie krańcowego produktu pracy Y/L z płacami realnymi w 8. Stąd oraz z równania (1) wynika, że funkcja popytu na pracę jest rozwiązaniem równania: t [0; ) wt Y t Lt (3) wzglądem liczby pracujących L. 4. Podobnie jak w modelach płac efektywnościowych typu Solowa i Summersa9 zakłada się, że poziom płac realnych w jest tym wyższy, im niższa jest stopa bezrobocia u. Ponadto (podobnie jak w pracach A. Rogut i T. Tokarskiego10) przyjmuje się też, że płace te rosną wraz ze wzrostem wydajności pracy Y/L. Wspomniane założenia spełnione są m.in. przez następującą funkcję płac realnych: Y t Y t 1 u t t [0; ) wt Lt Lt Lt S , N t (4) 7 Por. np. D. Laidler, S. Estron, Wstęp do mikroekonomii, Gebethner i Ska, Warszawa 1991, rozdz. 10 i 19; R. Backhouse, Applied UK Macroeconomics, Basil Blackwell, Oxford 1991, s. 124– 125; P. Fallon, D. Verry, op. cit., s. 258–260 lub E. Kwiatkowski, T. Tokarski, Determinanty bezrobocia w Polsce w okresie transformacji. Modele teoretyczne oraz próba ich weryfikacji, Zeszyt Naukowy INE-PAN nr 11/1995, s. 16–18. 8 Gdyby założenie to uznać za zbyt restrykcyjne, to przy funkcji produkcji Cobba-Douglasa (1) równanie popytu na pracę (3) sprowadza się do tego, że pracodawcy są skłonni zapłacić za usługi czynnika „praca” -tą część wytworzonego produktu (por. równanie (7)). 9 Por. też D. Romer, Advanced Macroeconomics, McGraw Hill, New York 1996, pkt 10.2; B. Snowdon, H. Vane, P. Dynarczyk, Współczesne nurty teorii makroekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, s. 324–328; E. Kwiatkowski, Bezrobocie w nowej ekonomii…; M.W. Socha, U. Sztanderska, op. cit., s. 33–36 lub A. Wojtyna, Ewolucja keynesizmu a główny nurt ekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 225–227. 10 A. Rogut, T. Tokarski, Regional Diversity of Wages in Poland in the 90’s, „International Journal of Economics and Business” 2001, December oraz A. Rogut, T. Tokarski, Determinanty regionalnego zróżnicowania płac w Polsce, „Ekonomista” 2007, nr 1. 107 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… L jest stopą bezrobocia, NS U + L to podaż pracy (utożsamiana S N z sumą liczby osób bezrobotnych U i pracujących L), (0; 1] jest elastycznością płacy realnej w względem wydajności pracy Y/L, (0; 1) to elastyczność owych płac względem stopy zatrudnienia L/NS, zaś > 0 jest pewną stałą, która nie ma bezpośredniej interpretacji ekonomicznej11. 5. Zasoby wiedzy A i podaży pracy NS rosną według egzogenicznych stóp wzrostu równych (odpowiednio) g > 0 i n > 0. Oznacza to, że: gdzie u 1 At g At NS t n. N S t t [0; ) t [0; ) (5) (6) Dodatkowo przyjmuje się także, że: t [0; ) At , N S t 0. Z równania (1) wynika, iż: t [0; ) N Y t Y t 1 K i t i At Lt , Lt Lt i 1 a stąd oraz ze związku (3) dochodzi się do zależności: t [0; ) wt Y t . Lt (7) Związki (4) i (7) implikują równanie: t [0; ) Y t Y t Lt Lt Lt S N t lub Y t t [0; ) Lt 1 Lt S , N t bądź po zlogarytmowaniu stronami i zróżniczkowaniu względem czasu t [0; +) powyższej zależności: 11 Stałą można interpretować jako jednostkowe koszty pracy przy wydajności pracy Y/L równej jedności oraz zerowej stopie bezrobocia u. 108 Tomasz Tokarski t [0; ) 1 GY t GL t GL t N S t , N t S gdzie GY Y/ Y to stopa wzrostu strumienia produktu, zaś GL L/ L jest stopą wzrostu liczby pracujących. Uwzględniając związek (6), powyższe równanie można zapisać także następująco: t [0; ) 1 GY t GL t GL t n , skąd wynika, że12: t [0; ) GL t n 1 GY t . 