hydromagnetyczny przepływ cieczy lepkiej w szczelinie między

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I STOSOWANA 3, 14 (1976) H Y D R O M A G N E T Y C Z N Y P R Z E P Ł Y W C I E C Z Y L E P K I E J W MIĘ DZ
Y W I R U J Ą C Y M
I E D W A R D P O W I E R Z C H N I A M I W A L I C K I S Z C Z E L I N I E O B R O T O W Y M I ( B Y D G O S Z C Z ) Wstęp Laminarny przepływ cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy wirują cymi powierzchniami obrotowymi [1 ­ 3] od dawna zwracał uwagę ze wzglę du na moż liwoś i c szerokich zasto­
sowań praktycznych zarówno w badaniach przepływowych maszyn wirnikowych, jak i w teorii ś lizgowych łoż ysk wzdłuż nych. Ostatnio coraz wię ksze zainteresowanie budzą tego rodzaju przepływy cieczy lepkiej i przewodzą cej, zachodzą ce w obecnoś ci pola elektrycznego i magnetycznego. W pracy [4] zbadano hydromagnetyczny przepływ cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy drgają cymi skrę tnie tarczami. Podobne zagadnienie — przy założ eniu porowatoś ci jednej z tarcz — rozważ ono w pracy [10]. W pracach [ 5 ­ 9 , 11­13] rozważ ano ustalone prze­
pływy mię dzy płaskimi tarczami stanowią cymi modele wzdłuż nych łoż ysk ś lizgowych. Prace [14, 15] zawierają opisy przepływów pełzają cych (w przybliż eniu Reynoldsa) cieczy lepkich w kanałach pierś cieniowych w obecnoś ci silnych pól magnetycznych. Celem tej pracy jest podanie w postaci ogólnej rozwią zania zlinearyzowanych równań ruchu ustalonego lepkiej cieczy przewodzą cej o stałej lepkoś ci i przewodnoś ci w szczelinie mię dzy wirują cymi powierzchniami obrotowymi o dowolnym kształcie, poddanej dzia­
łaniu pola magnetycznego o stałym natę ż eniu
. Zagadnienie rozwią zano zakładają c, że ma­
gnetyczna liczba Reynoldsa jest mała, co pozwala pominąć indukowane pole magne­
tyczne. 1. Równania ruchu Równaniami ruchu ustalonego hydromagnetycznego przepływu cieczy lepkiej są nastę pują e c [16, 17]: równanie cią głoś i c
(1.1) V­v = 0; 2
g(v­V)v = ­Vp + (1.3) VxE (1.4) V x B = (1.5) = pV v+JxB; 0, p J, e
VB = o oraz prawo Ohma (1.6) J = a(E+'vxB). 418 E . W ALI CK Równań tych uż yjemy do zbadania przepływu cieczy w wą skiej szczelinie mię dzy po­
wierzchniami obrotowymi o wspólnej osi symetrii (rys. 1), z których wewnę trzna wiruje z prę dkoś ą ci ką tową co a zewnę trzna — z prę dkoś ą ci ką tową co . Dodatkowo założ ymy, że wektor pola magnetycznego B(0, 0, B ) jest prostopadły do linii symetrii szczeliny. Wprowadź my krzywoliniowy układ współrzę dnych х , в , y, przy czym oś x niech bę­
dzie skierowana wzdłuż linii symetrii południkowego przekroju szczeliny, oś у prostopadle do linii symetrii szczeliny. 1(
