Lista 6

Bartªomiej Skowron
Logika I 2011 /2012
Rudymenty algebry abstrakcyjnej. Algebry Boole'a.
Wspóªczesne uj¦cie poj¦cia analogii proporcjonalno±ci poj¦cie (homo)izomorfizmu. Syntetyczno±¢ twierdze«
matematyki w uj¦ciu Kanta
Cz¦±¢ poj¦¢ wprowadzonych na tej li±cie znacz¡co przekracza tradycyjny program wykªadu z logiki. Po co jednak s¡ one wprowadzane? Otó» cho¢by poj¦cie izomorzmu (i jego
odmiany) pojawiaj¡ si¦ w wielu argumentacjach dwudziestowiecznej (i nie tylko) lozoi (np.
w
Epistemologii
Wole«skiego
izomorzm
pojawia si¦ co najmniej kilkana±cie razy), aby wy-
peªni¢ pust¡ intencj¦ przez naoczno±¢ i nie ±lizga¢ si¦ po tych poj¦ciach prze¢wiczymy
ich elemetarne wersje. Z tych te» powodów caªo±¢ punktów z tej listy nie b¦dzie wliczana w
ogólny rozrachunek innymi sªowy rozwi¡zuj¡c zadania z tej listy korzystamy wiele, a nie
rozwi¡zuj¡c nie tracimy
Zadanie 1.
(i)
nic.
Sprawd¹ czy podane operacje s¡ dziaªaniami w zbiorze
Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze
(ii)
A:
A = {−1, 0, 1}.
Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze
(iii)
Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze
(iv)
Niech
przez
przez
(v)
A = N.
A = Z.
n ∈ N+ . Przyporz¡dkowanie liczbie naturalnej jej reszty z dzielenia
n w A = N, a je±li A = Z? Reszt¦ z dzielenia liczby caªkowitej m
n oznaczamy mmodn. Oczywi±cie mmodn ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}.
Dziaªania
+n i · n
w
A = {1, 2, 3, . . . , n − 1}
zdeniowane nast¦puj¡co:
a +n b = (a + b)modn, a·n b = (a· b)modn
(vi) a žb =
(vii)
(viii)
√
ab + a + b − 7
Operacja
1ž1
=1
Niech
ž
Zadanie 2.
A=Q
, a w zbiorze
okre±lona w nast¦puj¡cy sposób 0ž0
w zbiorze
B
w zbiorze
= 0, 0ž1 = 0, 1ž0 = 0,
A = {0, 1}.
b¦dzie dowolnym zbiorem.
Narysuj tabelk¦ dziaªa«
∩, ∪, \, 4
+4
i
·4
w zbiorze
(i)
A = P(B).
{0, 1, 2, 3}.
+4 ?
w zbiorze
one ª¡czne i przemienne? Czy ·4 jest rozdzielne wzgl¦dem
Zadanie 3.
A = R?
Czy s¡
W zbiorze liczb caªkowitych poda¢ przykªady:
podzbioru zamkni¦tego wzgl¦dem dodawania, który nie jest zamkni¦ty wzgl¦dem mno»enia,
(ii)
podzbioru zamkni¦tego wzgl¦dem mno»enia, który nie jest zamkni¦ty wzgl¦dem dodawania.
Zadanie 4.
Czy podane dziaªania w odpowiednich zbiorach s¡ ª¡czne, prze-
mienne, idempotentne oraz czy istnieje element neutralny? Wyznaczy¢ te elementy podanego zbioru, dla których istnieje element odwrotny i wyrazi¢ element
odwrotny do a (o ile istnieje) przez a.
(i) ažb = ab
w zbiorze
N+ ;
Lista 6 (lista dodatkowa)
1
Bartªomiej Skowron
Logika I 2011 /2012
a+b
2 w zbiorze
(ii) a b =
(iii) a b = a + b + 1
R;
w zbiorze
ab
a+b w zbiorze
Zadanie 5.
