Notatki do wykªadu

Notatki do wykªadu
Problemy decyzyjne w logice
(semestr zimowy 15/16)
Emanuel Kiero«ski
Wst¦p
Te notatki nie b¦d¡ zbyt szczegóªowe: po prostu zarys tego co byªo na wykªadzie. Nie zamierzam nad nimi
du»o pracowa¢, wi¦c pewnie znajd¡ si¦ tu jakie± bª¦dy, nie±cisªo±ci itp. Z góry przepraszam.
Dla zadanej klasy formuª (logiki)
•
Czy problem
•
Czy klasa ma
•
speªnialno±ci
L
interesowa¢ nas b¦d¡ zazwyczaj nast¦puj¡ce zagadnienia:
(SAT, czy dana formuªa ma model?) dla tej klasy jest rozstrzygalny?
wªasno±¢ modelu sko«czonego
(czy ka»da formuªa speªnialna ma model sko«czony)?
sko«czonej speªnialno±ci
Czy klasa ma rozstrzygalny problem
(FINSAT, czy formuªa ma model sko«-
czony?)? Oczywi±cie dla klas z wªasno±ci¡ modelu sko«czonego SAT=FINSAT
•
Jaka jest zªo»ono±¢ obliczeniowa SAT i FINSAT dla tej klasy?
1 Logika z jedn¡ zmienn¡ i kwantykatorami zliczaj¡cymi
1.1
Przypomnienie: logika zdaniowa
Twierdzenie 1 (Cook) Problem speªnialno±ci dla logiki zdaniowej (boolowskiej) jest NP-zupeªny
1.2
FO1
Twierdzenie 2 Problem speªnialno±ci dla
FO
1
jest NP-zupeªny
Granica dolna wynika w oczywity sposób z twierdzenia Cooka.
Granic¦ górn¡ udowodnimy w kilku
krokach.
Denicja 3
jest spªaszczeniem φ je±li zostaªa uzyskana w
α wyj±ciowej formuªy postaci ∀xψ(x) lub ∃xψ(x), gdzie
ψ jest bez kwantykatorów. Zast¡p φ albo przez φ[α/⊥] ∧ ¬α albo przez φ[α/>] ∧ α. Post¦puj tak samo
z uzyskan¡ formuª¡, a» dojdziesz do koniunkcji formuª postaci ∀xψ(x) lub ∃xψ(x) (φ bez kwantykatorów)
lub ich negacji. Na koniec negacje spychamy do podformuª ψ .
(odrobin¦ nieprecyzyjna) Mówimy, »e formuªa
φ0
wyniku nast¦puj¡cego procesu: wybierz podformuª¦
Lemat 4 A |= φ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jego spªaszczenie φ0 takie, »e A |= φ0 .
Lemat 4 pozwala nam ograniczy¢ uwag¦ do formuª postaci
k
^
∀xψi (x) ∧
i=1
gdzie formuªy
Denicja 5
ψi (x)
l
^
∃xψi (x),
i=1
nie zawieraj¡ kwantykatorów. Klas¦ formuª tej postaci nazwiemy
spªaszczonym
Poj¦cie 1-typu (atomowego).
Obserwacja: liczba 1-typów jest wykªadnicza wzgl¦dem dªugo±ci formuªy.
Lemat 6 Je»eli formuªa φ spªaszczonego
FO
1
jest speªnialna, to ma model o najwy»ej l elementach.
1
1
FO .
Dowód:
Vl
prawdziwo±¢ cz¦±ci
modelem
A |= φ. Wybierz w nim elementy zapewniaj¡ce
l elementów). A obci¦ty do tych elementów jest wci¡»
2
We¹ dowolny (mo»e by¢ nawet niesko«czony) model
i=1
∃xψi (x)
(maksymalnie
φ.
Poni»ej przedstawiamy szkic niedeterministycznego algorytmu wielomianowego rozstrzygaj¡cego speªnial-
1
no±¢ formuª w FO :
•
Przerób dan¡ formuª¦ na formuª¦ bez równo±ci i symboli o arno±ci wi¦kszej ni» 1.
•
Zgadnij spªaszczenie formuªy (i proces spªaszczania).
•
Zgadnij maªy model spªaszczenia (o najwy»ej
l
elementach) i sprawd¹, »e jest rzeczywi±cie modelem
spªaszczenia.
1.3
C1
Zawarto±¢ tego podrozdziaªu oparta jest na fragmentach pracy Iana Pratta-Hartmanna
tational Complexity of the Numerically Denite Syllogistic and Related Logics.
http://arxiv.org/abs/cs/0701039
Do FO
1
(link jest te» dost¦pny na stronie autora).
dodajemy kwantykatory zliczaj¡ce:
1
∃≥C , ∃≤C ,
klas¦ formuª oznaczamy przez C . Deniujemy te» N
koniunkcjami formuª poni»szej postaci (P i
w miejscu
P
i
Q
On the Compu-
Mo»na j¡ znale¹¢ tutaj:
1
dla
C ∈ N,
podfragment C
1
z naturaln¡ semantyk¡. Uzyskan¡
zawieraj¡cy jedynie formuªy b¦d¡ce
Q reprezentuj¡ symbole unarne, w jednym koniunkcie wolno u»y¢
tego samego symbolu):
∃≥C x(P x ∧ Qx)
∃≥C x(P x ∧ ¬Qx)
∃≤C x(P x ∧ Qx)
∃≤C x(P x ∧ ¬Qx)
Twierdzenie 7 Problem speªnialno±ci dla N1 jets NP-trudny.