1 1 (8) Z równania (8) można wyciągnąć m.in. wniosek, że stopa wzrostu liczby pracujących GL w analizowanym tu modelu wzrostu gospodarczego jest tym wyższa, im wyższe są stopa wzrostu podaży pracy n oraz stopa wzrostu strumienia produktu GY. Logarytmując stronami i różniczkując względem czasu t [0; +) funkcję produkcji (1), dochodzi się do zależności: t [0; ) GY t At N G t At G t , i i L (9) i 1 gdzie Gi Ki / K i jest stopą wzrostu i-tego zasobu kapitału (dla każdego i = 1, 2, …, N). Wstawiając zaś równanie (5) do zależności (9), uzyskuje się związek: t [0; ) GY t g GL t N G t . i i (10) i 1 Dzieląc stronami równania (2) przez Ki (dla każdego i = 1, 2, …, N), dochodzi się do zależności: t [0; ) i 1, 2, ..., N Gi t si Y t i , K i t z których wynika, że: Jeśli stopa wzrostu liczby pracujących GL L/ L w równaniu (9) ukształtuje się na takim poziomie, że L U , to stopa bezrobocia u spadnie do zera. Jeśli zaś L U , to albo rosnący popyt 12 na pracę będzie niezaspokojony, albo (co bardziej prawdopodobnie) nastąpi napływ pracowników z zagranicy. 109 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… t [0; ) i 1, 2, ..., N Gi t GY t Gi t . Gi t i (11) Jeśli gospodarka znajduje się w stanie wzrostu równomiernego (steady state)13, to stopy wzrostu każdego z zasobów kapitału (Gi dla i = 1, 2, …, N) oraz strumienia produktu (GY) są stałe w czasie. Oznacza to, że i 1, 2, ..., N Gi 0 i G 0, skąd wynika, iż równania (11) sprowadzają się wówczas do zależności: Y i 1, 2, ..., N GY* Gi* , (12) gdzie GY* jest stopą wzrostu produktu w warunkach wzrostu równomiernego, zaś G1*, G2*, …, GN* to stopy wzrostu kolejnych zasobów kapitału w warunkach długookresowej równowagi rozważanego modelu wzrostu gospodarczego. Oznaczając przez: G * GY* G1* G2* ... GN* długookresową stopę wzrostu analizowanych tu zmiennych makroekonomicznych oraz uwzględniając równanie (10), okazuje się, że w długim okresie zachodzi związek: N 1 i G * GL* g , (13) i 1 gdzie GL* to długookresowa stopa wzrostu liczby pracujących. Z zależności (8) oraz (13) wynika, że długookresowa stopa wzrostu produktu G* (równa, zgodnie z równaniem (12), długookresowym stopom wzrostu kolejnych zasobów kapitału) i długookresowa stopa wzrostu liczby pracujących GL* są rozwiązaniami następującego układu równań: 1 N G i * GL* g i 1 1 G * 1 GL* n lub w postaci macierzowej: N * 1 i G g . i 1 G * n L 1 1 (14) 13 Pojęcia wzrostu równomiernego i długookresowej równowagi używane będą odtąd zamiennie. 110 Tomasz Tokarski Układ równań (14) można rozwiązać, korzystając np. z metody wyznaczników Cramera. Kolejne wyznaczniki Cramera tego układu równań dane są wzorami: W 1 N 1 1 i i 1 1 WY g n 1 N N 1 1 i i 1 i i 1 1 g n 0 (15a) (15b) oraz WL 1 N i i 1 1 1 n g N n 1 g 0 . i (15c) i 1 Układ równań (14) ma rozwiązanie (co jest tożsame z tym, że istnieje długookresowa równowaga rozważanego tu modelu wzrostu gospodarczego) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik W jest różny od zera. Wyznacznik ten jest zaś N różny od zera wówczas, gdy stopień jednorodności i funkcji produkcji i 1 (1) spełnia nierówność: N 1 i N i 1 i 1 . 