plik PDF

Danuta Zaremba
Nie będziesz stosował
równań nadaremnie
Jakiś czas temu oglądałam lekcję
matematyki w klasie szóstej. Tematem lekcji było rozwiązywanie zadań
tekstowych za pomocą równań. Na
początku nauczycielka podyktowała
uczniom zadanie:
Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 102. Jakie to liczby?
Już podczas zapisywania treści zadania
wielu uczniów znalazło rozwiązanie,
bo znaleźć je nie jest trudno. Od
razu widać, że każda z tych liczb
to trzydzieści kilka, a cyfry jedności
można szybko znaleźć metodą prób
i błędów.
Można też przeprowadzić szybkie rozumowanie:
102 = 34 + 34 + 34,
102 = (34 − 1) + 34 + (34 + 1).
Nie zważając na to, nauczycielka wymogła na uczniach ułożenie równania,
a potem jego rozwiązywanie. Chciała,
aby w ten sposób zobaczyli, jak można
stosować równania do rozwiązywania zadań. Czy jednak przekonała
uczniów, że warto stosować równania?
***
Od jakiegoś czasu w programach
szkolnych można było zaobserwować
narastającą tendencję do szerokiego
stosowania równań. Od najmłodszych
klas uczniowie byli wdrażani do rozwiązywania zadań „z iksem”.
W sadzie rosną jabłonie i grusze. Razem
jest 30 drzew, w tym 20 jabłoni. Ile drzew
stanowią grusze?
12
SZTUKA NAUCZANIA
Kiedyś do rozwiązania przytoczonego
zadania wystarczyło znaleźć wynik
odejmowania 30 − 20. Potem uczniów
zmuszano do posługiwania się równaniem 20 + x = 30. Uważano, że
im wcześniej nauczą się oni układać
i rozwiązywać równania, tym lepiej
będą sobie radzić z rozwiązywaniem
problemów matematycznych.
Jak wiemy, pogląd ten nie sprawdził się. Poprawne operowanie równaniami wymaga pewnej dojrzałości
matematycznej i z tego powodu nie
należy ich zbyt wcześnie wprowadzać.
Przede wszystkim jednak nie ma takiej potrzeby. Jest dostatecznie wiele
zadań, które nie wymagają układania
równań. Jeżeli uczeń bez większego
trudu może rozwiązać zadanie sposobem bardziej elementarnym niż za
pomocą równania, po co sugerować
mu posłużenie się równaniem?
***
Okazji do niniejszych rozważań dostarczyło mi zadanie egzaminacyjne
przytoczone w artykule Kamili Wierzbickiej z poprzedniego numeru „Matematyki w Szkole” (s. 4):
Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej
wynosi 13. Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry, to otrzymamy liczbę większą
o 45 od początkowej. Znajdź tę liczbę.
Według obserwacji Autorki, egzaminowani ósmoklasiści często podawali
absurdalne odpowiedzi.
Na lekcjach matematyki tradycyjnie
rozwiązuje się takie zadania za pomocą układu dwóch równań z dwiema
niewiadomymi. Im bardziej skomplikowane rachunki, tym bardziej uczeń
jest nimi pochłonięty. Rozwiązując
równania, koncentruje się na znajdowaniu liczb, które je spełniają. Zdarza
się więc, że nie wraca już do tekstu
zadania. Wtedy podaje odpowiedź
w postaci x=. . ., y=. . ., nie zastanawiając się nad znaczeniem liter i nie
badając, czy znalezione rozwiązanie
jest sensowne.
Nie chcę w ten sposób zwalniać ucznia
od odpowiedzialności za to, co pisze.
Staram się tylko nieco go wytłumaczyć.
Przede wszystkim pragnę jednak namówić nauczycieli do nienadużywania
równań. Zadanie to można przecież
rozwiązać bez takich mocnych środków, i to znacznie szybciej.
Podchodząc do zadania zupełnie bezmyślnie, wystarczy sprawdzić wszystkie
możliwe pary cyfr, z czym poradzą
sobie nawet najsłabsi uczniowie. Są
tylko trzy możliwe pary: 9 i 4, 8 i 5 oraz
7 i 6. Jeżeli zaczniemy je sprawdzać w
tej właśnie kolejności, to już pierwsza
para okaże się właściwa.
Jeżeli natomiast zaprzęgniemy do roboty szare komórki, to zauważymy, że
skoro różnica między liczbą i liczbą po
przestawieniu cyfr wynosi 45, to różnica między cyframi nie może być zbyt
mała. Można nawet wydedukować, że
jest ona równa 5, a ten warunek
pozwala szybko znaleźć właściwą parę
cyfr.
Po cóż więc posługiwać się równaniami w tak prostych przypadkach?
Pamiętajmy, że:
– im mniej sztywnych reguł postępowania narzucimy uczniom,
– im bardziej zachęcimy ich do kierowania się zdrowym rozsądkiem,
– im więcej dostarczymy okazji do
przeprowadzania rozumowań na
miarę ucznia,
tym lepsze osiągniemy rezultaty.
SZTUKA NAUCZANIA
13