Dowód:
1.4
2
(¢wiczenia)
C1
1
Poka»emy teraz górn¡ granic¦ NP dla caªego fragmentu C , ale zaczniemy od formuª spªaszczonych (potem
zobaczymy, »e caªy fragment ªatwo sprowadzi¢ do spªaszczonego.
Denicja 8
Formuªa C
1
jest
spªaszczona je±li jest postaci
m
^
∃≥≤i Ci xφi (x)
i=1
Twierdzenie 9 Problem speªnialno±ci dla spªaszczonego C1 jest w NP.
Dowód:
Szczegóªy w pracy, do której link podaªem wy»ej.
formuªa ma model, to ma model sko«czony.
Ogólna idea: Najpierw obserwujemy, »e je±li
Dla zadanej formuªy piszemy ukªad nierówno±ci liniowych o
wspóªczynnikach zerojedynkowych, którego niewiadome zliczaj¡ ile razy w modelu realizowany jest ka»dy 1typ (mamy wykªadniczo du»o niewiadomych, ale liniowo du»o (m) nierówno±ci). Obserwujemy, »e ukªad ma
rozwi¡zanie nad
N
wtedy i tylko wtedy, gdy formuªa ma model o wskazywanych przez rozwi¡zanie liczbach
realizacji odpowiednich 1-typów. Badanie istnienia rozwi¡zania takich ukªadów jest w NP, wi¦c mamy w tej
chwili algorytm w NEXPTIME.
Aby go poprawi¢ u»ywamy ªadnego twierdzenia mówi¡cego, »e je±li ukªad ma rozwi¡zanie nad
ma rozwi¡zanie, w którym najwy»ej wielomianowa liczba niewiadomych ma warto±ci niezerowe.
N,
to
Daje to
algorytm w NP: dla danej formuªy zgadujemy, które 1-typy s¡ realizowane w modelu (na mocy cytowanego
twierdzenia mo»emy zaªo»y¢, »e jest ich wielomianowo du»o) i ukªad piszemy ju» tylko dla nich.
Komentarz:
Powy»szy dowód daje
wykªadnicze ograniczenie na wielko±¢ modelu:
2
mo»na pokaza¢, »e je±li
ukªad nierówno±ci ma odpowiednie rozwi¡zanie, to ma rozwi¡zanie wykªadnicze wzgl¦dem swojego rozmiaru
(do rozmiaru licz¡ si¦ te» dªugo±ci napisów reprezentuj¡cych wyrazy wolne). Jest to optymalne ogranicznie
poniewa» oczywi±cie formuªy
∃≥n x P x
maj¡ tylko modele wykªadnicze wzgl¦dem swojej dªugo±ci (która
2
wynosi okoªo
log n).
Kolejnym wnioskiem jest, »e ka»da formuªa speªnialna ma model, w którym realizo-
wanych jest tylko wielomianowo du»o 1-typów. I to ten fakt pozwala nam zbi¢ zªo»ono±¢ do wielomianowej
(niedeterministycznej).
Powy»sze twierdzenie ªatwo uogólnia si¦ do
Twierdzenie 10 Problem speªnialno±ci dla peªnego C1 jest w NP.
1.4.1 Dodatek
Przedstawiam precyzyjne sformuªowanie lematu o wielko±ci rozwi¡zania odpowiednich nierówno±ci. Oparty
jest on na klasycznych wynikach Papadimitriou.
Lemat 11 (Calvanese) Niech Γ b¦dzie ukªadem m nierówno±ci liniowych o l niewiadomych, o wspóªczynnikach i wyrazach wolnych z przedziaªu {−a, −a + 1, . . . , a − 1, a}. Je±li Γ ma rozwi¡zanie nad N, to ma
tak»e rozwi¡zanie nad N, w którym wszystkie niewiadome s¡ nie wi¦ksze od (m + l) · (m · a)2m+1 .
Precyzyjne sformuªowanie i dowód lematu o rozwi¡zaniach z du»¡ liczb¦ zer znajduje si¦ w pracy, do
której linka podaªem wy»ej.
2 Logika z dwiema zmiennymi - wªasno±¢ modelu wykªadniczego
Twierdzenie 12 (Grädel, Kolaitis, Vardi) Ka»da speªnialna formuªa w FO2 ma model wielko±ci co
najwy»ej wykªadniczej wzgl¦dem swojej dªugo±ci. Wniosek: problem speªnialno±ci dla FO2 jest rozstrzygalny
w NEXPTIME.
Dowód: Dowód znajduje si¦ w pracy: Grädel, Kolaitis, Vardi, On the Decision Problem for Two-Variable
First-Order Logic, a ta na przykªad tutaj: http://www.logic.rwth-aachen.de/pub/graedel/basl.ps 2
Wkrótce zobaczymy:
Twierdzenie 13 (Lewis, Fürer) Problem speªnialno±ci dla
FO
2
jest NEXPTIME-trudny.
