1 Oszacowanie błędów zastosowanej metody, to istotne

Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
budowane są w taki sposób, aby wyniki pomiarów wielkości x nie róŜniły się od wartości
BŁĘDY M ETODY F ILMOWEJ POMIARU PARAM ETRÓW CHODU
rzeczywistej xr więcej niŜ o wartość najmniejszej działki na przyrządzie x. Wartość
Przedstawiony tekst jest częścią monografii do ktorskiej:
rzeczywista pomiaru mieści się zatem w przedziale (x - ∆x, x + ∆x). Dokładność ∆x stanowi
Winiarski Sławomir Biomechan iczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzad ła
krzyŜowego przedniego (mo nografia do ktorska). Akademia Wychowania Fizyczn ego we
Wrocławiu, 2007.
maksymalną wartość niepewności systematycznej wnoszonej przez przyrząd.
Niepewność systematyczna dla linijki milimetrowej wynosi zatem: ∆ l = ±1 mm.
Oszacowanie błędów zastosowanej metody, to istotne zagadnienie podczas wykonywania
Maksymalny błąd względny1 pomiaru wysokości ciała wyniesie zatem ok.: ∆ l/l=0,05%
W przypadku analogowych mierników elektronicznych, róŜnicę pomiędzy wynikiem
pomiarów. Skąd mamy pewność, Ŝe badanie dało rzetelne wyniki? Jakie są gwarancje, Ŝe
pomiaru a wartością rzeczywistą znajdujemy posługując się liczbą zwaną klasą przyrządu.
uzyskane parametry chodu odzwierciedlają rzeczywisty stan narządu ruchu człowieka?
W wyniku pomiaru wielkości fizycznej nie uzyskujemy zasadniczo jej rzeczywistej
wartości. Składa się na to wiele powodów, zaleŜnych od metody pomiaru, uŜytych
Klasą przyrządu nazywamy wyraŜony w procentach stosunek niepewności systematycznej
(∆x) do pełnego zakresu wychylenia miernika (Z).
przyrządów pomiarowych, obserwatora, itp. KaŜdy pomiar obarczony jest niepe wnoś ciami
K=
pomiarowymi (lub potocznie: błędami pomiarowymi).
Występują
dwa
zasadnicze
rodzaje
niepewności
pomiarowych:
przyrządu i niepewności odczytu) dla wagi laboratoryjnej wynosi:
łącznie, składając się na niepe wność całkowitą.
∆ Q=
Niepewność pomiarowa jest miarą rozrzutu wyników pomiaru pewnej wielkości
fizycznej. Wielkości fizyczne wyznaczane bezpośrednio za pomocą odpowiednich
przyrządów pomiarowych, to wielkości proste lub be zpoś rednie. Do parametrów
(R. 1)
Na tej podstawie całkowita niepewność systematyczna (niepewność wynikająca z klasy
niepewności
systematyczne i niepewności przypadkowe. Zwykle w kaŜdym pomiarze występują one
∆x
⋅ 100%
Z
K ⋅Z
0,0004 ⋅ 250kG
+ ∆O =
+ 0,01kG = ±0,011kG (kilogramów siły).
100
100
Maksymalny błąd względny wyznaczenia cięŜaru ciała nie powinien przekroczyć
∆Q/Q = 0,01%.
Niepewność
bezpośrednich, wykorzystywanych w niniejszym badaniu, zaliczamy masę (cięŜar ciała
pomiarowa
systematyczna
platformy
tens ometryczne j
Kistler,
zmierzony na wadze laboratoryjnej, lub platformie tensometrycznej), wysokość ciała
Model:9286A określona jest przez producenta2 na ±10mN (miliniutonów), czyli ∆ F=±0,01N.
(zmierzona na skali linijki pomiarowej), współrzędne połoŜenia znacznika filmowania
Przy czym zakres pomiaru siły wedlug specyfikacji producenta wynosi od –2,5 do 2,5 kN
(uzyskane z obrazu filmowego kamery), siła reakcji bezpośrednio zmierzona na platformie
(kiloniutonów) dla składowych poziomych Fx i Fy oraz od 0 do 10 kN dla składowej
pionowej Fz.
tensometrycznej.