;
w zbiorze
(iv) a b = ab + a + b
(v) a b =
Q
R;
R;
Dziaªanie w zbiorze
p
p
q
r
s
t
p
q
r
s
t
A = {p, g, r, s, t}
q
q
p
s
q
p
r
r
t
t
s
q
s
s
p
r
t
p
zadane jest tabelk¡:
t
t
p
s
p
p
A.
ž, nazywamy grup¡,
Wskaza¢ elementy odwrotne (o ile istniej¡) do elementów zbioru
Zadanie 6.
Zbiór G, w którym okre±lone jest dziaªanie
je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:
1. dziaªanie
2. w
G
ž
jest ª¡czne;
istnieje element neutralny wzgl¦dem dziaªania
3. dla ka»dego
ž;
g ∈ G istnieje w G element odwrotny do g wzgl¦dem dziaªania
ž.
Warunki (1)-(3) nazywamy aksjomatami teorii grup. Sprawd¹ czy podany system algebraiczny
A
jest grup¡:
(i) A = hN, +i, A = hZ, +i;
(ii) A = hZ, · i, A = hQ, · i;
(iii) A = hR\{0}, · i, A = hQ+ , · i;
(iv) A = hZn , +n i
p
gdzie
Zn = {0, . . . , n − 1}
oraz
n ∈ N+ , A = hZp , ·p i,
gdzie
jest liczb¡ pierwsz¡.
(v) A = hP(X), 4i,
Zadanie 7.
gdzie
X
jest dowolnym zbiorem.
Wyka», »e dla dowolnego zbioru system algebraiczny zªo»ony ze
zbioru pot¦gowego oraz dziaªa«: sumy, iloczynu i dopeªnienia mnogo±ciowego
jest algebr¡ Boole'a.
Podobnie, udowodnij, »e system algebraiczny, którego
uniwersum skªada si¦ z 0 i 1, na którym okre±lone s¡ dziaªania koniunkcji, alternatywy i negacji jest (dwuelementow¡) algebr¡ Boole'a. Co jest zerem a co
jedynk¡ tych algebr?
Zadanie 8.
A
i
B.
Sprawdzi¢, »e podane funkcje
f
s¡ izomorzmami systemów
(Wªa±nie w takim sensie mo»emy ±ci±le wypowiedzie¢ my±l, »e s¡ one
analogiczne).
(i) A = (R, +), B = (R+ , · )
oraz
f (x) = 2x ;
(ii) A = (P(X), ∪, ∩), B = (P(X), ∩, ∪)
oraz
f (A) = A0 ;
Lista 6 (lista dodatkowa)
2
Bartªomiej Skowron
Logika I 2011 /2012
(iii) A = (R, ∧, ∨), B + (R, ∨, ∧)
oraz
f (a) = −a,
gdzie
a ∧ b = max(a, b),
a ∨ b = min(a, b);
(iv)
Podaj tak¡ funkcj¦
Zadanie 9.
f,
która jest izomorzmem
A
w
A.
Jakie systemy algebraiczne nazywamy pier±cieniami, a jakie
ciaªami? Podaj ich denicj¦ (tzn. aksjomatyk¦ teorii pier±cieni i teorii ciaª), i
dwa przykªady pier±cienia i dwa przykªady ciaªa (razem 4
Zadanie 10.
ró»ne
przykªady).
Na gruncie dost¦pnej wiedzy z algebry abstrakcyjnej skomen-
tuj twierdzenie Kanta: S¡dy matematyczne s¡ s¡dami syntetycznymi a priori.