3 Nierozstrzgalno±¢ - kilka wyników
3.1
Problemy domina
Zamiast przeprowadza¢ redukcj¦ z probelmu akceptacji dla maszyn Turinga b¦dziemy u»ywa¢ zazwyczaj
prostszych problemów pokry¢ pªaszczyzny kafelkami.
Przydadz¡ si¦ one zarówno do pokazywania nieroz-
strzygalno±ci jak i dolnych granic.
Denicja 14 System kafelkowania to trójka D = (D, DH , DV ), gdzie D:
D × D.
S b¦dzie jedn¡
pokrycie τ : S → D takie, »e:
Niech
z przestrzeni
(i)
(τ (x, y), τ (x + 1, y)) ∈ DH
(ii)
(τ (x, y), τ (x, y + 1)) ∈ DV
(w przypadku
Zt
N × N, Z × Z, Zt × Zt .
zakªadamy, »e dodawanie jest modulo
zbiór (kolorów) pªytek, a
Mówimy, »e
D pokrywa S ,
DH , DV ⊆
gdy istnieje
t)
Lemat 15 System D umo»liwia pokrycie N×N wtedy i tylko wtedy, gdy umo»liwia pokrycie Z×Z. (¢wiczenie)
Twierdzenie 16 Nast¦puj¡ce problemy s¡ nierozstrzygalne:
3.2
(i)
Czy system kafelkowania D pokrywa N × N (lub Z × Z)?
(ii)
Czy istnieje takie t ∈ N, »e system D pokrywa Zt × Zt ?
Nierozstrzygalno±¢ SAT(FO) oraz FINSAT(FO)
Denicja 17
deniujemy grid sko«czony
grid GN
N × N: GN = (N2 , H, V ),
Gt , Gt = (Zt × Zt , H, V ), gdzie H = . . ..
Zdeniujemy kanoniczny
na
3
gdzie
H = . . ..
Analogicznie
3.2.1 Prosty dowód u»ywaj¡cy czterech zmiennych
D
Niech
b¦dzie systemem kafelkowania. Skonstruujemy formuª¦
φD .
B¦dzie ona koniunkcj¡ formuª poni»-
szych.
•
Formuªy deniuj¡ce
grid :
∀x∃yHxy
∀x∃yV xy
∀xyzt(Hxy ∧ V xz ∧ V yt → Hzt)
•
Formuªy opisuj¡ce pokrycie:
W ka»dym punkcie le»y jaka± pªytka (ewentualnie dodatkowo - najwy»ej jedna)
pªytki s¡siaduj¡ce respektuj¡
Lemat 18
(ii)
(i)
DH
i
DV .
φD ma model wtedy i tylko wtedy, gdy D pokrywa N × N
φD ma model sko«czony wtedy i tylko wtedy, gdy D pokrywa pewien Zt × Zt .
Dowód:
Implikacje w lewo s¡ proste. W drug¡ stron¦ mo»na pokaza¢, »e je±li
φD
ma model (sko«czony),
to istnieje homomorzm z gridu (sko«czonego) w ten model. Maj¡c taki homomorzm ªatwo ju» zdeniowa¢
2
pokrycie.
U waga:
Warto zauwa»y¢, »e nie upieramy si¦, aby podmodelem naszego modelu byªy gridy. Wa»ne jest,
»e:
•
Gridy
GN
oraz
Gt
daj¡ si¦ rozszerzy¢ do modelu poprzez zinterpretowanie dodatkowych symboli rela-
cyjnych opisuj¡cych kolory pªytek (implikacje w lewo).
•
Grid
GN
zanurza si¦ homomorcznie w modelu (imlikacje w prawo).
Twierdzenie 19 Problemy speªnialno±ci oraz sko«czonej speªnialno±ci dla relacyjnego framgmentu FO4 , bez
równo±ci, z dwoma symbolami binarnymi i nieograniczon¡ liczb¡ unarnych, s¡ nierozstrzygalne.
3.2.2 Nierozstrzygalno±¢ FO3
W prosty sposób mo»na przerobi¢ poprzedni dowód tak aby u»y¢ tylko trzech zmiennych (kosztem trzeciego
symbolu binarnego). Wprowadzamy relacj¦ binarn¡
D,
która ma ª¡czy¢ elementy po skosie. Teraz o tym,
»e model lokalnie przypomina grid mo»na mówi¢ maj¡c trzy zmienne. Podmieniamy poprzedni¡ formuª¦ z
czterema zmiennymi na:
• ∀xyzHxy ∧ V yz → Dxy
• ∀xyzV xy ∧ Dxz → Hxy
Twierdzenie 20 Problemy speªnialno±ci oraz sko«czonej speªnialno±ci dla relacyjnego framgmentu FO3 , bez
równo±ci, z trzema symbolami binarnymi i nieograniczon¡ liczb¡ unarnych, s¡ nierozstrzygalne.
