Parametry wektory zmiennych losowych

12DWRP - Parametry wektorów zmiennych losowych.
Definicja. 1. Niech h : R2 → R będzie funkcją.
Wtedy dla dyskretnych zmiennych losowych X i Y o wartościach x1 , . . . i y1 , . . .
XX
Eh(X, Y ) =
h(xi , yj )P (X = xi , Y = yj )
xi
yj
a dla ciągłych zmiennych losowych X i Y o gęstości łącznej f (x, y)
Z
+∞
Z
+∞
h(x, y)f (x, y)dxdy.
Eh(X, Y ) =
−∞
−∞
Definicja. 2. Kowariancją zmiennych losowych X i Y nazywamy wartość
Cov(X, Y ) = E((X − EX)(Y − EY )) = E(XY ) − EXEY.
Fakt. 1. Własności kowariancji:
a. Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y );
b. Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z);
c. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X);
d. Cov(X, X) = Var(X);
e. Jeśli zmienne X i Y są niezależne to Cov(X, Y ) = 0 (oraz E(XY ) = EXEY )
UWAGA: Implikacja w drugą stronę nie jest prawdziawa – patrz zadanie B.5.
Fakt. 2. Dla zmiennych X1 , . . . , Xn zachodzi:
a. E(X1 + . . . + Xn ) = EX1 + . . . + EXn ;
Pn
P
b. Var(X1 + . . . + Xn ) = i=1 VarXi + 2 i<j Cov(Xi , Xj );
Pn
c. Var(X1 + . . . + Xn ) = i=1 VarXi , jeśli X1 , . . . , Xn są parami niezależne.
Fakt. 3. Niech h1 , . . . , hn : R → R będą funkcjami oraz X1 , . . . , Xn będą niezależne. Wtedy zmienne h1 (X1 ), . . . , hn (Xn )
są niezależne.
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. W urnie znajdują się po 3 losy o wartościach: 1, 2. Losujemy kolejno bez zwracania 2 z nich. Niech X
będzie wartością na pierwszym losie a Y sumą wygranych. Oblicz
a) E(XY ), b) Cov(X, Y ), c) Var(X − Y ), d) E(4X − 5Y 2 + 20XY ).
Zadanie A.2. Gęstość łączna zmiennych losowych X i Y wynosi f (x, y) = x + y dla 0 < x, y < 1 i zero w przeciwnym
wypadku. Oblicz Cov(X, Y ) oraz E(24Y − 12X 2 + 6XY ).
Zadanie A.3. Wyznacz Cov(X, Y ), jeśli VarX = 3, VarY = 2, a Var(X + 2Y ) = 15.
Zadanie A.4. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają taki sam rozkład dwumianowy z parametrami n i p. Wyznacz
a) EX, VarX, EXY, Var(X + Y ),
b) E[(2X − 1)(Y − 1)], Cov(X, Y ), Var(2X − Y − 1), Cov(X + Y, X + 2Y ).
Zadanie A.5. Zmienne losowe Xi , i = 1, . . . , 4, są niezależne, każda o gęstości f (x) = 2x, 0 < x < 1 oraz f (x) = 0 dla
pozostałych x. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję ich sumy.
Zadanie A.6. Mamy hasło złożone z n różnych liter i generujemy losowo hasło będące dowolną permutacją danych n
liter. Jaka jest przeciętna liczba powtórzeń, tzn. miejsc, w których w obu hasłach jest ta sama litera ? Ile wynosi wariancja
zmiennej równej liczbie powtórzeń?
Zadanie A.7. Mamy do dyspozycji po 100 kul w kolorach; czerwony, zielony i niebieski. Wrzucamy po 3 z tych kul
do 100 urn tak, że wykorzystujemy wszystkie kule. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby urn z kulami w trzech różnych
kolorach.
1
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Gra polega na rzucie kostką, monetą i wylosowaniu 1 karty spośród 52 kart standardowej talii. Grający
otrzymuje $3 za każde oczko na kostce, $10 za orła na monecie i $1 za każdy punkt wartości karty (od 1 (dwójka) do 13
(as)). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wygranej.
Zadanie B.2. Losujemy ze zwracaniem jedną z talii 52 kart tak długo, aż wylosujemy wszystkie kolory (pik, kier, karo
i trefl). Znajdź wartość oczekiwaną liczby losowań.
Zadanie B.3. Rzucamy n razy kostką. Niech X oznacza sumę wyrzuconych oczek a Y liczbę wyrzuconych szóstek.
Wyznacz Cov(X, Y ).
Zadanie B.4. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład dyskretny dany wzorem P (X = x, Y = y) = (x + y)/12 dla x, y = 1, 2.
Oblicz E(XY ) oraz E(12X − 8Y 2 + 6XY ), Cov(X, Y ), E(X + 2Y ), Var(X + Y ).
Zadanie B.5. Rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej (X, Y ) dany jest wzorem:
P (X = j, Y = k) = 1/8 dla k, j = −1, 1; P (X = 0, Y = 0) = 1/2.
a) Wyznacz Cov(X, Y ).
b) Czy X i Y są zależne?
Zadanie B.6. W urnie jest 6 losów o wartościach: 1,1,1,1,2,2 . Losujemy z urny 2 losy jednocześnie. Niech X będzie
większą z wylosowanych wartości a Y sumą wartości wylosowanych losów. Oblicz Cov(X, Y ).
Zadanie B.7. Wyznacz Cov(X, Y ), jeśli
a) VarX = 3, VarY = 2, a Cov(X + 2Y, 2X + Y ) = 30;
b) Var(2X + 1) = 8, Var(X + Y ) = 10 oraz Cov(Y, 4Y + X) = 20.
Zadanie B.8. Oblicz E((X −Y )2 ), jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, a EX = EY = 5, VarX = VarY = 2.
Zadanie B.9. Załóżmy, że X1 , . . . , X4 są parami niezależne, każda o wartości oczekiwanej 6 i wariancji 1. Oblicz
a) Cov(X1 + X2 , X2 + X3 ), b) Cov(X1 + X2 , X3 + X4 ).
P5
Zadanie B.10. Wyznacz EX̄ i VarX̄, gdzie X̄ = 51 i=1 Xi , a X1 , . . . , X5 są niezależne, każda o gęstości f (x) = 4x3 dla
0 < x < 1 oraz f (x) = 0 dla pozostałych x.
Zadanie B.11. Oblicz k, jeśli wiemy, że X i Y są niezależne, VarX = k, VarY = 2, a Var(3X − Y ) = 20.
Zadanie B.12. Grupę 20 osób złożoną z 10 mężczyzn i 10 kobiet rozdzielono losowo na pary.
a) Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby par heterogenicznych.
b) Przypuśćmy, że ta grupa składała sie z 10 małżeństw. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby utworzonych
par, które okazały się małżeństwami.
Zadanie B.13. Na potrzeby loterii wyprodukowano 1000 kuponów, z tego 200 wygrywających. W pewnym miasteczku
50 osób kupiło po 2 kupony. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję osób spośród nich, które nic nie wygrały.
Zadanie B.14. Łucznik strzela do tarczy n razy. Za każdym razem trafia niezależnie za i (1 ¬ i ¬ 10) punktów z
prawdopodobieństwem 1/10. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję liczby punktów, które uzyska.
2