Zadania z podzielności liczb przedstawione przez CZEM CKE

Zadania z podzielności liczb
przedstawione przez CZEM CKE
Zadanie 1. (2 pkt) (V 2014 podstawa)
Udowodnij, ze każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że
reszta z dzielenia liczby przez 7 jest równa 5.
Zadanie 2. (2 pkt) (przykładowy arkusz, podstawa)
Udowodnij, ze każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że
reszta z dzielenia liczby przez 7 jest równa 5.
Zadanie 3. (Informator od 2015, rozszerzenie)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k2+1) jest podzielna przez 5.
Zadanie 4. (VI 2013 podstawa, od 2015 rozszerzenie)
Wykaż, że liczba (1+20132)(1+20134) jest dzielnikiem liczby
1+2013+20132+20133+20134+20135+20136+20137.
Zadanie 5. (2013, podstawa)
Wykaż, że liczba 6100-2·699+10·698 jest podzielna przez 17.
Zadanie 6. (2012, podstawa)
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Zadanie 7. (2011, rozszerzenie)
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k6-2k4+k2 jest podzielna przez 36.
Zadanie 8. (próbna XII, 2014 podstawa)
Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 1.
Zadanie 9. (modyfikacja zadania 8)
Udowodnij, że kwadrat liczby pierwszej różnej od 3 daje resztę 1 z dzielenia przez 3.
Zadanie 10.
Liczba całkowita k przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, zaś przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
Oblicz resztę z dzielenia liczby k przez 12.
Zadanie 11.
Uzasadnij, że liczba 100n+4·10n+4 jest podzielna przez 9.
Zadanie 12.
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej k liczba k3+3k2-k-3 jest podzielna przez 48.
Zadanie 13.
Udowodnij, że jeśli p jest liczbą niepodzielną przez 3, to liczba p2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
Zadanie 14.
Udowodnij, że jeśli p jest liczbą niepodzielną przez 5, to liczba p4 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.
Zebrała Barbara Pawlak