Jak mo»na uzasadni¢ syntetyczno±¢ twierdze« matematyki u»ywaj¡c rydymentów algebry? Oto dokªadne wysªowienie Kanta z Krytyki czystego rozumu :
S¡dy matematyczne s¡ wszystkie syntetyczne. (. . . ) Przede wszystkim trzeba
zauwa»y¢: wªa±ciwe twierdzenia matematyczne s¡ zawsze s¡dami a priori, a nie
s¡dami empirycznymi, gdy» odznaczaj¡ si¦ konieczno±ci¡, której nie mo»na zaczerpn¡¢ z do±wiadczenia. (. . . ) Mo»na by pocz¡tkowo my±le¢, »e twierdzenie,
i»
7 + 5 = 12,
jest zdaniem czysto analitycznym, wynikaj¡cym na mocy zasady
sprzeczno±ci z poj¦cia sumy siedmiu i pi¦ciu. Jednak»e rozpatrzywszy spraw¦
bli»ej znajdujemy, »e poj¦cie sumy siedmiu i pi¦ciu nie zawiera w sobie niczego
wi¦cej, jak poª¡czenie obu liczb w jedn¡, przez co wcale nie my±limy, jak¡ jest
owa jedna liczba, która je obie w sobie ª¡czy. Poj¦cie liczby dwana±cie nie jest
jeszcze wcale samo przez to pomy±lane, »e my±l¦ sobie jedynie owo poª¡czenie
siedmiu i pi¦ciu. I mog¦ sobie poj¦cie takiej mo»liwej sumy do woli analizowa¢,
a mimo to nie znajd¦ w nim liczby dwana±cie. Trzeba wyj±¢ poza te poj¦cia,
bior¡c sobie do pomocy dane unaocznione, które jednemu z nich odpowiadaj¡,
np. swoje pi¦¢ palców (. . . ) To, »e liczba 5 miaªa by¢ dodana do 7, pomy±laªem
wprawdzie w poj¦ciu
= 7 + 5,
ale nie to, »e ta suma równa si¦ 12. Twierdzenie
arytmetyczne jest wi¦c zawsze syntetyczne, a u±wiadamiamy sobie to tym wyra¹niej, im nieco wi¦ksze liczby bierzemy, poniewa» wówczas staje si¦ jasne, »e
cho¢by±my nasze poj¦cia do woli obracali na wszystkie strony, nigdy nie mogliby±my znale¹¢ sumy przy pomocy samej analizy naszych poj¦¢, bez uciekania
1
si¦ do pomocy naoczno±ci .
1 I.
Kant,
Krytyka czystego rozumu, ANTYK, K¦ty 2001, s.61-62.
Lista 6 (lista dodatkowa)
3
Bartªomiej Skowron
Logika I 2011 /2012
Podstawowe definicje. Dodatek C
Definicja
1 (Dziaªanie
n-argumentowym
n
funkcj¦ f : A → A.
niem
Definicja
n -argumentowe)
Niech
okre±lonym w niepustym zbiorze
A
n ∈ N+ . Dziaªanazywamy dowoln¡
2 (System algebraiczny) Dowolny niepusty zbiór A z wy-
ró»nionym ukªadem dziaªa« n-argumentowych (liczby argumentów odpowiadaj¡ce ró»nym dziaªaniom mog¡ by¢ ró»ne) okre±lonych w A oraz wyró»nionym
ukªadem elemntów zbioru A nazywamy systemem algebraicznym b¡d¹ po prostu
hA, (fi )i∈I , (at )t∈T i. Gdzie I, T s¡ dowolnymi zbiorami injest dowolnie argumentowym dziaªaniem w A dla ka»dego i, at ∈ A
algebr¡. Notacja:
deksów,
fi
dla ka»dego t.
Definicja
3 (Wªasno±ci dziaªa« dwuargumentowych) Niech *
b¦dzie dziaªaniem dwuargumentowym okre±lonym w zbiorze A. Mówimy, »e dziaªanie to jest:
ˆ
idempotentne, je±li
ˆ
ª¡czne, je±li
ˆ
przemienne, je±li
Je±li
⊕
a∗a = a
dla ka»dego
a∗(b∗c) = (a∗b)∗c
a∗b = b∗a
a ∈ A,
dla dowolnych
dla dowolnych
a, b, c ∈ A,
a, b ∈ A.
jest równie» dwuargumentowym dziaªaniem w zbiorze A, to dziaªanie
*
nazywamy :
ˆ
obustronnie rozdzielnym wzgl¦dem
⊕,
gdy
a∗(b ⊕ c) = (a∗b) ⊕ (a∗c)
oraz
(b ⊕ c)∗a = (b∗a) ⊕ (c∗a).