Wartość maksymalna względnej niepewności pomiarowej w chodzie, np. dla pomiaru
Parametry fizyczne uzyskane poprzez zaleŜność funkcyjną, czyli niezmierzone
bezpośrednio, to wielkości poś rednie. Do wielkości pośrednich zaliczymy wszystkie inne
siły reakcji rzędu ok. Fmax=120%..100kG≈1180N wynosi ok. ∆ F/F=8.10-4 %. Platforma
parametry chodu zaleŜne albo od masy, wysokości ciała (bezwymiarowe wskaźniki chodu)
tensometryczna, jak widzimy, jest urządzeniem bardzo precyzyjnym i przez to niezmiernie
lub wielkości zaleŜne od wyznaczonych połoŜeń markerów i częstotliwości filmowania (kąty
czułym na wszelkie zakłócenia zewnętrzne (np. drgania podłoŜa, przepięcia instalacji
stawowe, prędkości i przyspieszenia liniowe i kątowe znaczników, czasy charakterystycznych
elektrycznej).
Człowiek wnosi niezaleŜny przyczynek do niepewności systematycznej. Wkład czynnika
faz chodu, wyliczona siła reakcji, itp.).
ludzkiego do niepewności systematycznej jest zazwyczaj mniejszy od dokładności przyrządu
Niepewności systematyczne pomiarów bezpośrednich
pomiarowego. Przy pomiarze odległości (np. wysokości ciała) popełniamy zwykle błąd
O pomiarze bezpośrednim mówimy wtedy, gdy wartość liczbowa pewnej wielkości
1
odczytana być moŜe bezpośrednio z przyrządu pomiarowego. Przyrządy pomiarowe
2
M aksymalny błąd względny jest niepew nością pomiarową względem maksymalnej wielkoś ci zmierzonej w zakresie
wyników pomiarowych wyraŜony w procentach
http://www.kistler.com/ (M odel=App.9286A )
1
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl
2
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl
Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
paralaksy. Niepewność pomiarowa platformy tensometrycznej zaleŜy dodatkowo w duŜej
∆U = 4 ⋅ k ⋅
mierze od dokładności kalibracji urządzenia przez uŜytkownika. Podobnie w rejestracji
e
≈ 3,4 mm.
E
(R. 6)
obrazu bardzo waŜna jest poprawna kalibracja przestrzeni filmowania oraz zagwarantowanie
Niepewność lokalizacji znacznika na ekranie monitora (∆L) jest sumą niepewności
stałych pozycji kamer przez cały czas trwania eksperymentu. Omówienie tego problemu
wyznaczenia średnicy analizowanego markera na ciele osoby badanej (B) i ziarnisto ści obrazu
poświęcony zostanie osobny podrozdział.
(Z):
∆L = B + Z,
(R. 7)
gdzie
e
B = 3k ⋅
E
(R. 8)
oraz
Z =k⋅
e
.
E
(R. 9)
Niepewność pomiarowa rejestracji filmowej
Niepewność pomiarową wyznaczenia współrzędnych znacznika w rejestracji filmowej
zaliczamy do błędów systematycznych bezpośrednich. Bezwzględna niepewność całkowita
ustalenia połoŜenia marke ra względem przyjętego układu odniesienia (∆C) zaleŜy od
bezwzględnej niepewności wyznaczenia początku układu współrzędnych (∆U), bezwzględnej
Bior ąc przykładowe poło Ŝenie znacznika e=73mm wartość bezwzględna lokalizacji punktu na
ekranie monitora (∆L) wyniesie:
∆L = 4 ⋅ k ⋅
niepewności lokalizacji punktu na ekranie monitora (∆L) i bezwzględnej niepewności
wyznaczenia skali obrazu (∆K) (Tokarczyk i Huppert, 2006). Zgodnie z kryterium
średniokwadratowym (Fidelus i wsp., 1997) związek ten moŜna wyrazić następującym
wzorem:
e
≈ 3,4 mm.
E
(R. 10)
i równa jest w tym przypadku warto ści niepewno ści ustalenia początku układu współrzędnych
∆U.
Niepewność wyznaczenia skali obrazu (∆K) wynika ze wzoru na wartość względną :
∆C = f (∆U , ∆L, ∆K ) = ∆U 2 + ∆L2 + ∆K 2 .