3.3
Nierozstrzygalno±¢ klasy ∀∃∀
Twierdzenie 21 Problemy speªnialno±ci i sko«czonej speªnialno±ci dla klasy Kahra-Moora-Wanga [∀∃∀] s¡
nierozstrzygalne. (przy zaªo»eniu, »e mamy do dyspozycji nieograniczon¡ liczb¦ symboli binarnych.
Dowód:
D piszemy
f : A → A tak¡,
Dla danego systemu kafelkowania
formuªy deniujemy funkcj¦ Skolema
φD = ∀x∃y∀z ψ(x, y, z). W modelu A takiej
f (a) = b, to A |= ∀zψ(a, b, z). My±limy, »e f jest
formuª¦
»e
funkcj¡ nast¦pnika, a wi¦c, »e w modelu mo»emy homomorcznie zanurzy¢ liczby naturalne z nast¦pnikiem.
Pary elementów modelu mo»emy traktowa¢ jak elementy gridu (o zadanych wspóªrz¦dnych). Dla ka»dego
koloru pªytki
(x, y)
d ∈ D
u»ywamy binarnego symbolu
speªniony jest dokªadniej jedno
Pd
Pd .
Teraz w formule
ψ
piszemy, »e w ka»dym punkcie
oraz, »e elementy s¡siednie maj¡ zgodne klocki.
2
Powy»sze twierdzenie mo»na jeszcze wzmocni¢:
Twierdzenie 22 Problemy speªnialno±ci i sko«czonej speªnialno±ci dla klasy [∀∃∀] s¡ nierozstrzygalne przy
zaªo»eniu, »e mamy tylko jeden symbol binarny (ale nieograniczenie du»o unarnych).
Dowód jest do±¢ techniczny i nie b¦dziemy go ogl¡da¢.
4
3.4
FO2 z relacjami przechodnimi
Zobaczyli±my ju», »e problem speªnialno±ci dla FO
2
jest rozstrzygalny.
W logice tej niestety nie umiemy
wyrazi¢ przechodnio±ci. Co wi¦cej:
Twierdzenie 23 Problem speªnialno±ci dla FO2 w klasie modeli, w których symbole T1 oraz T2 s¡ interpretowane jako relacje przechodnie jest nierozstrzygalny.
Dowód:
Rysunek poni»ej przedstawia pewne rozszerzenie gridu.
Pewne wªasno±ci powy»szego modelu opisujemy formuª¡
φ,
b¦d¡c¡ koniukcj¡ poni»szych zda«:
(1) Istnienie kolejnych elementów:
(2) Aksjomatyzacja
φi
∃x (H0 x ∧ V0 x),
(1)
∀x (∃yHxy ∧ ∃yV xy).
(2)
∀xy (Hxy → (φ1 ∨ φ2 ∨ . . . ∨ φ8 )),
(3)
H:
opisuje jedn¡ z o±miu kombinacji relacji unarnych i poª¡cze« przechodnich. Na przykªad:
φ1 ≡ T1 xy ∧ T2 xy ∧ H0 x ∧ V0 x ∧ H1 y ∧ V0 y,
(4)
φ2 ≡ T1 yx ∧ T2 yx ∧ H1 x ∧ V0 x ∧ H2 y ∧ V0 y.
(5)
(3) Analogiczna aksjomatyzacja
V
(4) Grupa formuª stwierdzaj¡ca, »e pewne elementy poª¡czone któr¡± z relacji przechodnich s¡ poª¡czone
tak»e przez
H,
np.:
∀xy ((T1 xy ∧ H0 x ∧ V1 x ∧ H1 y ∧ V1 y) → Hxy),
(6)
∀xy ((T2 xy ∧ H2 x ∧ V0 x ∧ H1 y ∧ V0 y) → Hyx).
(7)
Jak poprzednio obserwujemy, »e grid
GN
oraz
G4t
mo»na rozszerzy¢ do modelu formuªy oraz, »e
GN
zanurza si¦ homomoricznie w ka»dym modelu.
Dla zadanego problemu domina dopisujemy teraz odpowiednie formuªy mówi¡ce, »e model koduje jego
rozwi¡zania.
2
Relacje
T2 )
H
i
V
peªni¡ tylko rol¦ pomocnicz¡ i ªatwo si¦ ich pozby¢ z powy»szego dowodu (tak, »ebyT1 i
byªy jedynymi relacjami binarnymi.
Uwaga:
2
SAT(FO ) w modelach z jedn¡ relacj¡ przechodni¡ jest rozstrzygalne (zªo»ono±¢ jest pomi¦dzy 2-
2
ExpTime i 2-NExpTime, dokªadna nie jest znana). Rozstrzygalno±¢ problemu FINSAT(FO ) w tej klasie
jest otwarta.
4 Logika ze stra»nikami
Denicja 24
Logika ze stra»nikami (ang.
guarded fragment ), GF, to najmniejszy zbiór formuª FO taki, »e
•
ka»da formuªa atomowa nale»y do GF;
•
GF jest zamkni¦ty na operacje boolowskie
¬, ∨, ∧, →;
5
•
kwantykatory s¡ ograniczone przez formuªy atomowe: je±li
formuª¡ atomow¡ zawieraj¡c¡ wszystkie zmienne wolne
φ,
φ(x, y)
nale»y do GF oraz
γ(x, y)
jest
to formuªy:
∀y(γ(x, y) → φ(x, y))
oraz
∃y(γ(x, y) ∧ φ(x, y))
nale»¡ GF. Atomy
γ(x, y)
s¡ nazywane
stra»nikami. x, y
oznaczaj¡ tutaj krotki zmiennych.
