Analiza 1R, styczeń 1 na niebiesko moje wskazówki, pod zadaniem

Analiza 1R, styczeń 1
na niebiesko moje wskazówki, pod zadaniem wskazówki Grzesia i rozwiązania
Zadanie 1 Szeregi:
∞
X
√
√
√
1
√ ; użyć oszacowania n − 1 ¬ E( n) ¬ n
(1)
n=1 nE( n)
(2)
(3)
∞
X
1
; wyrazy pogrupować po dwa i użyć pierwszego kryterium porównawczego
n
n=1 1 − n(−1)
∞
X
!
3n −n
7 ; kryt. d’Alemberta
n
n=1
(5)
∞ X
n=1
(7)
(9)
2+n
1 + n2
(4)
(11)
∞ X
(14)
∞
X
s
3 + 2n
(10)
∞
X
s

1
1 − ; jak (4)
n
; warunek konieczny?
√
n
( 3 − 2)n ; warunek konieczny ?
n=1
(12)
∞
X
(2n2 + n + 1)
n−1
2
1
q
n=1
nn+1
n=1

1
1 − ; an = f ( n1 ), zbadać f wokół zera
n
∞ X
3 − 2n n
n=1
; II porównawcze
n
√
n
10 − p 5 ;
∞
X
(8)
!n
n=1
(13)
n
1
 1+ −
(6)
n
n=1
; zbieżny gdy p > 1
nn + 1
; I porównawcze
n
n=1 n(n + 1)
n=1
s
1 −
∞
X
p
1
1− √
n

n=1
∞
X
∞
X
∞
X
n
(n + 1)(n + 2) · · · · · (n + n)
; I porównawcze
; kryt. Cauchy ?
√
√
4
( n + 1 − n2 + n + 1)p ; potraktować jak ciąg przy liczeniu granicy
n=1
∞
X
π
(15)
n! sin n ; a jak z
2
n=1
(17)
(19)
(22)
∞
X
(n −
n=1
n
1 n
)
2n
;
1
n− 2n
∞
X
log(2n + 1)
;
np
n=1
∞
X
(24)
∞
X
(18)
(−1)n log(1 +
n=1
(16)
3
n=1
∞
X
n3 3−
√
n
√
3
n2 +1
2n
; kryt. Cauchy ?
;
n=1
(20)
∞
X
np+q log n ;
(21)
n=1
(log n)− log(log n) ;
n=2
n!
?
2n
∞
X
(23)
∞
X
(log log n)− log n ; kryt. zagęszczeniowe
n=3
∞
X
1
1
log(1 + );
n
n=1 n
1
); zbadać log(1 + n1 ) wokół zera
n
1
(25)
∞
X
log
n=1
(26)
(27)
n(n + 1)
; an = f ( n1 ), zbadać f wokół zera
n2 + 1
∞
X
1
log cos ; an = f ( n1 ), zbadać f wokół zera
n
n=1
√
n
sin π n3 + n;
∞
X
(28)
n=1
(29)
∞
X
∞
X
√
sin π n2 + 1; potraktować jak ciąg przy liczeniu granicy
n=1
sin
n=1
n2 π
; potraktować jak ciąg przy liczeniu granicy
n+1
∞
X
sin n
(30)
;
n=1 2n − cos n
∞ X
1
(31)
∞
X
| sin nα|
;
n=1 n + 1
∞
X
1
sin nα
;
sin nα; (33)
n + 5 sin n
n=1 n
n=1 n + 5 sin n
!
√
√
∞
X
n−1+ n+1 √
(34)
− n ; potraktować jak ciąg przy liczeniu granicy
2
n=1
(32)
(35)
∞ X
n − 1 n(n−1)
n=1
(38)
(40)
n+1
∞
X
(−1)n
√ ;
n=3 E(n/ 5)
∞
X
(2 −
n=1
(42)
−
∞
X
n=1
√
n
n)n ;
∞
X
2
; (36)
√
n p
n=1 1 +
√
∞
X
(−1)n n
√ ;
(39)
n=1 E(n 2)
(41)
∞
X
n=1
!n
;
(37)
∞
X
n=1
!
1
1
√ −√ ;
E( n)
n
np
√
;
n
n!
1
1
(−1)n
−
+ ··· +
.
n n+1
2n
!
√
Wskazówki Grzesia
Cieciury (9) an ¬ 2− n ¬ n−2 dla p.w.n; (10),(17),(36) lim |an | =?;
q
(11),(13),(16) lim n |an | =?; (12), (40) lim nan =?; (18) an < n−2 dla p.w.n; (20) porównać z
P1
P
lub n12 ; (21) log log n > e−2 dla p.w.n; (22) an > n1 dla p.w.n; (26) cos 2x = 1 − 2 sin2 x,
n
√
| sin x| ¬ |x|; (27) n1 ¬ n n3 + n − 1 ¬ 12 dla p.w.n; (31) | sin x| ­ sin2 x; (33) skorzystać
P 2 +2k
(−1)n
z (32); (37) oszacować kn=k
|;
2 an ; (39) sprawdzić, że an & 0 lub oszacować |an − √
2n
1−p
(41) lim n an =?; (42) oszacować a2k−1 i a2k .
Rozwiązania: Bezwzgl. zbieżne: (1), (3), (4), (9), (13), (16), (18), (21), (23), (26),(32),(34),(35);
warunkowo: (2), (24), (28), (29), (30), (33), (38), (39); rozbieżne: (6), (7), (8), (10), (12), (15),
(17), (22), (25), (27), (36), (37), (40); (5) zb. ⇐⇒ p > 1; (11) zb.(bezwzgl.) ⇐⇒ 9 < p < 11;
(14) zb.(bezwzgl.) ⇐⇒
p > 2; (19) zb. ⇐⇒
p > 1; (20) zb. ⇐⇒ √ (q < 0) lub
(q = 0, p < −1); (31) zb. ⇐⇒ α ∈ πZ; (40) nan = (1 + xn )n , gdzie xn = −( n n − 1)2 , więc
nxn → 0; (41) zb. ⇐⇒ p < 0
2