1 i 1 (16) Jeśli spełniona jest nierówność (16), to możliwe są dwa następujące przypadki: N 1 i N 1) przypadek, w którym i 1 i 1 , co implikuje, że 1 i 1 wówczas W < 0 oraz: N 1 i N 2) przypadek, w którym i 1 i 1 , skąd wynika, że 1 i 1 W > 0. 111 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… N 1 i N W sytuacji, w której zachodzi związek i 1 i 1 , długo1 i 1 okresowa stopa wzrostu strumienia produktu oraz kolejnych zasobów kapitału (czyli G*) oraz długookresowa stopa wzrostu liczby pracujących (GL*) są ujemne, gdyż (zgodnie z zależnościami (15abc)) W < 0, zaś WY, WL > 0. Ponieważ przypadek ten wydaje się mało adekwatny do realnie funkcjonujących gospodarek, zatem będzie pomijany w prowadzonych dalej rozważaniach. N 1 i N Natomiast w przypadku, w którym i 1 i 1 , długookre1 i 1 * * sowe stopy wzrostu G i GL , będące rozwiązaniem układu równań (14), opisane są przez następujące związki: G* 1 g n 0 N i 1 1 i i 1 i 1 WY W 1 N (17a) i GL* WL W 1 1 N n 1 g i i 1 i 1 1 i 1 N i i 1 N 0. (17b) Z równań (17ab) wynika co następuje: – Długookresowe stopy wzrostu strumienia produktu i każdego z zasobów kapitału (równe G*) oraz długookresowa stopa wzrostu liczby pracujących (GL*) zależne są (po pierwsze) od stopy harrodiańskiego postępu technicznego g i stopy wzrostu podaży pracy n, (po drugie) od elastyczności (1, 2, …, N oraz ) makroekonomicznej funkcji produkcji (1) i (po trzecie) od elastyczności ( oraz ) funkcji płac realnych (4). – Stąd, że: G * g 1 1 i 1 1 i 1 N i i 1 N 0 112 Tomasz Tokarski G * n 1 G L* g 1 i 1 1 i 1 N i i 1 N 0 1 N i 1 i 1 1 i N i 1 0 oraz N 1 i * GL i 1 N n 1 i 1 1 i 1 i i 1 N 0, wynika, że im wyższe są stopa postępu technicznego w sensie Harroda g i (lub) stopa wzrostu podaży pracy n, tym szybciej rosną w długim okresie wielkości wytworzonego produktu, każdego z zasobów kapitału oraz liczba pracujących. – Ponieważ: i 1, 2, ..., N G * 1 g n1 0 2 i N N 1 j 1 1 j j 1 j 1 oraz G 1 * N i 1 1 g n1 1 i 0, 2 i 1 1 i i 1 i 1 N N zatem im wyższe są elastyczności 1, 2, …, N oraz makroekonomicznej funkcji produkcji (1), tym wyższe są stopy wzrostu strumienia produktu Y oraz kolejnych zasobów kapitału K1, K2, …, KN w długim okresie. Wynika stąd N również, że im wyższy jest stopień jednorodności i analizowanej i 1 funkcji produkcji, przy czym stopień ten nie może przewyższać wielkości 113 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… N 1 i 1 i 1 , tym wyższe są długookresowe stopy wzrostu produktu i każ1 dego z zasobów kapitału. – Różniczkując równanie (17b) względem elastyczności 1, 2, …, N oraz , okazuje się, że: i 1, 2, ..., N GL* i 1 n 1 g 1 j 1 1 j 1 N i i 1 N 2 0 i GL* N N i 1 i 1 0, 1 1 1 i g 1 i n 1 N N 1 1 i i 1 i i 1 2 co implikuje, że wysokim wartościom wspomnianych uprzednio elastyczności funkcji produkcji odpowiada wysoka stopa wzrostu liczby pracujących w długim okresie. – Pochodna cząstkowa G* po elastyczności płac realnych w względem wydajności pracy Y/L dana jest wzorem: G 1 1 * N i 1 i n g i 1 1 i 1 N i i 1 N 2 , skąd wynika, że jeśli stopa harrodiańskiego postępu technicznego g jest niższa N 1 i n , to pochodna cząstkowa G*/ jest do(wyższa) od ilorazu i 1 datnia (ujemna) i wysokiej elastyczności towarzyszą wysokie długookresowe stopy wzrostu produktu Y i kolejnych nakładów kapitału K1, K2, …, KN 114 Tomasz Tokarski 1 * (równe G ). Natomiast przy g N i i 1 n rozważana tu pochodna cząst- kowa równa jest zeru i elastyczność nie oddziałuje na stopę wzrostu G*. – Stąd, że: 1 N N 1 i i GL* i 1 i 1 N 1 i 1 1 i 1 g i i 1 N 2 , wynikają następujące wnioski. Jeśli stopa egzogenicznego postępu technicznego N 1 i n , w sensie Harroda g jest niższa (wyższa) od wyrażenia i 1 to pochodna cząstkowa G*L/ jest dodatnia (ujemna) i wysokiej elastyczności płac realnych w względem wydajności pracy Y/L odpowiada wysoka (niska) długookresowa stopa wzrostu liczby pracujących. Jeśli zaś N 1 i n , to stopa wzrostu wydajności pracy nie zależy w długim g i 1 okresie od elastyczności . – Różniczkując równania (17ab) względem okazuje się, że: G * 1 1 1 N i 1 i n g i 1 1 i 1 N i i 1 N 2 oraz 1 1 GL* N i i 1 1 1 N i 1 i n g i 1 1 i 1 N i i 1 N 2 , 115 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… co implikuje, że przy stopie postępu technicznego w sensie Harroda g niższej N 1 i n pochodne G*/ i G */ są większe (mniejsze) (wyższej) od i 1 L od zera i wysokiej elastyczności płac realnych w względem stopy zatrudnienia 1– u odpowiadają wysoka (niska) długookresowa stopa wzrostu gospodarczego G* oraz wysoka (niska) długookresowa stopa wzrostu liczby pracujących GL*. N 1 i n analizowane uprzednio pochodne cząstNatomiast przy g i 1 kowe równe są zeru i długookresowe stopy G* oraz GL* są niezależne od elastyczności . Ponieważ wydajność pracy y i zasób i-tego kapitału na jednego pracującego ki (dla każdego i = 1, 2, …, N) można zapisać wzorami: t 0; y t Y t Lt i t 0; i 1, 2, ..., N ki t K i t , Lt zatem stopy wzrostu wspomnianych uprzednio zmiennych makroekonomicznych zapisuje się następująco: t 0; yt Yt Lt y t Y t Lt oraz t 0; i 1, 2, ..., N ki t Ki t Lt . ki t K i t Lt W długim okresie (przy t +) stopy wzrostu G*, zaś (18a) (18b) Y K1 K2 K , , , …, N dążą do Y K1 K 2 KN L GL* . Stąd zaś oraz z równań (18ab) wynika, że: L lim t yt kt kt k t lim 1 lim 2 ... lim N g * G * GL* , t k t y t t k1 t t k 2 t N (19) 116 Tomasz Tokarski gdzie g* jest długookresową stopą wzrostu zarówno wydajności pracy, jak i zasobu każdego z zasobów kapitału na pracującego. Wstawiając równania (17ab) do związku (19) okazuje się, że stopę wzrostu g* podstawowych, rozważanych w opracowaniu kategorii makroekonomicznych przypadających na pracującego można zapisać następująco: N 1 i n 1 g 1 g n i 1 g* , N N N N 1 i 1 1 i 1 i 1 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 czyli N g 1 i n i 1 (20) g* . N N 1 i 1 1 i i 1 i 1 Z równania (20) wynika co następuje14: – Długookresowe stopy wzrostu wydajności pracy i kolejnych zasobów kapitału na pracującego, podobnie jak stopy G* oraz GL*, zależne są od stopy postępu technicznego w sensie Harroda (g), stopy wzrostu podaży pracy (n), elastyczności 1, 2, …, N i makroekonomicznej funkcji produkcji (1) oraz elastyczności i funkcji płac realnych (4). – Jeśli stopa harrodiańskiego postępu technicznego g jest wyższa (niższa) N 1 i n , to długookresowe stopy wzrostu wydajności pracy od ilorazu i 1 y oraz kolejnych nakładów kapitału na pracującego k1, k2, …, kN są dodatnie N 1 i n produkt oraz kolejne zasoby (ujemne). Natomiast przy g i 1 kapitału na pracującego nie będą ulegały zmianom w czasie w długookresowej równowadze. 