Ciągłość funkcji Definicja 1. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb

Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 5)
Ciągłość funkcji
Definicja 1. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Punktem skupienia tego
zbioru nazywamy liczbę x0 , która jest granicą pewnego ciągu o wyrazach ze zbioru A różnych od
x0 .
Definicja 2. Niech A ⊆ R i x0 ∈ A. Mówimy f : A → R jest funkcją ciągłą w punkcie x0 jeśli ma
w tym punkcie granicę i jest ona równa wartości funkci w tym punkcie.
Bazując na definicji Cauchy’ego ciągłości funkcji można stwierdzić, że f (x) jest ciągła w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0 ∃δ ∀(x∈A−{x0 }) (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε) .
Mówimy, że funkcja f (x) jest lewostronnie (prawostronnie) ciągła w punkcie x0 , jeśli ma w tym
punkcie granicę lewostronną (prawostronną) i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Funkcja jest ciągła w punkcie x0 jeśli jest jednocześnie ciągła lewostronnie i prawostronnie. Mówimy, że
f (x) jest ciągła (ciągła jednostronnie) w całym zbiorze A, jeśli jest ciągła (ciągła jednostronnie) w
każdym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie 1. Działania na granicach funkcji ciągłych dają w wyniku funkcje ciągłe: Jeżeli f i g
są funkcjami ciągłymi w punkcie x0 , to ich suma, różnica i iloczyn są ciągłe w punkcie x0 .Ponadto,
jeśli g(x0 ) 6= 0, to w tym punkcie ciągły jest również iloraz fg .
Stwierdzenie 2. Funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim (f (x0 + h) −
h→0
f (x0 )) = 0
Przykład 1. Ciągłość funkcji elementarnych. 1. Ciągłość funkcji wielomianowych i wymiernych wynika bezpośrednio z powyższego twierdzenia oraz tego, że dla ustalonego n > 0 funkcja
f : R → R określona wzorem f (x) = xn jest ciągła.
2. Funkcja wykładnicza f (x) = ax , a¿0, jest funkcją ciągłą. Dla dowodu przypomnijmy najpierw, że dla ustalonej liczby rzeczywistej dodatniej a
1
lim a n = lim
n→∞
√
n
n→∞
a=1
skąd łatwo wyprowadzić wniosek
lim ax = 1.
x→0
Stąd otrzymujemy
lim (ax+h − ax ) = lim ax (ah − 1) = ax lim (ah − 1) = 0
h→0
h→0
h→0
3. Funkcje trygonometryczne sin x, cos x są ciągłe:
1
1
lim (sin(x + h) − sin x) = lim (2 sin hcos(x + h)) = 0,
h→0
h→0
2
2
1
1
lim (cos x + h − cosx) = lim (2 sin h) sin x + h = 0.
h→0
h→0
2
2
Z twierdzenia 1 wynika, że ciągłymi są funkcje tg x i ctg x.
1
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 5)
Stwierdzenie 3. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Przykład 2. Funkcja f (x) = xx określona na zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych jest funkcją
ciągłą, ponieważ
x
xx = eln x = ex ln x ,
tzn. można ją przedstawić w postaci złożenia dwóch funkcji: g(x) = ex oraz h(x) = x ln x. Drugą
z tych funkcji trzeba jeszcze określić dla x = 0 przyjmując
h(0) = lim x ln x = 0.
x→0+
Twierdzenie 4. Jeśli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale domkniętym ha, bi, to dla każdego ε > 0
istnieje takie δ > 0, że dla dowolnych x, x0 ∈ ha, bi, nierówność |x − x0 | < δ implikuje nierówność
|f (x) − f (x0 )| < ε.
Funkcja, która spełnia warunek zawarty w powyższym twierdzeniu nazywa się jednostajnie
ciągłą. Twierdzenie mówi zatem, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest w nim jednostajnie
ciągłym.
Twierdzenie 5. (Twierdzenie Weierstrassa) Każda funkcja f ciągła w przedziale domkniętym
ha, bi jest w tym przedziale ograniczona i osiąga w nim swoje kresy, dolny m i górny n, tzn istnieją
c, d ∈ ha, bi takie, że dla dowolnego x z tego przedziału m = f (c) 6 f (x) 6 f (d) = M .
Twierdzenie 6. (Własność Darboux) Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym ha, bi przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości pośrednie między f (a) i f (b). Innymi słowy jeśli f (a) <
f (b) (f (a) > f (b)) i f (a) < yf (b) (f (a) > y > f (b)), to istnieje c ∈ ha, bi, taki że f (c) = y.
Wniosek 7. Jeżeli f (x) jest ciągła w przedziale ha, bi i f (a)f (b) < 0, to istnieje x ∈ ha, bi, taki że
f (x) = 0.
Wniosek 8. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym ha, bi przyjmuje w tym przedziale
wszystkie wartości od kresu dolnego do kresu górnego.
Twierdzenie 9. Jeżeli funkcja y = f (x) jest różnowartościowa i ciągła w przedziale ha, bi, to
funkcja odwrotna do niej jest w przedziale hm, M i także funkcją ciągłą, gdzie m i M jest odpowiednio
kresem dolnym i górnym funkcji f (x).
Przykład 3. a) Fukcje cyklometryczne, jako odwrotne do trygonometrycznych są ciągłe.
b) Funkcje logarytmiczne, jako odwrotne do wykładniczych, są ciągłe.
Opracował: Czesław Bagiński
2