Przykªady formuª w GF:
• ∀xy(Rxy → Ryx)
• ∀x(P x → ∃y(Rxy ∧ Qy))
• ∀x(x = x → ∃yz(Sxyz ∧ Rxy ∧ Rxz)
• A(x) ∧ ∃y(R(x, y) ∧ B(y) ∧ ∀z(R(y, x) → (¬A(y) ∨ B(x)))
• (∀x.C(x) → D(x)) ∧ (∀x.D(x) → (A(x) ∧ B(x))) ∧ (∀x.x = x → ((A(x) ∧ B(x)) → D(x)))
Przykªady formuª, które nie s¡ w GF
• ∀xyRxy
• ∃x(P x ∧ ∀yz(Rxy → Rxz)
• ∀xyz(Rxy∧Ryz → Rxz)
• ∀xy(P x ∧ P y → x = y)
4.1
GF2 - strze»ony fragment z dwiema zmiennymi
Denicja 25
Mówimy, »e formuªa
φ
w GF
2
jest w postaci normalnej, je±li jest koniunkcj¡ formuª postaci:
• ∃x(α(x) ∧ ψ(x))
• ∀x(α(x) → ψ(x))
• ∀xy(β(x, y) → ψ(x))
• ∀x(α(x) → ∃y(β(x, y) ∧ ψ(x, y))
gdzie formuªy
ψ
nie u»ywaj¡ kwantykatorów, a
αiβ
s¡ poprawnymi stra»nikami.
Lemat 26 Istnieje wielomianowa niedeterministyczna procedura, która produkuje dla danej formuªy φ ∈ GF2
speªnialn¡ formuª¦ φ0 w postaci wtw gdy φ jest speªnialna.
Twierdzenie 27 SAT(GF2 ) (= FINSAT(GF2 )) jest
ExpTime-zupeªny.
Granic¦ doln¡ uzyskali±my koduj¡c obliczenia alternuj¡cej maszyny Turinga pracuj¡cej w pami¦ci wielomianowej (gdy» APSpace=ExpTime). Zakªadamy, »e maszyna w ka»dym stanie ko«cowym ma dwa mo»liwe
ruchy oraz, »e akceputuje/odrzuca po
2n
krokach. Pojedynczy element modelu koduje peªn¡ konguracj¦
maszyny. Mówimy, »e ka»da konguracja uniwersalna ma co najmniej dwóch nastepników:
∀x(uniwersalna(x) → ∃yL(x, y) ∧ ∃R(x, y)),
a egzystencjalna co najmniej jednego:
∀x(egzyctencjalna(x) → ∃yN (x, y)).
Nastepnie piszemy:
∀xy(L(x, y) → φ1 (x, y))
∀xy(L(x, y) → φ2 (x, y))
∀xy(L(x, y) → φ1 (x, y) ∨ φ2 (x, y)),
6
gdzie
φ2
φ1
mówi, »e konguracja
drugiego. Formuªy
φi
y
powstaªa z
x
poprzez zastowanie pierszego z dwóch mo»liwych ruchów, a
s¡ bez kwantykatorów.
Granic¦ górn¡ mo»na udowodni¢ pokazuj¡c alternuj¡c¡ procedur¦ w pami¦ci wielomianowej, która dla
formuªy w postaci normalnej zgaduje swiadków dla koniunktów czysto egzystencjalnych, nast¦pnie uniwersalnie wybiera jednego z nich, zgaduje jego ±wiadków dla
o reszcie, itd.
∀∃,
wybiera uniwersalnie jednego z nich, zapomina
Po drodze sprawdza, czy elementy i ich ±wiadkowie nie naruszaj¡ formuª typu
∀
lub
∀∀
(wystarczy robi¢ to lokalnie, gdy» pomi¦dzy elementami nie poª¡czonymi wi¡zami bycia ±wiadkiem nie
stawiamy »adnych poª¡cze« binarnych).
Procedura operuje dodatkowo licznikiem, który po wykªadniczej
liczbie kroków przerywa obliczenia i akceptuje (bo mamy wtedy gwarancj¦, »e jakich
1-typ
si¦ powtórzyª).
5 Logika ze stra»nikami: modele drzewiaste, modele sko«czone,
rozstrzygalno±¢
Udowodnili±my, »e ka»da speªnialna formuªa GF ma model drzewiasty (lub drzewopodobny) oraz model
sko«czony. Pokazali±my, »e problem speªnialno±ci jest w 2-ExpTime. Wykªad oparty byª na pracy Ericha
Grädel'a
On the restraining power of guards.
6 Logika z dwiema zmiennymi na sªowach i drzewach
Pokazali±my, »e:
1. FO
2
ma na sªowach wªasno±¢ modelu wykªadniczego i jej problem speªnialno±ci jest NExpTime-
[<]
zupeªny.