14 Równanie (20), podobnie jak równania (17ab), jest interpretowane ekonomicznie wówczas, N 1 i N gdy zachodzi nierówność: i 1 i 1 . 1 i 1 117 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… – Stąd, że: g * g 1 i 1 1 i 1 N i i 1 N 0, wynika, iż wysoka stopa harrodiańskiego postępu technicznego prowadzi w długim okresie do wysokich stóp wzrostu podstawowych zmiennych makroekonomicznych przypadających na jednego pracującego. – Pochodną cząstkową długookresowej stopy wzrostu g* po stopie wzrostu podaży pracy n określa związek: N 1 i * g i 1 , N N n 1 i 1 1 i i 1 i 1 który implikuje, że – po pierwsze – przy stałych efektach skali procesu produkN cyjnego, czyli przy i 1, g*/n = 0 i długookresowa stopa wzrostu g* i 1 jest niezależna od n oraz – po drugie – przy malejących (rosnących) efektach N N skali, a zatem wówczas, gdy i 1 i 1, pochodna cząstkoi 1 i 1 * wa g /n jest ujemna (dodatnia) i wysokiej stopie wzrostu podaży pracy towarzyszy niska (wysoka) stopa wzrostu wydajności pracy i kolejnych zasobów kapitału na pracującego. – Ponieważ: i 1, 2, ..., N g * i 1 1 g n j 1 1 j 1 N j j 1 N oraz N i 1 N i 1 1 1 i g 1 i n g * 1 0, 2 N N i 1 1 i i 1 i 1 2 0 118 Tomasz Tokarski zatem wysokim elastycznościom 1, 2, …, N i funkcji produkcji w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego odpowiada wysoka stopa wzrostu wydajności pracy i nakładów kapitału na pracującego w długim okresie. Można N 1 i N stąd również wysnuć wniosek, że przy i 1 i 1 im wyższy 1 i 1 N jest stopień jednorodności i makroekonomicznej funkcji produkcji, i 1 tym wyższe są stopy wzrostu y oraz ki (dla każdego i = 1, 2, …, N). – Pochodna cząstkowa równania (20) względem elastyczności dana jest wzorem: 1 i g 1 i 1 N g 1 * i 1 1 i 1 N N i i 1 n i i 1 N 2 , N N co oznacza, że jeśli iloczyn 1 i g 1 i n , który nie i 1 i 1 15 ma bezpośredniej interpretacji ekonomicznej , jest dodatni (ujemny), to pochodna g*/ jest dodatnia (ujemna) i wysokiej elastyczności płac realnych w względem wydajności pracy y odpowiada wysoka (niska) długookresowa stopa N N wzrostu g*. Natomiast przy 1 i g 1 i n 0 wartość i 1 i 1 zmiennej g* jest niezależna od wartości elastyczności . 15 Niemniej wartość iloczynu 1 N jednorodności i N i 1 i g 1 N i 1 i n zależna jest od stopnia funkcji produkcji (1) oraz od relacji stopy harrodiańskiego postępu tech- i 1 1 nicznego g do stopy wzrostu podaży pracy n ważonej ilorazem N i 1 i . 119 Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… – Stąd, że: n g * i 1 1 , 2 N N 1 i 1 1 i i 1 i 1 1 i g 1 i 1 N N i N i g 1 i n 0 i 1 i 1 N N 1 g 1 n 0 , to powyższa pochodna cząstkoi i 1 i i 1 wa jest dodatnia (ujemna) i wysokiej elastyczności płac realnych w względem stopy zatrudnienia 1– u towarzyszą w długim okresie wysokie (niskie) stopy N N wzrostu y, k1, k2, …, kN, zaś przy 1 i g 1 i n 0 i 1 i 1 stopa g* jest niezależna od elastyczności . można wnosić, iż jeżeli 1 N 3. Podsumowanie Prowadzone w pracy rozważania można podsumować następująco: 1. W prezentowanym