plik PDF

Agnieszka Orzeszek
Częstość zdarzeń
Dlaczego tak niewielu maturzystów wybiera na egzaminie zadania z rachunku
prawdopodobieństwa? Myśl˛e, że po prostu nie umieja˛ tego działu, a jedna˛ z przyczyn jest zbyt szybkie przejście od eksperymentu do rozważań teoretycznych.
Uczniowie rozumieliby lepiej poj˛ecie
prawdopodobieństwa, gdyby wykonali
wi˛ecej doświadczeń zwiazanych
˛
z cz˛estościa˛ zdarzeń.
Zakładam, że przed wykonaniem opisanych tutaj ćwiczeń uczniowie intuicyjnie określali prawdopodobieństwa
prostych zdarzeń losowych, a nast˛epnie obliczali prawdopodobieństwa, dzielac
˛ liczb˛e wyników sprzyjajacych
˛
przez
liczb˛e wszystkich możliwych wyników.
Co to jest cz˛estość?
W klasie jest 10 dziewczat
˛ i 14 chłopców.
Tabela przedstawia, ile dziewczat
˛ i ilu
chłopców uzyskało poszczególne oceny
z pracy klasowej z matematyki.
Ocena
Dziewcz˛eta
Chłopcy
2
1
1
3
2
4
4
5
6
5
2
3
Kto cz˛eściej otrzymywał czwórk˛e –
dziewcz˛eta czy chłopcy?
Warto poprosić uczniów, aby wyjaśnili, podajac
˛ odpowiednie przykłady,
jak rozumieja˛ zwrot „coś zdarza si˛e cz˛eściej”. Pytamy, co trzeba zrobić, żeby
obliczyć, jak cz˛esto dziewcz˛eta otrzymywały czwórk˛e, a jak cz˛esto chłopcy. Okazuje si˛e, że nie wystarczy porównać bezwzgl˛edne liczby (5 < 6), trzeba odnieść
5
6
je do liczby osób danej płci: 10
> 14
.
8
Teraz uczniowie nie powinni mieć problemu z nast˛epnym ćwiczeniem:
W czerwcu było 12 deszczowych dni, tyle
samo co w pierwszych 15 dniach lipca.
Kiedy deszcz padał cz˛eściej? Jak cz˛esto padał deszcz w czerwcu, a jak cz˛esto
w ciagu
˛ pierwszych 15 dni lipca?
Prawdopodobieństwo
a cz˛estość doświadczalna
Zadajemy kilka pytań sprawdzajacych
˛
wiadomości z poprzednich lekcji:
• Określ prawdopodobieństwo zdarzenia, że w rzucie kostka˛ wypadnie
6 oczek. A 2 oczka?
• Określ prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywajacego
˛
na loterii,
w której jest 30 losów, w tym 6 wygrywajacych.
˛
• Rzucasz moneta.
˛ Jakie masz szanse
uzyskania reszki, a jakie – orła?
Czy to znaczy, że przy 10 rzutach
moneta˛ uzyskujemy tyle samo orłów
co reszek? Jak si˛e ma prawdopodobieństwo 12 do wyników przeprowadzonego przez ciebie doświadczenia?
Problem postawiony w pierwszym pytaniu uczniowie moga˛ badać, wykonujac
˛
rzuty kostka.˛ Praca w grupach pozwoli
wykonać je szybciej. Do opracowania
wyników przyda si˛e tabela:
Liczba
rzutów
Liczba otrzymanych reszek
Cz˛estość otrzymywania reszki
10
.......
......... /10=.....
20
.......
......... /20=.....
40
.......
......... /40=.....
Zaokraglij
˛
wyniki do dwóch miejsc po
przecinku. Czy coś zauważasz?