2. FO
2
[<]
ma na
ω -sªowach
wªasno±¢ modelu wykªadniczo-opisywalnego i jej problem speªnialno±ci jest
NExpTime-zupeªny
3. FO
2
[<, +] ma na sªowach wªasno±¢ modelu wykªadniczego i jej problem speªnialno±ci jest NExpTime-
zupeªny.
4. FO
2
[↓+ ] ma na drzewach wªasno±¢ maªego modelu (gdzie maªego
oznacza drzewa gª¦boko±ci wykªad-
niczej i stopniu wykªadniczym) i jej problem speªnialno±ci jest w ExpSpace.
6.1
Uwaga o postaci normalnej
Na wykªadzie sugerowaªem nast¦puj¡c¡ posta¢ normaln¡:
^
∀xy φ0 (x, y) ∧
∀x∃y(βi (x, y) ∧ φi (x, y)),
i∈{1...m}
gdzie
β
jest formuª¡ opisuj¡c¡ wzajemne poªo»enie
xiy
(np.
x < y ).
Odrobi¦ za szybko prze±lizgn¦li±my si¦ nad jej dowodem. Trzeba jednak chyba j¡ odrobin¦ zmodykowa¢,
dostawiaj¡c formuªy
αi (x)
przed »¡daniem ±wiadka. Zatem
∀xy φ0 (x, y) ∧
^
φ
jest w postaci normalnej je±li jest ksztaªtu:
∀x(αi (x) → ∃y(βi (x, y) ∧ φi (x, y))),
i∈{1...m}
gdzie
x > y.
α(x)
jest formuª¡ atomow¡ (mo»e by¢ równo±ci¡), a
Oczywi±cie wszystkie
φi (x, y)
β(x, y)
jest jedn¡ z dwóch formuª:
x<y
lub
s¡ bez kwantykatorów.
Taka modykacja postaci normalnej nie zmienia niemal nic w dowodach (po prostu, nie wszystkie elementy »¡daj¡ ±wiadków dla
i-tego
koniunktu
∀∃.
7 Logika ze stra»nikami z relacjami równowa»no±ci w stra»nikach
Analizowali±my problem speªnialno±ci dla logiki ze stra»nikami z dwiema zmiennymi, przy zaªo»eniu, »e o
ralacjach wyst¦puj¡cych jedynie w straznikach mo»na »¡da¢ by byªy równowa»no±ciami.
Pokazali±my
Twierdzenie 28 SAT(GF2 +EG) jest
NExpTime-zupeªny.
Pokazali±my tak»e NExpTime-zupeªno±¢ problemu FINSAT, ale przy zaªo»eniu, »e wszystkie klasy równowa»no±ci s¡ ogranioczne wykªadniczo. Nie zd¡»yli±my omówi¢ przypadku ogólnego.
Patrz
Slajdy do wykªadu o
GF
2
+EG
7
8 Klasa Gödla
Udowodnili±my, »e klasa Gödla (bez równo±ci), tj. klasa formuª ksztaªtu
∀x∀y∃z1 . . . ∃zk φ(x, y, z1 , . . . , zk ),
ma wªasno±¢ modelu sko«czonego. Obejrzeli±my argument probabilityczny z pracy Y. Gurevicha i S. Shelaha
Random Models and the Gödel Case of the Decision Problem (Journal of Symbolic Logic, volume 48(4), 1983).
9 Logika modalna
9.1
J¦zyk podstawowej logiki modalnej
Zakªadamy, »e dysponujemy przeliczalnym zbiorem
literami
p, q, r
zmiennych zdaniowych V ar,
oznaczanych zazwyczaj
itp. Poni»sza reguªa deniuje zbiór formuª podstawowej logiki modalnej:
φ ::= p | ⊥ | T | ¬φ | φ ∨ φ | φ ∧ φ | φ → φ | 3φ | 2φ
W rzeczywisto±ci niektóre z powy»szych konstukcji s¡ nadmiarowe i dadz¡ si¦ zdeniowa¢ za pomoc¡
innych. W szczególno±ci
2p ::= ¬3¬φ.
Minimalna reguªa mo»e wygl¡da¢ tak:
φ ::= p | ¬φ | φ ∨ φ | 3φ
9.2
Ramki i modele Kripkego
Denicja 29 Ramk¡
(ang.
frame )
M = (F, V ),
gdzie
Denicja 30
F
Niech
(φ jest prawdziwe w
• M, w |= p
jest ramk¡, a
R jest
V : V ar → P (W ).
relacj¡ binarn¡ na
w ∈ W , M = (W, R, V ). Deniujemy indukcyjnie
w) modelu M, symbolicznie: M, w |= φ.
wtedy i tylko wtedy, gdy
poj¦cie:
φ
jest
speªnione
w stanie
w
w ∈ V (p)
• M, w |= ¬φ
wtedy i tylko wtedy, gdy
nie zachodzi
• M, w |= 3φ
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla pewnego
• M, w |= 2φ
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla ka»dego
•
F = (W, R), gdzie W
W . Modelem nazwiemy par¦
dla podstawowej logiki modalnej nazywamy par¦
jest niepustym zbiorem ±wiatów (lub stanów), a
M, w |= φ
v ∈ W,
v ∈ W,
tekiego »e
takiego »e
Rwv
Rwv
M, v |= φ
zachodzi
zachodzi
M, v |= φ
(...)