w opracowaniu modelu wzrostu gospodarczego z endogenicznym rynkiem pracy czyni się następujące założenia. Po pierwsze, proces produkcyjny w gospodarce opisany jest przez N + 1-czynnikową funkcję produkcji, w której czynnikami produkcji jest N różnych zasobów kapitału oraz jednostki efektywnej pracy (analizowana w modelu funkcja produkcji może się charakteryzować zarówno stałymi, jak i rosnącymi lub malejącymi efektami skali procesu produkcyjnego). Po drugie, przyrost każdego z analizowanych w pracy zasobów kapitału stanowi różnicę pomiędzy inwestycjami w ten zasób a jego deprecjacją. Po trzecie, popyt na pracę wyznaczany jest przez zrównanie krańcowego produktu pracy z płacami realnymi. Po czwarte, płace te kształtują się na skutek działania mechanizmu zbliżonego do tego, który występuje w modelach płac efektywnościowych typu Solowa-Summersa. Po piąte, zasób wiedzy (niezwiązany z akumulacją kapitału) i podaż pracy rosną według pewnych egzogenicznych stóp wzrostu. 120 Tomasz Tokarski 2. Tak zadany model wzrostu gospodarczego posiada punkt stacjonarny ze względu na stopy wzrostu liczby pracujących oraz stopy wzrostu kolejnych zasobów kapitału i strumienia wytworzonego produktu. Punkt ten można traktować jako stan wzrostu równomiernego, co wynika stąd, iż wówczas stopy podstawowych zmiennych makroekonomicznych nie ulegają zmianom w czasie. 3. Co więcej, analizowany w prezentowanym opracowaniu model wzrostu gospodarczego ma dobrze interpretowalne ekonomicznie rozwiązanie wówczas, gdy stopień jednorodności makroekonomicznej funkcji produkcji (determinujący rodzaj występujących w gospodarce efektów skali) jest mniejszy od pewnej, większej od jedności stałej. Oznacza to, że model ten posiada sensowne ekonomicznie rozwiązanie zarówno przy malejących, stałych, jak i (w pewnych przypadkach) przy rosnących efektach skali funkcji produkcji. 4. Jeśli zaś istnieje interpretowalne ekonomicznie rozwiązanie prezentowanego modelu wzrostu gospodarczego, to stopy wzrostu każdego z N zasobów kapitałów oraz strumienia produktu są sobie równe. Co więcej, wówczas stopy wzrostu każdego z zasobów kapitału na pracującego, wydajności pracy oraz liczby pracujących zależne są od stopy harrodiańskiego postępu technicznego, stopy wzrostu podaży pracy, elastyczności funkcji produkcji oraz elastyczności funkcji płac realnych. 5. Wysoka stopa harrodiańskiego postępu technicznego oraz wysoka stopa wzrostu podaży pracy prowadzą do wysokich stóp wzrostu kolejnych zasobów kapitału, wysokiej stopy wzrostu strumienia produktu oraz wysokiej stopy wzrostu liczby pracujących. 6. Natomiast oddziaływanie stopy wzrostu podaży pracy na długookresowe stopy wzrostu kolejnych zasobów kapitału na pracującego oraz na stopę wzrostu wydajności pracy zależne jest od rodzaju uzyskiwanych przez gospodarkę efektów skali. W warunkach malejących (rosnących) efektów skali wysokiej stopie wzrostu podaży pracy odpowiadają niskie (wysokie) stopy wzrostu tych zmiennych makroekonomicznych. Natomiast przy stałych efektach skali długookresowe stopy wzrostu każdego z zasobów kapitału na pracującego oraz długookresowa stopa wzrostu wydajności pracy (podobnie jak ma to miejsce w neoklasycznych modelach wzrostu gospodarczego) są