(2, −3, 4) , ⃗b=(1, 0, 1)

Wektory i ruch na płaszczyźnie
1. Dane są wektory ⃗
a =( 2, −3, 4) , ⃗b=(1, 0, 1) i ⃗c =( 2, −1, 2) . Oblicz:
a. iloczyn skalarny wektorów ⃗
d =2⃗a − ⃗
b i ⃗e =⃗
a −2 ⃗b+⃗c ,
b. kąt między wektorami ⃗
d i ⃗e .
2. Oblicz wektor siły 5 N prostopadłej do dwóch sił: F 1=3, −2, 4 N i F2 = 4, −3, −1  N.
3. Wektor ⃗
a tworzy z osiami OX i OY kąty równe odpowiednio 60° i 120°. Obliczyć jego współrzędne
wiedząc, że jego długość wynosi 2.
4. Równania ruchu dwóch punktów materialnych obserwowanych z danego układu odniesienia, są
następujące: ⃗r 1 =( 3t+t 2 , 2+t , 2t ) ; ⃗r 2 =( 1, 2t , 1+t ) .
Znaleźć:
a) prędkość i przyspieszenie punktu pierwszego,
b) prędkość punktu drugiego względem pierwszego,
c) przyspieszenie punktu drugiego względem pierwszego.
5. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostoliniowych i wzajemnie prostopadłych drogach w kierunku ich
przecięcia ze stałymi szybkościami v1 = 50 km/h i v2 =100 km/h. Przed rozpoczęciem ruchu pierwszy
samochód znajdował się w odległości s1 = 100 km od skrzyżowania dróg, a drugi w odległości s2 = 50 km od
ich przecięcia. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia ruchu odległość między samochodami będzie
najmniejsza?
6. Łódka przepłynęła rzekę prostopadle do jej idealnie równoległych brzegów. Jednocześnie prąd rzeki zniósł
łódkę o l = 100 m w swoim kierunku. Szerokość rzeki wynosi s = 200 m, natomiast prędkość łódki względem
wody v1 = 4 m/s. Wyznacz prędkość prądu rzeki vp oraz całkowity czas przeprawy łódki przez rzekę.
7. Łódź płynie z prądem rzeki z przystani A do B w czasie t1 = 3 godz., a z B do A w czasie t2 = 6 godz. Ile
czasu trzeba, aby łódź spłynęła z przystani A do B z wyłączonym silnikiem?
8. Prędkość łodzi względem wody w spoczynku wynosi v1. Woda płynie w rzece z prędkością v2. Jak należy
skierować łódź, aby przepłynąć rzekę w kierunku prostopadłym do brzegów? W jakim czasie łódź przepłynie
rzekę o szerokości s? Przyjmij, że v1 = 5 m/s, v2 = 3 m/s, s = 80 m.
9. Samolot leci z miasta A do miasta B, położonego względem A o s = 2160 km na wschód. Prędkość
samolotu względem powietrza wynosi v1 = 720 km/h. Obliczyć czasy przelotu: ta – przy bezwietrznej pogodzie
oraz tb – gdy na całej trasie wieje wiatr z południa na północ z prędkością v2 = 25 m/s.
10. Drabina oparta o ścianę zsuwa się z niej przesuwając jednocześnie swoje dolne podparcie po śliskiej
podłodze w kierunku od ściany. Po jakim torze (krzywej) będzie poruszało się wiaderko z farbą zawieszone na
jednym ze szczebli drabiny?