M - Piotr Szurgott

Transkrypt

M - Piotr Szurgott

Płaskie układy obciąŜeń
Opis analityczny wielkości podstawowych
wersory
ex , ey
mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 — statyka
2
współrzędne punktów
A (x A , y A )
B (x B , y B )
2
współrzędne punktów
A (x A , y A )
B (x B , y B )
2
2
wektor siły P
2
wektor siły P
— zapis analityczny
P = Px ex + Py ey
2
wektor siły P
P = Px ex + Py ey
— składowe siły [N]
Px , Py
2
wektor siły P
P = Px ex + Py ey
— składowe siły [N]
Px , Py
— moduł (wartość) siły [N]
P = Px2 + Py2
2
promień r siły P
względem punkt B
2
promień r siły P
względem punkt B
r = rx ex + ry ey
— składowe promienia [m]
rx = x A − x B
ry = y A − y B
2
promień rO siły P
względem punkt O
2
promień rO siły P
względem punkt O
rO = rOx ex + rOy ey
— składowe promienia [m]
rOx = x A − x O = x A
{
=0
rOy = y A − yO = y A
{
=0
2
siła na płaszczyźnie opisana
jest przez 4 wielkości
Px , Py , x A , y A
lub
P ,α , x A , y A
α
— kąt kierunkowy prostej działania siły
tg α =
Py
Px
2
Moment siły względem punktu
2
β — kąt pomiędzy prostą działania siły P a promieniem siły
względem punktu B
2
momentem siły P
względem punktu B
nazywamy wektor
MB = r × P
2
moment M B
— wektor prostopadły
do płaszczyzny x y
— zwrot wektora zgodny
z regułą prawej dłoni
— wartość (moduł) wektora
M B = r P sin β
2
M B = r P sin β = P (r sin β ) = P a
a
— ramię siły P względem punktu B (najmniejsza odległość
prostej działania siły od punktu B)
2
Wartość momentu M B
nie zaleŜy od wyboru
punktu A na prostej
działania siły P
2
Zapis analityczny
momentu M B
M B = M Bz ez
— składowa momentu
M Bz = ± P a
— znak (+) odpowiada
momentowi działającemu
przeciwnie do obrotu
wskazówek zegara
2
2
Redukcja i równowaga płaskich układów obciąŜeń
Kolinearny (współliniowy) układ sił
2
2
redukuje się do wypadkowej, kolinearnej z układem sił
n
W = ∑ Pi = W x ex
i =1
n
W x = ∑ Pix
i =1
2
jest w równowadze, jeśli wypadkowa jest równa zeru
n
W =0
Wx = 0
∑ Pix
=0
i =1
Suma rzutów sił na oś x jest równa zeru
1 RRS (jedno równanie równowagi statycznej)
2
ZbieŜny układ sił
2
linie działania sił przecinają się w jednym punkcie
2
linie działania sił przecinają się w jednym punkcie
2
rozpatruje się w początku układu współrzędnych xy
2
redukuje się do wypadkowej o prostej działania
przechodzącej przez punkt zbieŜności układu
2
n
W = ∑ Pi = W x ex + Wy ey
i =1
n
W x = ∑ Pix
i =1
n
Wy = ∑ Piy
i =1
2
W = W x2 + Wy2
tg α =
Wy
Wx
2
jest w równowadze, jeśli wypadkowa jest równa zeru
W =0
Wx = 0
⇒
n
∑ Pix
=0
i =1
Wy = 0
⇒
n
∑ Piy = 0
i =1
Suma rzutów sił na oś y jest równa zeru
2 RRS (dwa równania równowagi statycznej)
2
Równoległy układ sił
2
2
2
2
linie działania sił są równoległe
2
redukuje się wstępnie do punktu O, do siły ogólnej S
i momentu ogólnego M O
2
siła ogólna S
n
S = ∑ Pi = S y ey
i =1
n
n
i =1
i =1
S y = ∑ Piy = ∑ (±Pi )
2
moment ogólny M O
n
M O = ∑ rOi × Pi = M Oz ez
i =1
n
M Oz = ∑ (±Pi ai )
i =1
2
jeśli S ≠ 0 to moŜemy znaleźć taki
biegun redukcji A, Ŝe w wyniku
otrzymamy tylko wypadkową W
W =S
W = Wy ey
Wy = S y
W =S
2
MO = W ⋅a = S ⋅a
a=
MO
S
2
jest w równowadze, jeśli siła ogólna jest równa zeru
i moment ogólny jest równy zeru
S = 0,
Sy = 0
⇒
MO = 0
n
n
i =1
i =1
∑ Piy = 0 , ∑ (±Pi ) = 0
M Oz = 0
⇒
n
n
i =1
i =1
∑ M i O = 0 , ∑ (±Pi ai ) = 0
Suma momentów względem punktu O jest równa zeru
2 RRS (dwa równania równowagi statycznej)
2
Dowolny układ obciąŜeń w płaszczyźnie xy
2
zbiór sił
(wektory liniowe)
P1, P2 , ..., Pn
i/lub
momentów par sił
(wektory swobodne)
M 1, M 2 , ..., M m
2
redukuje się wstępnie
do bieguna B,
do siły ogólnej S
i momentu ogólnego M O
2
siła ogólna S
n
S = ∑ Pi = S x ex + S y ey
i =1
n
S x = ∑ Pix
i =1
n
S y = ∑ Piy
i =1
2
moment ogólny M B
n
m
i =1
j =1
M B = ∑ ri × Pi + ∑ M j =
= M Bz ez
n
m
i =1
j =1
M Bz = ∑ (±Pi ai ) + ∑ (±M j )
2
2
jeśli S ≠ 0 , M B ≠ 0 to moŜna
wyznaczyć taki biegun redukcji A,
Ŝe w wyniku otrzymamy
tylko wypadkową W
W =S
W = W x ex + Wy ey
n
W x = S x = ∑ Pix
i =1
n
Wy = S y = ∑ Piy
i =1
2
MB = W ⋅a = S ⋅a
a=
MB MB
=
W
S
odległość a odkładamy z uwzględnieniem zwrotów S oraz M B
2
M B = Wy ⋅ r ' = S y ⋅ r '
r'=
MB MB
=
Wy
Sy
współrzędne punktu A'
x A ' = x B + r '