Definicja
4 (Element neutralny, element odwrotny) Niech ž
b¦dzie dziaªaniem okre±lonym w zbiorze A oraz
ˆ
Mówimy, »e e jest elementem neutralnym dziaªania
dla wszystkich
ˆ
a, b ∈ A.
Je±li e jest elementem neutralnym dziaªania
mentem odwrotnym do a wzgl¦dem dziaªania
Definicja
ž
je±li aže
= eža = a
a ∈ A.
ž,
ž,
to mówimy, »e b jest eleje±li ažb
= bža = e.
5 (Algebra Boole'a) System algebraiczny A = hA, ∪, ∩,0 , 0, 1i
nazywamy algebr¡ Boole'a, je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
1. dziaªania
∪, ∩
s¡ idempotentne, przemienne i ª¡czne;
2.
∪
3.
x ∪ (x ∩ y) = x, x ∩ (x ∪ y) = x;
4.
x ∩ 1 = x, x ∩ x0 = 0, x ∪ 0 = x, x ∪ x0 = 1.
jest rozdzielne wzgl¦dem
∩;
6 (Homomorfizm) Niech A = hA, (fi )i∈I , (cj )j∈J i oraz B =
hB, (gi )i∈I , (dj )j∈J i b¦d¡ systemami algebraicznymi, gdzie odpowiednie dziaªania
maj¡ t¦ sam¡ arno±¢. Homomorzmem z A do B nazywamy funkcj¦ F : A → B
tak¡, »e dla ka»dego i ∈ I oraz a1 , ..., ami ∈ A, gdzie mi jest liczb¡ argumentów
Definicja
i-tej funkcji, mamy:
Lista 6 (lista dodatkowa)
4
Bartªomiej Skowron
Logika I 2011 /2012
F (fi (a1 , ..., ami )) = gi (F (a1 ), ..., F (ami ))
oraz dla ka»dego
j∈J
mamy:
F (cj ) = dj
W przypadku, gdy
B
A = hA, +, · , ci oraz B = hB, , , di homomorzmem
F : A → B tak¡, »e dla a, b, c ∈ A oraz d ∈ B :
z
A
w
nazywamy funkcj¦
F (a + b) = F (a) F (b)
F (a· b) = F (a) F (b)
oraz
F (c) = d
Je±li istnieje homomorzm z
A
do
B
to mówimy, »e s¡ one homomorczne.
Podobnie w przypadku endo- mono- i izomorzmu.
Jak widzimy, dziaªania jednego systemu przenosz¡ si¦ homomorcznie na dziaªania drugiego, oraz obrazem elementów wyró»nionych pierwszego systemu s¡
odpowiednio elementy wyró»nione drugiego systemu. Te okoliczno±ci pozwalaj¡
dopatrywa¢ si¦ zbie»no±ci z lozocznym poj¦ciem analogii proporcjonalno±ci.
Poznali±my jednak tylko uj¦cie algebraiczne wspóªczesnego odpowiednika poj¦cia analogii, s¡ te» inne, jak np.
(chyba najogólniejsze) w matematycznej
teorii kategorii poj¦cie morzmu oraz o czym warto wspomnie¢ poj¦cie
homeomorzmu w topologii. Platon nie wpuszczaª do Akademii osobników nieznaj¡cych geometrii nie bez powodu, otó» wskazuje si¦, »e geneza lozocznego
poj¦cia istoty ma swe ¹ródªo w geometrii. Wspóªczesn¡ wersj¡, niejako uogólnieniem, geometrii jest analysis situs, czyli topologia. Oddajmy w tej sprawie
gªos Kazimierzowi Kuratowskiemu:
Topologia jest to nauka o tych wªasno±ciach tworów geometrycznych, które nie ulegaj¡ zmianie, gdy twory te poddajemy przeksztaªceniom ró»nowarto±ciowym i obustronnie ci¡gªym, czyli homeomorzmom.
(. . . )
logicznymi.