2
0
Rys. l Dokonując w równaniach ruchu (1.1)­(1.6) odpowiednich przejść asymptotycznych charakterystycznych dla przepływów w cienkich warstwach cieczy (h <^ R) zachodzą cych przy małych magnetycznych liczbach Reynoldsa [3, 4, 10] moż na sprowadzić te równania do układu 1 d(Rv ) —
R dx dv x
(1.7) R'
(1.8) = 0, dy
2
dp dv £ + ^ ­ а В Ь
x
2 0 = (1.9) +
3 4 „ , ^ , х
2
p­­^­­oB v , n
dy d = o, dy (1.10) P gdzie primem oznaczono pochodną wzglę dem zmiennej x. Równań tych uż yjemy do zba­
dania przepływu cieczy w szczelinie. 2. Całki równań ruchu Rozwią zania równań ruchu powinny spełniać warunki brzegowe: (2.1) (2.2) (2.3) v (x, x
±h) = 0, v (x, ­li) = R(x)mi, e
v (x, +h) = R(x)co , v,(x, ±h) = 0. 0
2
HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ 419 Ponadto na wlocie i wylocie ze szczeliny powinny być spełnione warunki brzegowe doty­
czą ce ciś nienia: (2.4) p = p dla x = x , (2.5) /; = p dla x = x , w
z
w
x
gdzie przez x oznaczono współrzę dną wlotu na linii symetrii przekroju południkowego szczeliny, a przez x — współrzę dną wylotu na tej linii. Całkując równanie (1.9) wzglę dem zmiennej у i wyznaczając stałe całkowania z wa­
runków brzegowych (2.2), otrzymamy w
z
R Г , v, = [ ( (2­6) у
в
. chky , +<о ) ­ («, |
. shky ­с о г )­^ 2 ш т
tutaj oznaczono dla uproszczenia (2.7) k
B
=
°]/j Z równania (1.10) wynika, że (2.8) P = p(x). Nastę pnie całkując równanie cią głoś i c (1.7) w poprzek szczeliny i uwzglę dniając warunki brzegowe dostaniemy 1 д Г R
­RTX~ J + h \
^ y + v \_ y
= h
0, a stąd wynika +h (2.9) • / v y = ^ x4
Podstawiając wartość składowej prę dkoś i cv ze wzoru (2.6) do równania (1.8) otrzy­
mamy po scałkowaniu i uwzglę dnieniu warunku brzegowego (2.1) oraz Zależ noś i c (2.8): e
1 / ć hky pk \ chkh 2
\ dp j dx Po uwzglę dnieniu (2.10) w (2.9) i po wykonaniu całkowania znajdziemy n
i
n
( Z . l l ) „ „ . ч , p = B(x)­\ [A(x)­A ](p ­B )­[A(x)­A ](p ­B ) z
w
w
­ A — A
W
Z w
z
z
, E . W ALI CKI 420 gdzie oznaczono A ( X ) (2.12)
'
v
||
w
=
I (thkh­kh)R '
A
»
= = i С * ^ \ & 1 * ^
48 J thkh­kh { ch kh W
[
2
2
2
­4(sh k/i­l)thkh] Л Л
­ Ш
Ш
= ­
)
2
+ ^ ~ ­ ^ ­ ­ ­ [sh2A:/7 + 6A:/z­4(ch /c/7+l)thA:/i]j^
) B = Ż ?(x), fi = B(x ). w
w
z
z
Wprowadzając (2.11) do (2.10) wyznaczymy n
. ,ч ( } J Pw­B ­(p ­B ) "(iRk (A ­A )(thkh­kh) w
x
z
i chky_ _ \ctikh z
2
w
z
RR' \(co +co ) \2vk ch kh 1
2
2
2
2
sh ky­1 ­ (sh kh­l) 2
2
4(sh kh­1)thklt­ 4{х Ш г ­Щ
(shlkh ­6kh) ~ +
2
2 /
2
ch/cj ­ (ch kh+iy^ V 2
v J
2
2 2
ch /cy+l 2
+ 4(ch A:/;+ l)th/</7­(sh2/c/7 + 6/c/;) / ch/cy .
m
k
h
_
k
h
)
+ I chky _ \ \chkh j 4(co\—co ) . , , , , , ч , 1 (ft>i—С У )
