matematyka dyskretna wyk lad 1 metody numeryczne

matematyka dyskretna
wykÃlad 1
metody numeryczne
n
• Zadanie numeryczne: na podstawie wektora danych d ∈ K , K ⊆ C wyznaczyć wektor wyników w ∈ K m .
• Zadanie jest dobrze postawione dla d jeśli w jest jednoznacznie określony.
PrzykÃlad: tw. K.-C.
• Oznaczenia:
D
W : D → Km
w = W (d)
zbiór danych, dla których zadanie jest dobrze postawione.
rozwia̧zanie dla danej d.
• Zadanie jest stabilne jeśli
∀d∈D
PrzykÃlad: Znaleźć t = t(a) : maxx∈[a,∞)
sin x
x
lim
W (d + δd) = W (d).
δd → 0
d + δd ∈ D
=
sin t
t .
• Algorytm obliczeniowy dla zadania numerycznego jest to określenie cia̧gu dziaÃlań, wykonanych nad d (i wynikami
poprzednich dziaÃlań) i warunku STOP.
Dla ustalonego zadania zazwyczaj istnieje dużo algorytmów. Warto wykorzystywać szybsze (przykÃlad: podnoszenie do
potȩgi).
• Algorytm jest poprawnie sformuÃlowany dla d jeśli liczba niezbȩdnych dziaÃlań bȩdzie skończona dla d (warunek STOP
zostanie osia̧gniȩty)
2
PrzykÃlad: Znaleźć x taki, że x = f (x) dla f (x) = fa (x) = 1 − xa dla a = 1, 2. Algorytm: x0 = 0, xn+1 = f (xn ), STOP:
|xn+1 − xn | < ².
• Liczby rzeczywiste w komputerze (reprezentacja). Każda̧ liczbȩ rzeczywista̧ x można zapisać
x = s · 2c m. s
P∞ w postaci:
1
−i
- znak (±1), c - cecha (liczba caÃlkowita), m - mantysa (liczba z przedziaÃlu [ 2 , 1)). m = i=1 e−i 2 . W reprezentacji
Pt
komputerowej ”obcinamy” mantysȩ: mt = i=1 e−i 2−i .
s
sc
ed−t−1
ed−t−2
...
e0
e−1
e−2
...
e−t
sc oznacza znak cechy.
• rd(x) - reprezentacja numeryczna liczby x. O dokÃladności decyduje liczba cyfr mantysy. Można pokazać, że rd(x) =
x(1 + ²), gdzie |²| ≤ 2−t . Liczby, które można reprezentować speÃlniaja̧ warunki:
cmin najmniejsza możliwa wartość cechy, cmax
1 cmin
2
≤ |x| ≤ 2cmax ,
2
najwiȩksza możliwa wartość cechy.
• DokÃladność obliczeniowa x. Pojawiaja̧ siȩ problemy np. przy dodawaniu bardzo dużej i bardzo maÃlej liczby, przy
dzieleniu przez bardzo maÃle liczby...
• BÃlȩdy (zaokra̧glenia–reprezentacja, dokÃladność, pomiar)
• Schemat Hornera: obliczania wartości wielomianu.
w(x) = a0 + a1 x + .. + xn =
= a0 + x (a1 + x (a2 + x (. . .)))
Czyli
w1
= x + an−1
w2
= xw1 + an−2
...
wn = xwn−1 + a0
w
= wn