Wªasno±ci takie nazywamy niezmiennikami topo-
Na przykªad wªasno±¢ okr¦gu polegaj¡ca na tym, »e
rozcina on pªaszczyzn¦ na dwa obszary, jest niezmiennikiem topologicznym; je±li okr¡g przeksztaªcimy w elips¦ czy w obwód trójk¡ta,
wªasno±¢ ta zostanie zachowana. Natomiast posiadanie stycznej w
ka»dym punkcie nie jest wªasno±ci¡ topologiczn¡; posiada j¡ okr¡g,
nie posiada za± obwód trójk¡ta, cho¢ powstaje on z okr¦gu przez
2
przeksztaªcenie ró»nowarto±ciowe i obustronnie ci¡gªe.
Homeomorzm oraz inne poj¦cia topologiczne (np.
otoczenie, brzeg, g¦sto±¢,
ró»ne wersje spójno±ci, zwarto±¢, ograniczono±¢, metryka) s¡ wykorzystywane
we wspóªczesnej metazyce (na wzór Scholastyków i Husserla).
wie wystarczy przestudiowa¢ pisma np. Barry'ego Smith'a
4
W tej spra-
3 z Uniwersytetu w
Bualo w Stanie NY lub ±p. Jerzego Perzanowskiego .
2 Kuratowski K., Wst¦p do teorii mnogo±ci i topologii, PWN, Warszawa 1972, s.103.
3 http://ontology.bualo.edu/smith/
4 Perzanowski J., Ontologie i ontologiki oraz Byt [w:] Studia lozoczne, nr 6-7, Warszawa
1988, i wiele innych prac.
Lista 6 (lista dodatkowa)
5
Bartªomiej Skowron
Definicja
Logika I 2011 /2012
7 (Izomorfizm, monomorfizm, endomorfizm) Homo-
1 − 1, endomorzmem je±li jest na
1 − 1 i na. Je±li dwa systemy algebraiczne A i B
piszemy A ∼
= B . Šatwo zauwa»y¢, »e bycie izomorcznym
morzm nazywamy monorzmem, je±li jest
oraz izmorzmem je±li jest
s¡ izomorczne, to
0 ∼0
= jest zwrotne, symetryczne i przechodnie.
Definicja
8 (Funkcja, dziedzina i obraz funkcji) Niech X i Y b¦d¡
: X → Y ) nazywamy
⊆ X × Y ) taki, »e:
zbiorami. Funkcj¡ ze zbioru X w zbiór Y (f
zbiór iloczynu kartezja«kiego X i Y (f
1.
(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y )(hx, yi ∈ f )
2.
(∀x ∈ X)(∀y1 , y2 ∈ Y )(hx, y1 i ∈ f ∧ hx, y2 i ∈ f ⇒ y1 = y2 )
dowolny pod-
dom(f ) = X oraz
rng(f ) = {y ∈ Y : (∃x ∈ X)hx, yi ∈ f }
Dziedzina funkcji
obraz funkcji
f : A → B nazywamy ró»nowarto±ciow¡, (inaczej:
1−1, wzajemnie jednoznaczn¡ czy injekcj¡) wtedy, gdy dla ró»nych argumentów
przyjmuje ró»ne warto±ci, tzn. (∀a, b ∈ A)(a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b)). Funkcj¦
f : A → B za± nazywamy na (surjekcj¡), gdy caªy zbiór B jest zbiorem warto±ci
f, tzn. (∀b ∈ B)(∃a ∈ A)(f (a) = b). Je±li funkcja jest surjekcj¡ i injekcj¡,
Dla przypomnienia: funkcj¦
to mówimy wówczas, »e jest bijekcj¡.
Definicja 8 jest ju» drug¡ denicj¡
funkcji, któr¡ podajemy (pierwsza byªa w
dodaku B),
pomimo, »e ró»ni¡ si¦ te
denicje w wysªowieniu (oraz, co za tym idzie, podkre±laj¡ inny aspekt funkcji)
s¡ one jednak równowa»ne.
Lista 6 (lista dodatkowa)
6