(R. 2)
∆K ∆H ∆h
=
+
,
k
H
h
Niepewność us talenia początku układu ws półrzę dnych (∆U) jest sumą błędu apertury,
(R. 11)
czyli wyznaczenia średnicy markera na układzie odniesienia (A) oraz błędu ziarnistości, czyli
gdzie k=6,27 jest znanym nam współczynnikiem skali pomniejszenia, H=1000mm,
kwantowania wymiarów rzeczywistych (Z):
h=159,4mm, ∆H = MAX(∆H1 +∆H2 )=2mm maksymalny bezwzględny błą d, jaki moŜna
∆U = A + Z.
e
E
Przy czym
Z =k⋅
oraz
A = 3⋅ k ⋅
(R. 3)
(R. 4)
e
,
E
(R. 5)
H 1000 mm
gdzie k =
=
= 6, 27 jest współczynnikiem skali pomniejszenia obrazu filmowego
h 159,4 mm
w stosunku do wymiaru rzeczywistego, e=73mm współrzędną punktu na ekranie, E=540
liczbą linii (pikseli) analizowanego obrazu w pionie. Łącząc te informacje otrzymamy
ostatecznie:
popełnić wyznaczają c wysoko ść odcinka układu kalibracyjnego(∆H1 =∆H2=1mm: 1 podziałka
skali linijki), ∆h = 2 ⋅ k ⋅
e
= 0,27mm bezwzględny błąd wyznaczenia wysokości układu na
E
ekranie monitora.

∆K = k ⋅ 
∆H ∆h 
+
 = 0,02 mm.
h 
 H
Stąd
Podsumowując,
wartość
bezwzglę dna
niepewno ści
całkowitego
(R. 12)
wyznaczenia
współrzędnych punktu filmowania (∆C) wynosi:
∆C =
3,4 2 + 3, 4 2 + 0,02 2 [mm] = 4,8mm.
(R. 13)
Dokładność wyznaczenia początku układu współrzę dnych ∆U oraz środka znacznika
filmowania ∆L ulega zwię kszeniu poprzez numeryczne wygładzenie jego trajektorii. Przy
wyliczaniu długości odcinków oraz zakresów kątowych wypadkowa niepewno ść pomiarowa
moŜe się zwię kszać albo się redukowa ć.
3
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl
4
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl
Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
Błędy precyzji umieszczenia markerów
gdzie ∆t=0,02s jest czasem pomiędzy kolejnymi klatkami filmowymi (odwrotno ść
Osobną grupą błędów losowych stanowią błędy precyzji umieszczenia markerów na ciele
osoby badanej. Błędy te wnoszone są przez osobę instalują cą znaczniki i zwią zane są z
częstotliwości filmowania). Przy takiej wielkości błę du uzyskania prędkości ką towej liczenie
przyspieszenia ką towego mija się z celem.
odchyleniem poło Ŝenia znacznika względem osi stawu. Innym źródłem błę du jest błą d
połoŜenia markera w zwią zku z przesuwaniem się skóry (na której przyczepiony jest
znacznik) w stosunku do osi stawu podczas ruchu ko ńczyny. Niedopuszczalne jest
Błą d oszacowania długo ści kroku (pojedynczego i podwójnego) zale Ŝy ściśle od precyzji
umieszczenia markera filmowego. Maksymalny błąd bezwzględny, jaki mo Ŝna popełnić przy
obliczaniu np. długości kroku pojedynczego wynosi δL=2.δr= 2mm. Co przy długo ści kroku
umieszczanie znaczników na ubraniu – nawet mocno przylegającym do ciała.
W kilku krokach przeprowadzony zostanie rachunek błędów precyzji wyznaczenia
pojedynczego ok. 700mm daje błąd wzglę dny ok. 0,3%. Nale Ŝy zwrócić uwagę , Ŝe błą d
względny będzie się zwiększał w miarę skracania mierzonych dystansów.
połoŜenia markera oraz konsekwencja tego błędu w obliczaniu innych parametrów chodu.
