tozsamosci_algebraic..

Tożsamości algebraiczne, cz. I
19 listopada 2008
Tożsamość Sophie Germain
a4 + 4b4 = (a2 + 2b2 + 2ab)(a2 + 2b2 − 2ab)
Tożsamość Brahmagupty
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2
Jest szczególnym przypadkiem tożsamości Lagrange’a dla n = 2.
Ciekawa tożsamość
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
Wniosek. Dla a + b + c = 0 zachodzi a3 + b3 + c3 = 3abc.
1. Przedstawić (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 w postaci iloczynu.
2. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych m takich, że dla
każdego n ∈ N liczba n4 + m jest złożona.
3. Niech liczby całkowite (x, y, t, z) spełniają równanie
(x2 + y 2 )(z 2 + t2 ) = 3(xz − yt)2
Wykazać, że x = y = 0 lub t = z = 0.
4. Rozstrzygnąć, czy liczba 4545 + 5454 jest pierwsza.
5. Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów (x, y) spełniających równanie
x3 + y 3 + 3xy = 1
6. Obliczyć wartość sum
n
X
k=1
4k
+1
4k 4
n
X
k2 +
k=1
k4 +
1
2
1
4
7. Niech m i n będą różnymi liczbami naturalnymi. Przedstawić m6 +n6 jako sumę
dwóch kwadratów liczb naturalnych innych niż m6 i n6 .
p
8. Znaleźć wszystkie n ­ 2 i p pierwsze takie, że np + pp jest liczbą pierwszą.