y A' = yB
2
M B = Wx ⋅ r " = S x ⋅ r "
r"=
MB MB
=
Wx
Sx
współrzędne punktu A"
x A" = x B

y A" = yB − r "
2
S = 0,
Sx = 0
⇒
MB = 0
n
∑ Pix
=0
i =1
Sy = 0
⇒
n
∑ Piy = 0
i =1
2
S = 0,
M B = M Bz = 0
⇒
MB = 0
n
n
m
i =1
i =1
j =1
∑ M i B = 0 , ∑ (±Pi ai ) + ∑ (±M j ) = 0
Suma momentów względem punktu B jest równa zeru
3 RRS (trzy równania równowagi statycznej)
2
jest w równowadze, jeśli
suma rzutów siła na oś x
jest równa zeru
suma rzutów siła na oś y
jest równa zeru
suma momentów względem
dowolnego punktu
jest równa zeru
n
∑ Pix = 0
 i =1
 n
∑ Piy = 0
 i =1
n
∑ M i B = 0
 i =1

Σ Pix = 0


Σ Piy = 0


Σ M i B = 0


Σ X = 0


Σ Y = 0


Σ M B = 0

3 RRS (trzy równania równowagi statycznej)
2

M - Piotr Szurgott

Transkrypt

Podobne dokumenty

karta przedmiotu

uniwersytet kazimierza wielkiego wydział matematyki, fizyki i

Uchwała nr 30/786/2011 Rady Wydziału Inżynierii Kształtowania

Podkładka Fibra

MASZYNY I URZĄDZENIA TECHNICZNE

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Gnieźnie

adiunkt 2015-01-27 00:00:00 - Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa

EG-AZBD-210 - EG System sklep