niezależne od stopy wzrostu podaży pracy. Literatura Aghion P., Howitt P., Endogenous Growth Theory, MIT Press, Cambridge, MA, London, England 1998. Backhouse R., Applied UK Macroeconomics, Basil Blackwell, Oxford 1991. Barro R.J., Sala-i-Martin X., Economic Growth, McGraw-Hill, New York 1995. Akumulacja kapitału a wzrost zatrudnienia… 121 Cichy K., Kapitał ludzki i postęp techniczny jako determinanty wzrostu gospodarczego, Instytut Wiedzy i Innowacji, Warszawa 2008. Fallon P., Verry D., The Economics of Labour Market, Philip Allan, New York 1988. Kawa P., Wzrost gospodarczy na gruncie modeli wzrostu endogenicznego – ujęcie teoretyczne i wnioski dla polityki gospodarczej [w:] Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i rynek pracy w Polsce. Ujęcie teoretyczne i empiryczne, pod red. S. Krajewskiego, L. Kucharskiego, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2005. Krajewski P., Tokarski T., Rynek pracy w modelach nowej ekonomii klasycznej [w:] Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i rynek pracy w Polsce. Ujęcie teoretyczne i empiryczne, pod red. S. Krajewskiego, L. Kucharskiego, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2006. Kwiatkowski E., Bezrobocie. Podstawy teoretyczne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002. Kwiatkowski E., Bezrobocie w nowej ekonomii keynesistowskiej [w:] Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i bezrobocie w Polsce. Ujęcie teoretyczne i praktyczne, Materiały pokonferencyjne, Katedra Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2000. Kwiatkowski E., Gajewski P., Tokarski T., Determinanty popytu na pracę w teorii ekonomii [w:] System prognozowania popytu na pracę w Polsce, cz. 1: Podstawowa metodologia, pod red. B. Sucheckiego, Studia i Materiały RCSS, t. 11, Warszawa 2003. Kwiatkowski E., Tokarski T., Determinanty bezrobocia w Polsce w okresie transformacji. Modele teoretyczne oraz próba ich weryfikacji, Zeszyt Naukowy INE-PAN nr 11/1995. Laidler D., Estrin S., Wstęp do mikroekonomii, Gebethner i Ska, Warszawa 1991. Mankiw N.G., Romer D., Weil D.N., A Contribution to the Empirics of Economic Growth, „Quarterly Journal of Economics” 1992, May. Nonneman W., Vanhoudt P., A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, „Quarterly Journal of Economics” 1996, August. Pissarides C.A., Equilibrium Unemployment Theory, Basil Blackwell, Oxford, UK, Cambridge, MA 1990. Rogut A., Tokarski T., Determinanty regionalnego zróżnicowania płac w Polsce, „Ekonomista” 2007, nr 1. Rogut A., Tokarski T., Regional Diversity of Wages in Poland in the 90’s, „International Journal of Economics and Business” 2001, December. Romer D., Advanced Macroeconomics, McGraw Hill, New York 1996. Snowdon B., Vane H. , Wynarczyk P., Współczesne nurty teorii makroekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998. Socha M.W., Sztanderska U., Strukturalne podstawy bezrobocia w Polsce, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000. Solow R.M., Another Possible Source of Wage Stickiness, „Journal of Macroeconomics” 1979, Winter. Solow R.M., A Contribution to the Theory of Economic Growth, „Quarterly Journal of Economics” 1956, February. Summers L.H., Relative Wages, Efficiency