(chA:j­chA;/7)shA:j'+
sh2/c/7
' ' sh kh ch kh \ 1 \ 1
[ftich ~ J\ (• Składową prę dkoś i cv wyznaczymy podstawiając (2.13) do (1.7) i całkując otrzymane wyraż enie wzglę dem zmiennej y: y
(2\4) ' ' 1
1 v =
" 8
1
B
B
! Py­ ^­iPz­ z) l sh/ćy Л и х 1/г А : (Л „,­Л )(1Ь А ;Л ­/с /7) [chkli
3
2
Л
Л ' ' ( « i + W )
12J ­/ C { 4ch kh \ ) У
2 2
2
3 ch kh ­(sh2kh­6kh) 4(sh kh­l)thkh­
thkh­ • kh (sh ky ­ky \ ch kh 2
2
2(io\ — m ) , , , 4
/
u
­4(с Ь
n
2
sh/Vj ^ 1)­
+
ь
Ж , . , . , ) ] " 2
(с о ,— co ) Г , „ , 2
2
+
4(ch /c/i + l)th/c/i­(sh2ycA + 6/cA) / sh/cy к
[Ж к Т ­ Ш
Równania (2.6), (2.11), (2.13) oraz (2.14) pozwalają okreś lić składowe prę dkoś i c
i rozkład ciś nienia w przewodzą cej cieczy lepkiej przepływają cej w szczelinie mię dzy wiru­
ją cymi powierzchniami obrotowymi w obecnoś ci pola magnetycznego prostopadłego do linii symetrii przekroju szczeliny. HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ
421 3. Dyskusja otrzymanych wyników Aby przeprowadzić analizę otrzymanych wyników założ ymy dla uproszczenia, że wi­
ruje tylko powierzchnia wewnę trzna, co wyrazi się zależ noś ciam
i (3.1) w, = (о ф 0, w = 0. 2
Wprowadzając bezwymiarową współrzę dną r\ w kierunku prostopadłym do osi symetrii szczeliny oraz oznaczając n = | ­ , (3.2) Я = kh, moż na wzory (2.6) ,(2.13) oraz (2.14) okreś lają e c rozkład prę dkoś i c w szczelinie przedsta­
wić w postaci (3.3) v,~DJi(P;rj), (3.4) v = D f iH;tj)+D MH;rj), (3.5) v = D ft(H; rj) + D f (H; ) + D f (H; т у ), x
2
y
2
3
Ą
5
5
v
6
6
gdzie dla uproszczenia oznaczono (3.6) / , ( " ; ? / ) = (3.7) / , ( * ; „ ­ (3.8) .A№
,)4^ s h
2
ch Htj chH sh Я г / shH ' ­ * ^ t ó § U l | . 2
^ ­ 1 ­ ( s h
/ / ­ + 2
4 ( s h / / ­ l ) t h # ­ s h 2 # + 6 # / chHrj ~ 4 ( t h Я ­ Я ) \ chH +
^ „
(
c
^ ­ c h ^ ) s h ^
h
­ J
+
2
4(с Ь
~ +
(3.9) / Д Я ; , ) = Л
Ь
^ 8 Ь 2 Я
9
2
7
2
Я
­ + V
Я + 1 ) И 1 Я ­ 5 Ь 2 Я ­ 6 Я / c h ^ ł ? _ \ ] | 4 ( 1 Ь Я ­ Я ) ~ \ с Ь Я 1­6Я г ­4(з Ь
^т А
2
ch H + 1 ­ (ch H+1) ­ ^ Щ
7 ­^Ь Я
2
S
Я ­ 1) ^ f y + ^г я +б Я П л Я ­Я 2
2
( с Ь Я ? 1 ­ с Ь Я ) + ' sh 2Я »? + 6Щ
sh2H ' ' 481г Я 4
2
4(с Ь
2
4 ­ 4 ( с Ь 2,Я , +, 1, ) 2
Я + 1 ) А Я ­ 5 Ь 2 Я ­ 6 Я / shHrj _ thH­H ~ \ chH
(З Л О ) / ( Я ; rj) = 5
с Ь Я ~{mhHri­Hr,shH), V
\ ) 422 E . „ . . . (3.11) : 1 I / ( Л ; , ) = д 5 ­ {
в
с Ь 2Я ( Й
1 Я
_д
д
) <
W ALI CKI 2
f 1
6H+4mh H­3sh2H 2
2 я [ c h / / " 2
2
2
2
6sh HthH­2Hth H­4Hsh H +
—sra . ch2HchHri­chH 2
л , и г .г 8Ь 2Я
,,shH?] „ \1 4
. . w ­ " Г sh# и Ъ 2Щ
( с п Я э т ­ с г л Я ) ­ ——­г — ' ' 2с 1г Я 4(sh H­l)thH­sh2H+6H I shHn + 4 en , , „ I shHn v
­
3
2
chH к Ь 2Я » + 6 Я ?7 ­ 4 ( с 1 1 Я + 1 ) ^ | ^ + 2 s h / / 2
­Щ ?