Dodatkowo, dla zbioru formuª
Σ, M, w |= Σ,
Mówimy te», »e formuªa jest
gdy
M, w |= φ
globalnie prawdziwa
dla ka»dego
w modelu
φ ∈ Σ.
M, M |= φ,
gdy jest speªniona w ka»dym
jego stanie.
9.3
Standardowy przekªad na logik¦ pierwszego rz¦du
Denicja 31 Rozwa»amy sygnatur¦ pierwszego rz¦du zawieraj¡c¡ binarn¡ relacj¦ R oraz unarne relacje
P1 , P2 , . . ., odpowiadaj¡ce naszym zmiennym zdaniowym. Dla zmiennej pierwszego rz¦du x standardowy
przekªad STx zwraca dla formuªy modalnej formuªe pierwszego rz¦du ze zmienn¡ woln¡ x:
• STx (p) = P x
• STx (¬φ) = ¬STx (φ)
• STx (φ ∨ ψ) = STx (φ) ∨ STx (ψ)
• STx (3φ) = ∃y(Rxy ∧ STy (ψ))
W przekªadzie mo»emy ograniczy¢ si¦ do u»ywania na zmian¦ tylko dwóch zmiennych:
x, y .
Proposition 32 Dla wszystkich modeli M i stanów w: M, w |= φ wtedy i tylko wtedy, gdy M |= STx (φ)[w]
Wniosek: (podstawowa) logika modalna jest fragmentam logiki pierwszego rz¦du FO. St¡d, mo»emy wiele
compactness ) - je±li ka»dy sko«czony
wyników dla FO przenie±¢ do logiki modalnej. Przykªadowo: zwarto±¢ (
podzbiór pewnego zbioru formuª jest speªnialny, to caªy zbiór równie»; dolne tw.
Löwenheima-Skolema:
ka»da speªnialna formuªa ma model przeliczalny, itp.
2
Nietrudno zauwa»y¢, »e przedstawiony przedkªad mo»na przeprowadzi¢ do logiki FO . W dodatku wszyst-
2
kie uzyskane formuªy s¡ strze»one, zatem logika modalna jest fragmentem GF .
8
9.4
Konstrukcje niezmiennicze
9.4.1 Sumy rozª¡czne modeli
Denicja 33
Mi = (Wi , Ri , V ). Zakªadamy,
»e modele nie maj¡ wspólU
M
=
(W,
R, V ), gdzie W jest sum¡
i
i
U
zbiorów Wi , R sum¡ relacji Ri , a V (p) =
V
(p)
.
i i
U
Lemat 34 Mi jak wy»ej. Dla ka»dego φ, i ka»dego stanu w ∈ Wi mamy i Mi , w |= φ wtedy i tylko wtedy,
gdy Mi , w |= φ.
Mi
Niech
b¦dzie rodzin¡ modeli,
nych stanów. Suma rozª¡czna modeli deniowana jest nast¦puj¡co:
Przykªad 35 Globalnego diamenciku nie da si¦ zdeniowa¢ w j¦zyku podstawowej logiki modelnej. (Globalny diamencik to operator E taki, »e: M, w |= Eφ wtedy i tylko wtedy, gdy M, v |= φ dla pewnego v ).
9.4.2 Generowane podmodele
Denicja 36
M0 = (W 0 , R0 , V 0 ) jest podmodelem gdy M = (W, R, V ), W 0 ⊆ W , R0 jest
0
0
obci¦ciem R do W i V (p) = V (p) ∩ W . M jest generowanym podmodelem M, gdy dodatkowo dla ka»dego
0
0
stanu w ∈ W zachodzi: w ∈ W i Rwv , to v ∈ W . Mówimy, »e podmodel jest generowany przez zbiór X
gdy jest najmniejszym generowanym podmodelem zawieraj¡cym X .
Mówimy, »e
0
0
Lemat 37 Je»eli M0 jest generowanym podmodelem M, to dla ka»dego stanu w w M0 zachodzi M0 , w |=
φ wtedy i tylko wtedy, gdy M, w |= φ dla dowolnego φ.
Przykªad 38
3
−1
9.5
φ
Wsteczny diament
Wsteczny diament nie jest deniowalny. (
i istnieje takie
v,
»e
to operator
3−1
taki, »e
M, w |=
Rvw i M, v |= φ.)
Bisymulacje
Denicja 39
(i) je±li
Bisymulacja pomi¦dzy modelami
wZw0 ,
to
(ii) (tam): je±li
w i w0
Notacja:
M, w↔M0 , w0 ;
to taka niepusta relacja
Z ⊆ W × W 0,
»e:
speªniaj¡ te same zmienna zdaniowe
wZw0 i Rwv
(iii) (z powrotem): je±li
M, M0
to istnieje taki
wZw0 i R0 w0 v 0 ,
v0 ,
»e
Zvv 0 i R0 w0 v 0
to istnieje taki
v,
»e
Zvv 0 i Rwv .
je±li istnieje jakakolwiek bisymulacja to piszemy czasem:
M↔M0
Twierdzenie 40 Je±li M, w↔M0 , w0 , to w i w0 speªniaj¡ dokªadnie te same formuªy ( modal
invariant under bisimulation).
formulas are
Na wykªadzie pokazali±my jak u»y¢ powy»szego twierdzenia do pokazania wªasno±ci modelu drzewiastego
dla logiki modalnej: startujemy od dowolnego modelu i jest wierzchoªka
korzeniem
w.