Błą d absolutny poło Ŝenia markera szacujemy w nastę pują cy sposób. Niech δ r oznacza
maksymalny błą d, jaki mo Ŝna popełnić przy umieszczaniu znacznika w stosunku do pozycji
prawidłowej (Rycina 53). ZałóŜmy Ŝe błąd ten równy jest niepewności pomiarowej i wynosi
δr=1mm. Pomiędzy znacznikiem kolana i biodra tworzy się sto Ŝek niepewności pomiarowych
δα
dr
(Rycina 53, z lewej) o średnicy podstawy δ r=1mm. Dla załoŜonej długo ści uda lu=500mm i
przy rozwa Ŝeniu trójkąta prostoką tnego
3
zbudowanego na odcinkach ½δr, ½lu jako
lu
znacznika (ką t rozwarcia stoŜka) wyniesie:
Przy wyliczaniu prędkości ką towej korzysta się z operatora pochodnej. Maksymalny błąd
względny wyznaczenia prędkości ką towej mo Ŝna wyznaczyć metodą ró Ŝniczki zupełnej4 :
δω =
α 2 − α1
∆t
= f (α1 , α 2 , t )
i
∂f
∂f
2 ⋅ δα 0,008
1
⋅ δα +
⋅ δα =
=
= 0,4 ≈22o \s ,
∂α1
∂α 2
∆t
0,02s
s
2
β
β -δβ
δr
−
δr
2
lpu
dr
maksymalnym błędem ±δβ=2.δα=0,4o , przy załoŜeniu, Ŝe długość podudzia jest równa
ω=
+
lPU
2
Ką t w stawie kolanowym (β) mo Ŝe zosta ć zatem niedoszacowany lub przeszacowany z
β
β +δβ
lu
(R. 14)
długości uda lu=lpu.
lu
δα
przyprostokątne i ½lu jako przeciwprostokątna maksymalny błąd poło Ŝenia kątowego
1
2 ⋅δr
δα
δα 2 δr
≈ sin
=
, stąd δα ≈
= 0 ,004 rad ≈ 0 , 2 o .
1
2
2
lu
lu
2
2
lU
2
Rycina 1. Schemat metody szacowania absolutnego błędu obliczenia kąta s tawowego.
Opis oznaczeń w tekś cie. Opracowanie własne.
Błą d obliczenia częstotliwo ści (δf) obliczono z róŜniczki zupełnej:
δf =
(R. 15)
df
1
1
⋅ δT = 2 ⋅ δT = f 2 ⋅ δT ≅ 0,045 ,
s
dT
T
(R. 17)
gdzie częstotliwo ść, f, jest funkcją jednej zmiennej (czasu cyklu chodu, T) i δT jest równe
(R. 16)
czasowi moŜliwej pomyłki o 1klatkę filmową : δ T=0,02s (dla częstotliwo ści filmowania
50Hz).
Błą d obliczenia pr ędkości chodu zale Ŝy od błędu precyzji połoŜenia markera oraz
3
korzystamy tutaj z przybliŜenia małych kątów, w którym trójkąt zb udowany n a wcześniej
zdefinio wanych odcinkach jest tró jkątem prostokątnym, n atomiast: sinα
α ≈ α;
4
metoda ró Ŝniczki zu pełn ej polega na wyliczen iu po chodnej cząstko wej po zlogarytmo waniu obustronnym
równ ania d efinicyjnego;
precyzji wyznaczenia charakterystycznych czasów chodu (dokładności pocię cia sekwencji
5
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl
6
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl
Sławomir Winiarski – Błędy metod y filmo wej pomia ru parametrów chod u – sla wo [email protected]
ruchu na cykle). Poniewa Ŝ pr ędkość chodu mo Ŝna obliczyć na przykład z iloczynu długo ść
kroku podwójnego i średniej czę stotliwości kroczenia (v=L* f), poszukiwany błą d wyniesie:
δv = f ⋅ δL + L ⋅ δ f ≅ 0,07 m\s ,
(R. 18)
dla długości kroku podwójnego L=1,4m, czę stotliwo ści chodu f=1,5 kr/s i δf=0,045kr/s.
Wyznaczając maksymalne błędy zwią zane z precyzją lokalizacji markera nale Ŝy
pamięta ć, Ŝe błąd przypadkowy umieszczenia markera i tym samym błędy przenoszone na
inne parametry biomechaniczne, są w znacznej mierze zmniejszone poprzez zastosowanie
procedury wygładzania przebiegów połoŜenia markera w czasie. Stopie ń zniwelowania błę du
zale Ŝy od metody wygładzania (doboru odpowiedniego filtru) i jest niemo Ŝliwy do
oszacowania.
7
Winiarski Sławomir Biom echaniczne parametry chodu człowieka po rekonstrukcji więzadła krzyŜowego przedniego
(monogra fia doktorska ). Akademia Wychowania Fizycznego we Wrocławiu, 2007. www. winia rski.awf.wroc.pl