3
4(с Ь
+
2
Я +1)111Я ­5112Я ­6Я /в Ь Я и А
Я
­ Я \ ­ ( d l i r ­ ^ ) Tutaj Z), oznaczają współczynniki zależ ne od lokalnego położ enia przekroju poprzecznego szczeliny. ­1,0 ­0,8 ­0,6 ­0,4 ­0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ą Rys. 2 Z analizy otrzymanych wzorów wynika, że przepływ w szczelinie jest wywołany przez dwa czynniki: ruch wirowy powierzchni ograniczają cych szczelinę (w analizowanym przy­
padku przez ruch wirowy powierzchni wewnę trznej) oraz przez róż nicę ciś nień mię dzy wlotem i wylotem szczeliny. Wzór charakteryzują cy składową obwodową prę dkoś i cv pozwala stwierdzić, że profil tej prę dkoś i c dla ustalonego położ enia przekroju szczeliny (funkcja ft(H;rj) na rys. 2) 0
423 HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ zmienia się od prostoliniowego dla H = 0 do krzywoliniowego dla H > 0, charakterystycz­
nego dla hydromagnetycznego przepływu Couette'a mię dzy dwiema płaszczyznami, umiesz­
czonymi w prostopadłym polu magnetycznym, z których jedna jest nieruchoma, a druga posiada lokalną prę dkość równą coR(x). Z postaci wzorów opisują cych składową wzdłuż ną prę dkoś i c v wynika, że główną jej czę ś ą ci jest profil hydromagnetycznego płaskiego przepływu Poiseuille'a (funkcja f (H; tj) na rys. 3) uwarunkowany istnieniem wspomnianej uprzednio róż nicy ciś nień i ruchem wirowym powierzchni wewnę trznej. x
2
­1,0 ­0,8 ­0,6 ­0,4 ­0,7 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ą I I I I Rys. 3 I — I — I — I I I Rys. 4 N a główną czę ćś składowej wzdłuż nej prę dkoś i c nakłada się przepływ wtórny, wy­
wołany ssą cym działaniem wirują cej powierzchni wewnę trznej. Powierzchnia wewnę trzna zasysa w swoim są siedztwie ciecz wywołując jej ruch wzdłuż ny odś rodkowy. Ruch ten musi być równoważ ony ruchem wzdłuż nym doś rodkowym przy powierzchni zewnę trznej i ruchem poprzecznym okreś lonym składową v prę dkoś ci
. Przepływ wtórny opisany jest funkcjami f (H; г ц ) ­ f (H; r?) pokazanymi na rys. 4­^7. y
3
6
424 • E . W A L I C K I ­1.0 ­0,8 ­0,6 ­0,4 ­0,2 O 0, 2 0,4 0, 6 0, 8 ą Rys. 7 Z przytoczonych wykresów funkcji f wynika, że wzrost natę ż eni
a pola magnetycznego, wyraż ają y c się wzrostem wartoś ci H, wywiera hamują cy wpływ na wartoś ci prę dkoś ci
. Rozkład ciś nień wzdłuż tworzą cej powierzchni symetrii daje się przedstawić w postaci sumy dwóch składowych: pierwszej — wywołanej ssą cym działaniem wirują cej powierzchni i drugiej — bę dą ce
j skutkiem istnienia przepływu wzdłuż nego. t
H Y D R O M A G N E T Y C Z N Y PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ 425 Literatura cytowana w tekś cie 1. K. W . M C A L I S T E R , W . R I C E , Throughflows between rotating surfaces of revolution, having similarity solutions, J . Appl. Mech., Trans. A S M E , E , 4, 3 7 (1970) 924­930. 2. K . W . M C A L I S T E R , W . RICE, Flows between stationary surfaces of revolution, having similarity solu­
tions, J . Appl. Mech., Trans. A S M E , E , 2, 3 9 (1972) 345 ­ 350. 3. E . W A L I C K I , Przepływ cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy wirują cymi
powierzchniami obrotowymi, Mech. Teoret. i Stos., 1, 12 (1974) 7 ­ 16. 4. S. D A T T A , Hydromagnetic flow between torsionally oscillating discs, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. techn., 11 ­ 12, 13 (1965) 979 ­986. 5. S. K A M I Y A M A , Inertia effects in MHD hydrostatic thrust hearing, i. Lubric. Technol., Trans. A S M E , F, 4, 9 1 (1969) 589­596. 6. V. K . A G R A V A L , Magneto­gasdynamic 15 (1970) 79­82. externally pressurized bearing with an axial magnetic field, Wear, 7. S. K A M I Y A M A , The influence of wall conductance on performance of the MHD hydrostatic thrust bearing, J. Lubric. Technol., Trans. A S M E , F , 1, 9 3 (1971) 113 ­ 120. 8. V. K . A G R A W A L , K . L . G A N J U , Effect of lubricant inertia in a magneto­gasodynamic ized bearing, Wear, 2 0 (1972) 123­ 128. externally pressur­
