Rachunek prawdopodobieństwa — lista 10

Rachunek prawdopodobieństwa — lista 10
Zad. 82. Zadanie o ruinie gracza (JS rozdział 11)
Gracz A ma początkowo a złotych, a B ma b złotych. Grają w orła i reszkę monetą, na której
orzeł wypada z prawdopodobieństwem p ∈ (0, 1), a reszka z prawdopodobieństwem q = 1 − p.
Obserwujemy grę z punktu widzenia gracza A: niech Xi = 1, gdy wypadnie orzeł i A otrzyma od B
jedną złotówkę, a gdy wypadnie reszka, to Xi = −1 czyli A daje graczowi B jedną złotówkę.
Niech Sn = X1 + ... + Xn , Fn = σ(X1 , ..., Xn ). Określmy dwa momenty stopu względem (Fn ):
τA = inf{n : Sn = −a},
τK = inf{n : Sn ∈ {−a, b}}.
Pierwszy z nich to moment ruiny gracza A, drugi to moment końca gry.
Rozważając odpowiedni martyngał i jego stopowanie, oblicz prawdopodobieństwa ruiny każdego z
graczy.
Zad. 83. W pierwszym semestrze rozwiązaliśmy następujące zadanie:
Wykładowca przygotował i ogłosił n pytań egzaminacyjnych dla grupy n studentów, a Jacek nauczył
się odpowiedzi na k ¬ n z nich. Egzamin polega na wylosowaniu jednego pytania. Jeśli udzieli się
na nie poprawnej odpowiedzi, to zda się egzamin. Pytania już wylosowane są wycofywane. Jacek
ma jutro zdawać i zastanawia się, jakie jest prawdopodobieństwo zdania, gdy wejdzie na salę jako
pierwszy, drugi, trzeci, itd.
Obliczyliśmy, że to prawdopodobieństwo jest zawsze równe nk .
Rozważmy sytuację bardziej zbliżoną do rzeczywistości: Jacek stoi przed salą egzaminacyjną i pyta
osoby wychodzące z egzaminu, jakie pytanie zostało właśnie wylosowane. Mając te kolejne informacje próbuje wybrać taki moment, w którym prawdopodobieństwo zdania będzie największe. Czy
istnieje strategia pozwalająca zmaksymalizować średnią szansę zdania egzaminu?
Komentarz: Rachunek prawdopodobieństwa ma niewiele do powiedzenia w przypadku zdarzeń jednokrotnych (np. Jacek zdaje tylko jeden taki egzamin). Jeśli jednak w czasie studiów Jacek ma
zdawać 20 tak zorganizowanych egzaminów, to już można mówić o średnim wyniku tych egzaminów. W zadaniu chodzi o zmaksymalizowanie takiego średniego wyniku.
Odpowiedź: Niech Yk oznacza szanse zdania, gdy Jacek wejdzie jako (k + 1)-szy. Niech Fk oznacza
n−1
wiedzę o początkowych k pytaniach, F0 = {∅, Ω}. Wykaż, że ciąg (Yk , Fk )k=0
jest martyngałem, a
zatem na mocy tw. Dooba ...