Istnieje bisymulacja ª¡cz¡ca
w
w
i rozwijamy model w drzewo z
z korzeniem drzewa.
Twierzenie to uogólnia nasze wcze±niejsze obserwacje.
Twierdzenie 41
(ii)
(i)
Mi , w↔
U
i
Mi , w .
Je±li M0 jest generowanym podmodelem M, to dla w ∈ W 0 : M0 , w↔M, w.
Twierdzenie 42 (Hennessy-Milner) Niech M i M0 b¦d¡ takimi modelami, »e ka»dy ich element ma tylko
sko«czenie wiele nast¦pników. Wtedy w↔w0 wtedy i tylko wtedy, gdy w, w0 speªniaj¡ dokªadnie te same formuªy.
9.6
Wªasno±¢ modelu sko«czonego metoda ltracji
Denicja 43
Mówimy, »e logika modalna ma
formuªa speªnialna w
M
wªasno±¢ modelu sko«czonego
jest speªnialna w pewnym modelu sko«czonym w
w klasie modeli
M,
gdy ka»da
M.
Wªasno±¢ modelu sko«czonego dla logiki modalnej w klasie wszystkich modeli wynika z wªasno±ci modelu
2
sko«czonego dla logiki FO . Tu poka»emy inny dowód metod¡
ltracji.
Ta technika pozwoli nam pó¹niej
pokaza¢ (na ¢wiczeniach), »e logika modalna ma wªasno±¢ modelu sko«czonego w klasie modeli przechodnich
(która nie wynika w »aden sposób z wyników dla FO
2
9
2
lub GF ).
Denicja 44
Mówimy, »e zbiór formuª
φ
wszystkie podformuªy
Denicja 45
Niech
Σ
nale»¡ równie» do
jest
zamkni¦ty na branie podformuª,
gdy
φ ∈ Σ
implikuje, »e
Σ.
M = (W, R, V ) b¦dzie modelem, a Σ zbiorem formuª zamkni¦tym na branie podformuª.
≡Σ na stanach modelu M nast¦puj¡co:
Deniujemy relacj¦ równowa»no±ci
w ≡Σ w 0
zachodzi, gdy dla wszystkich
w
Klas¦ abstrakcji elementu
f
f
f
(W , R , V )
(a)
oznaczamy przez
|w|Σ
wtedy i tylko wtedy, gdy
albo po prostu przez
|w|.
M, w0 |= φ.
Zaªó»my, »e model
Mf =
jest taki, »e:
W f = {|w|Σ : w ∈ W }
(b) je±li
Rwv ,
(c) je±li
Rf |w||v|,
(d)
φ ∈ Σ, M, w |= φ
to
(zbiór klas abstrakcji)
Rf |w||v|,
to dla ka»dej formuªy
V f (p) = {|w| : M, w |= p}
Taki model nazywamy
dla
p
3φ ∈ Σ,
je±li
M, v |= φ,
M, w |= 3φ.
Σ.
pojawiaj¡cych si¦ w
ltracj¡ M wzgl¦dem Σ.
to
Czasem ltracj¡ nazywamy te» sam¡ relacj¦
Rf .
Lemat 46 Filtracja modelu M wzgl¦dem zamkni¦tego na podformuªy Σ ma najwy»ej 2|Σ| stanów.
Twierdzenie 47 Niech Mf b¦dzie ltracj¡ modelu M wzgl¦dem zamkni¦tego na podformuªy Σ. Wtedy dla
ka»dego φ ∈ Σ oraz ka»dego w ∈ W zachodzi: Mf , |w| |= φ wtedy i tylko wtedy, gdy M, w |= φ.
Filtracje zawsze istniej¡. Dwie podstawowe deniowane s¡ nast¦puj¡co:
(i) najmniejsza ltracja:
(ii) najwi¦ksza ltracja:
Rs |w||v|
Rl |w||v|
wtedy i tylko wtedy, gdy
wtedy i tylko wtedy, gdy
∃w0 ∈ |w|, v 0 ∈ |v| Rwv
dla wszystkich
3φ.
3φ ∈ Σ : M, v |= φ
implikuje
M, w |=
Lemat 48 Najwi¦ksza i najmniejsza ltracja s¡ rzeczywi±cie ltracjami. W dodatku ka»da ltracja zawiera
najmniejsz¡ i zawiera si¦ w najwi¦kszej.
Twierdzenie 49 Logika modalna ma wªasno±¢ modelu sko«czonego. W dodatku ka»da speªnialna formuªa
φ ma model wielko±ci najwy»ej 2m , gdzie m jest liczb¡ podformuª φ.
10