9. V . K . A G R A W A L , K . L . G A N J U , S. C . JETHI, Effect of angular inertia in magnetogasdynamic externally pressurized bearing by numerical method. J . Lubric. Technol., Trans. A S M E , F , 2,94(1972) 193­ 194. 10. A . A . K . M O H D , Hydromagnetic flow of an electrically conducting fluid due to unsteady rotation of a porous disk over a fixed disk, Indian J . Appl. Math., 4, 3 (1972) 556 ­ 567. 11. V . K . K A P U R , K . V E R M A , Energy integral approach for hydrostatic thrust bearing, Japanese J . Appl. Phys., 7, 12 (1973) 1070­ 1074. 12. S. K A M I Y A M A , A . SATO, The effects of wall conductance on torque of the MHD viscous coupler and hydrostatic thrust bearing, J . Lubric. Technol., Trans. A S M E , F , 2, 9 5 (1973) 181­ 186. 13. И . E . Т А Р А П О В , О б э ф ф е к т и в н о с т и м а г н и т о г и д р о д и и а м и ч е с к и х 4 (1971), 63—74. 14. А
. И
. Б Е Р Т И Н О В , Л
. К
. К О В А Л Е В , С
. М
. —А
. К О Н Е Е В , В
. И
о п о р , М
а г н и т н а я г и д р о м е х а н и к а , . П О Л Т А В Е Ц , Л а м м и н а р н о е т е ч е н и е п р о в о д я щ е й с р е д ы в к о л ь ц е в ы х к а н а л а х п р и б о л ь ш и х п а р а м е т р а х М
М
15. Л
Г Д — с л о и с т о е в з а и м о д е й с т в и я , а г н и т н а я г и д р о д и н а м и к а , 1 (1973), 79—84. . К
. К О В А Л Е В , С
. М
. —А
п р и б о л ь ш и х п а р а м е т р а х . К О Н Е Е В , Т р е х м е р н ы е М Г Д — 16. Э
. В
17. Л
. Г . Л о й ц я н с к и й , М е х а н и к а т е ч е н и я ж и д к о с т и и г а з а в к о л ь ц е в ы х в з а и м о д е й с т в и я , М
. Щ Е Р Б И Н И Н , С т р у й н ы е т е ч е н и я в я з к о й ж и д к о с т и в м а г н и т н о м п о л е , И
ж и д к о с т и Р
Г И Д Р О М
и г а з а , И
е з ю
м
А Ю
Щ
И М
з д . Н а у к а , М
з д . З и н а т н е , Р и г а 1973. о с к в а 1973. е А Г Н И Т Н О Е Т Е Ч Е Н И Е В Я З К О Й Ж
В Р А Щ
к а н а л а х а г н и т н а я г и д р о д и н а м и к а , 4 (1973), 84—93. И Д К О С Т И В З А З О Р Е М
И С Я П О В Е Р Х Н О С Т Я М
И В Р А Щ
Е Ж
Д У Е Н И Я В р а б о т е в ы в е д е н ы ф о р м у л ы , о п р е д е л я ю щ и е с о с т а в л я ю щ и е с к о р о с т и v , VQ, v и д а в л е н и е р x
y
д л я л а м и н а р н о г о с т а ц и о н а р н о г о г и д р о м а г ц и т н о г о т е ч е н и я в я з к о й п р о в о д я щ е й ж и д к о с т и в з а з о р е м е ж д у в р а щ а ю щ и м и с я п о в е р х н о с т я м и в р а щ е н и я . П р и м е н е н ы л и н е а р и з о в а н н ы е у р а в н е н и я д в и ­
ж е н и я в я з к о й ж и д к о с т и д л я о с е с и м м е т р и ч н о г о т е ч е н и я в с и с т е м е к р и в о л и н е й н ы х к о о р д и н а т х , 0, у . Р е ш е н и я у р а в н е н и й д в и ж е н и я п р о и л л ю с т р и р о в а н ы г р а ф и к а м и с о с т а в л я ю щ и х с к о р о с т и v , v , x
i>y д л я т е ч е н и я в з а з о р е п е р е м е н н о й т о л щ и н ы . 0
426 E . W A L I C K I S u m m a r y H Y D R O M A G N E T I C F L O W O F V I S C O U S F L U I D B E T W E E N R O T A T I N G S U R F A C E S O F R E V O L U T I O N This paper contains formulae which define such parameters of the steady laminar hydromagnetic flow of viscous conducting fluid between rotating surfaces of revolution as the velocity components v x, v 0, v y and pressure p. The linearized equations of motion of the viscous fluid flow for axial symmetry in the intrinsic curvi­
linear orthogonal coordinate system x, в , у arc used. The solutions of the equations of motion have been illustrated by plots of velocities v , v , v for x
the flow through the slot of variable thickness. AKADEMIA TECHNICZNO­ROLNICZA BYDGOSZCZ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 grudnia 1975 r. 0
y