Wages, and Keynesian Unemployment, „American Economic Review” 1988, May. System prognozowania popytu na pracę w Polsce, cz. 1: Podstawowa metodologia, pod red. B. Sucheckiego, Studia i Materiały RCSS, t. 11, Warszawa 2003. Tokarski T., Determinanty wzrostu gospodarczego w warunkach stałych efektów skali, Katedra Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2001. Tokarski T., Efekty skali a akumulacja kapitału i wzrost zatrudnienia, „Ekonomista” 2007, nr 5. Tokarski T., Efekty skali a wzrost gospodarczy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2008. 122 Tomasz Tokarski Tokarski T., Optymalne stopy inwestycji w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego, „Gospodarka Narodowa” 2007, nr 9. Tokarski T., Statystyczna analiza regionalnego zróżnicowania wydajności pracy, zatrudnienia i bezrobocia w Polsce, Wydawnictwo PTE, Warszawa 2005. Tokarski T., Wybrane modele podażowych czynników wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2005. Tokarski T., Wzrost gospodarczy a rynek pracy w neoklasycznych modelach wzrostu, „Studia Ekonomiczne INE PAN” 2003, nr 3. Wojtyna A., Ewolucja keynesizmu a główny nurt ekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000. Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i bezrobocie w Polsce. Ujęcie teoretyczne i praktyczne, Materiały pokonferencyjne, Katedra Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2000. Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i rynek pracy w Polsce. Ujęcie teoretyczne i empiryczne, pod red. S. Krajewskiego, L. Kucharskiego, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2005. Wzrost gospodarczy, restrukturyzacja i rynek pracy w Polsce. Ujęcie teoretyczne i empiryczne, pod red. S. Krajewskiego, L. Kucharskiego, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2006. Capital Accumulation vs Increased Employment in the N-Capital Economic Growth Model The author attempts to conduct a theoretical analysis of the mutual relations between capital accumulation, product growth, increased employment and, implicite, changes to unemployment rates. The analysis is based on the N-capital economic growth model. In the analysed economic growth model (which is an extended version of Solow, Mankiwa-Romer-Weil and Nonneman-Vanhoudt neoclassical models) it is assumed, among others, that the production process is described by means of Cobb-Douglas N+1 factor production function (in which production factors are composed of N various capital resources and productive labour outlays); an increase in any capital resource is the difference between investments in that resource and its depreciation; demand for labour (in a similar manner to neoclassical labour market models) is determined by the levelling of the marginal product of labour and real salaries, while real salaries are determined by the mechanisms which are similar to those from Solow and Summers efficiency wage models. Tomasz Tokarski – doktor habilitowany, profesor nadzwyczajny, kierownik Zakładu Ekonomii Matematycznej w Instytucie Ekonomii i Zarządzania na Wydziale Zarządzania i Komunikacji Społecznej Uniwersytetu Jagiellońskiego. Zainteresowania naukowo-badawcze: teoria wzrostu gospodarczego.
