Zad. 21. Mamy do dyspozycji cyfry: `2`, `2`, `2`, `2`, `5`, `5`, `6`, `7`. Liczba

Zad. 21. Mamy do dyspozycji cyfry: ’2’, ’2’, ’2’, ’2’, ’5’, ’5’, ’6’, ’7’. Liczba pięciocyfrowa może
składać się:
• Z czterech ’2’ i innej cyfry (’5’, ’6’ lub ’7’). Cyfrę nie będącą dwójką możemy wybrać na trzy
sposoby, następnie na pięć sposobów możemy wybrać miejsce dla tej cyfry w naszej liczbie.
Zatem takich liczb jest:
3 × 5 = 15.
• Z trzech ’2’ i dwóch ’5’. Miejsca w liczbie pięciocyfrowej, na które postawimy piątki możemy
wybrać na
5
= 10
2
sposobów.
• Z trzech ’2’ i dwóch różnych cyfr. Te dwie różne cyfry nie będące ’2’ możemy wybrać na 32
sposoby (z ’5’, ’6’ i ’7’). Następnie szukamy miejsca dla pierwszej cyfry na pięć sposobów i na
cztery sposoby miejsce na drugą cyfrę. Ostatecznie takich liczb mamy:
3
× 5 × 4 = 60.
2
• Z dwóch ’2’, dwóch ’5’ i ’6’ lub ’7’. Wybieramy ’6’ lub ’7’ na dwa
sposoby. Wstawiamy tę cyfrę
na pięć sposobów. Następnie wybieramy miejsca na ’5’ na 42 sposoby. W pozostałe miejsca
wstawiamy ’2’. Ostatenicze takich liczb mamy:
4
2×5×
= 60.
2
• Z dwóch ’2’ i trzech różnych cyfr: ’5’, ’6’ i ’7’. Wybieramy miejsce na ’5’ na pięć sposobów,
następnie miejsce na ’6’ na cztery sposoby, dalej miejsce na ’7’ na trzy sposoby. Pozostałe
miejsca zapełniamy ’2’. Takich liczb mamy:
5 × 4 × 3 = 60.
• Ostatnia grupa liczb składa się z jednej ’2’, dwóch ’5’, jednej ’6’ i jednej ’7’. Miejsce na
’7’ wybieramy na pięć sposobów, miejsce na ’6’ wybieramy na cztery sposoby, miejsce na ’2’
wybieramy na trzy sposoby. Takich liczb mamy:
5 × 4 × 3 = 60.
Ostatecznie wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy:
15 + 10 + 60 + 60 + 60 + 60 = 265.
Zad. 22. Mamy do dyspozycji litery: a a a a b b b b c c c c d d d d. Rozpatrujemy wszystkie
przypadki:
• 4 x ’a’, 4 x’ b’, 2 x ’c’ (podobnie z innymi literami)
• 4 x ’a’, 3 x ’b’, 3 x ’c’ (podobnie z innymi literami)
• 4 x ’a’, 4 x ’b’, 1 x ’c’, 1 x ’d’ (podobnie z innymi literami)
I tak dalej...
Zad. 23. Pierwszą kobietę sadzamy dowolnie. Teraz posadzimy kolejne osoby zgodnie z ruchem
wskazówek zegara. Mężczyznę, którego posadzimy obok pierwszej kobiety możem wybrać na n
sposobów. Następnie kolejną kobietę na n − 1 sposobów, potem mężczyznę na n − 1 sposobów,
kobietę na n − 2 sposoby i tak dalej. Ostateczne mamy
n!(n − 1)!.