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
ML14 str. 8
Spróbujmy wykonać teraz analogiczne
zadanie dla 50, 100, 300 rzutów. Ułatwi to kalkulator graficzny. Na przykład w modelu TI-83 komenda randInt
pozwala wygenerować liczby losowe
z dowolnego zakresu i w dowolnej ilości. Umawiamy si˛e, że 0 to orzeł, a 1 to
reszka. Przy tej umowie wystarczy obliczyć sum˛e wylosowanych liczb, aby
dowiedzieć si˛e, ile wypadło reszek.
tów sześcienna˛ kostka,
˛ i zaproponował
oryginalne wykorzystanie otrzymanych
wyników.
• Jeżeli wypadnie 1, to odpytywani b˛eda˛
tylko chłopcy.
• Jeżeli wypadnie 2, to odpytywane
b˛eda˛ tylko dziewcz˛eta.
• Jeżeli wypadnie 3 lub 4 lub 5, to nikt
nie b˛edzie odpytywany.
• Jeżeli wypadnie 6, to pytana b˛edzie
jedna osoba (chłopiec lub dziewczyna), ale tylko z zagadnienia, które
sama wybierze.
Uczniowie uruchamiaja˛ program i otrzymuja˛ wyniki:
Na ilustracji widzimy okienko z wynikami losowania 50 „rzutów”. Reszka
wypadła 26 razy. Po wykonaniu doświadczeń zapisujemy wniosek:
Im wi˛eksza liczba rzutów, tym cz˛estość
uzyskania reszki jest bliższa prawdopodobieństwu, które dla tego zdarzenia
wynosi 12 .
Za pomoca˛ kalkulatora graficznego można także symulować rzut kostka.
˛ Wystarczy losować liczb˛e z przedziału 1–6.
Uczniowie moga˛ teraz zbadać, jaka
jest cz˛estość wypadania poszczególnej
liczby oczek. Możemy podzielić klas˛e na
6 grup, z których jedna bada, jak cz˛esto wypada 1 oczko, druga – 2 oczka itd.
Dochodzimy do wniosku:
Im wi˛eksza liczba rzutów, tym cz˛estość
uzyskania danej liczby oczek jest bliższa
prawdopodobieństwu, które dla tego zdarzenia wynosi 16 .
Tajemnicza kostka
W dalszej cz˛eści lekcji uczniowie korzystaja˛ z zapisanego wcześniej na kalkulatorach programu KOSC1 (można go
znaleźć na stronie www.gwo.pl/gazeta2)
i zapoznaja˛ si˛e z nast˛epujac
˛ a˛ historyjka:
˛
Maciek napisał program kalkulatorowy
KOSC1, który wykonuje symulacje rzu-
Okazuje si˛e, że wyniki wcale nie
sa˛ równie prawdopodobne. Drugi program, KOSC2, powtarza wielokrotnie
rzut kostka˛ Maćka i pozwala upewnić si˛e,
że nie jest to zwykła kostka.
Celem kolejnego zadania jest odgadni˛ecie układu oczek na kostce. Po wielokrotnym losowaniu uczniowie dochodza˛ do wniosku, że: P(1) = 0, P(2) = 12 ,
P(3) = 0, P(4) = 0, P(5) = 13 , P(6) = 16 .
Sa˛ to odpowiednio prawdopodobieństwa
wyrzucenia 1, 2, ..., 6 oczek.
Na podstawie tych danych odgaduja,
˛ jaka˛
kostk˛e w programie KOSC1 i KOSC2
skonstruował sobie Maciek (trzy ścianki
z 2 oczkami, dwie ścianki z 5 oczkami
i jedna z 6 oczkami).
Oczywiście do rozwiazania
˛
zadania wystarczyłby sam program KOSC2. Jednak
tracimy wtedy tak istotny element zaskoczenia, zbyt szybko uczniowie zauważaja,˛ że kostka jest „fałszywa”. Wprowadzenie w pierwszej kolejności programu
KOSC1 wzbudza wi˛eksze emocje i zainteresowanie uczniów, zwłaszcza (co w tej
sytuacji zrozumiałe) dziewczat.
˛
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
ML14 str. 9
9