1
Zad. 24. Zauważmy, że z chwilą kiedy mamy już wybrane te n cyfr, możemy z nich utworzyć naszą liczbę tylko na jeden sposób (układając je w porządku niemalejącym). Zauważmy również, że nie
ma wśród nich zera (najmniejszą cyfrę stawiamy na początku, a tam nie może być zera). Zatem nasze zadanie sprowadza się do wybrania n cyfr w dowolnym porządku ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
przy czym cyfry mogą się powtarzać. Zatem jest to kombinacja z powtórzeniami:
n+9−1
n+8
Cn9 =
=
.
n
8
Zad. 25. Ponieważ nasza liczba ma być większa od 3 000 000, musi zaczynać się od ’3’ lub
’6’. Wykorzystamy wzór na permutację z powtórzeniami. Wszystkich liczb zaczynających się od ’3’
mamy (musimy jeszcze ustawić cyfry ’1’, ’2’, ’2’, ’6’, ’6’, ’6’).
6!
2! · 3!
Liczb zaczynających się od ’6’ mamy (musimy ustawić jeszcze cyfry: ’1’, ’2’, ’2’, ’3’, ’6’, ’6’)
6!
2! · 2!
Razem
6!
6!
+
= 240.
2! · 3! 2! · 2!
Zad. 26. (a) Możemy zamienić każdy xi na tyle jedynek, ile wynosi xi , i = 1, 2, 3, 4. Jeśli
xi = 0 miejsce zostawiamy puste. Natomiast każdy znak ’+’ zamieniamy na zero. Teraz każde takie
równanie zostało zamienione na ciąg binarny składający się dokładnie z 12 jedynei i z trzech zer.
Jest ich
12 + 3
15
=
= 455.
3
3
(b) Teraz dla każdego i = 1, 2, 3, 4 podstawiamy yi = xi − 1. Mamy yi ≥ 0 oraz
y1 + y2 + y3 + y4 = (x1 − 1) + (x2 − 1) + (x3 − 1) + (x4 − 1) = 12 − 4 = 8.
Dalej postępujęmy tak jak w podpunkcie (a).
(c). Tutaj podobnie jak w podpunkcie (b) podstwiamy
y1 = x1 − 2,
y2 = x2 − 2,
y3 = x3 − 4,
y 4 = x4 .
I ponownie znajdujemy się w podpunkcie (a).
Zad. 27. Najpierw rozmieścimy pomarańcza. Rozmieszczeń 4 identycznych pomarańczy w
pięciu różnych skrzynkach jest dokładnie tyle ile jest całkowitoliczbowych rozwiązań równania
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 4,
gdzie xi , i = 1, 2, 3, 4, 5,
liczbę pomarańczy w i-tej skrzynce. Wiemy z zadania 26, że takich
oznacza
8
rozmieszczeń jest 4+4
=
.
Teraz
rozmieszczamy jabłka. Każde jabłko możemy umieścić w jednej
4
4
z pięciu skrzynek na 5 sposobów. Mamy 6 jabłek zatem takich rozmieszczeń jest 56 . Ostatecznie
wszystkich rozmieszczeń mamy
8
· 56 .
4
Zad. 28. Jest to podział zbioru 10-cio elementowego na podzbiory 2-elementowe, przy czym
nie liczy się ani kolejność wybrania podzbiorów 2-elementowych, ani kolejność osób w samych 2elementowych podzbiorach. Zatem takich wyborów jest
10 8 6 4 2
10!
2
2 2 2 2
=
= 945.
5!
2! · 2! · 2! · 2! · 2! · 5!
2
Zad. 29. Ω - zbiór wszystkich rozmieszczeń 10 pasażerów w 2 wagonach. Każdy pasażer wybiera
niezależnie jeden z dwóch wagonów na dwa sposoby. Zatem |Ω| = 210 . Dalej, A - zbiór wszystkich
takich rozmieszczeń 10 pasażerów w 2 wagonach, w których do każdego wagonu wsiądzie
dokładnie
5 pasażerów. Wybieramy 5 pasażerów, którzy wsiądą do pierwszego wagonu na 10
sposobów.
5
Pozostali wsiadają do drugiego. Ostatecznie
10
P (A) =
5
210
.
Zad. 30. (a)
W65 = 65 .
(b)
C56 =
Zad. 31.
Zad. 32.
5+6−1
10
=
.
5
5
6
· 25 .
1
27
.
4
3