Matematyka - grupy 11,12,13 ZNP

Matematyka - grupy 11,12,13 ZNP
Lista nr 6 - Całki oznaczone, nieoznaczone, zastosowania
http://www.wmie.uz.zgora.pl/∼ mniedzie/materialy.html
Maciej Niedziela
1. Obliczyć podane całki nieoznaczone:
(a)
R
(x2 −1)3
x
dx;
R
(d) (x2 + 5)3 dx;
ctg 2 x dx;
(g)
R
(j)
Rq p √
x x x dx;
√
x2 − x
√
3x
(b)
R
(e)
R √
4
(h)
R
exp(3x)−1
exp(x)−1
(k)
R
2x −5x
10x
R
(c) (x2 − x + 1)(x2 + x + 1) dx;
dx;
3x dx;
dx;
dx;
(f)
R
x2 dx
;
1+x2
(i)
R
sin2
(l)
R
exp(−2x)−4
exp(−x)+2
x
2
dx;
dx.
2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
R
R
R
(a) x ex dx;
(b) x3 ex dx;
(c) arc tg x dx;
R
arc sin x dx;
(e)
R
(g)
R
ln x
x2
(h)
R
(j)
R
(k)
R√
dx;
log3 x dx;
(f)
R
x ln2 x dx;
dx;
(i)
R
ex cos x dx;
x ln x dx;
(l)
R
x3 ln2 x dx.
x2 ln x dx;
(d)
x
sin2 x
3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone:
√
(a)
R
x
(d)
R
ln x
x
(g)
R
(j)
R
(c)
R
exp(3x)
1+exp(6x)
(f)
R
cos x esin x dx;
dx;
(i)
R
x3
cos2 x4
dx;
(l)
R
dx
exp(x)+exp(−x) .
x dx
√
;
3
2x2 −1
1 + x2 dx;
(b)
R
dx;
(e)
R
5 sin x
3−2 cos x
sin5 x cos x dx;
(h)
R
exp( x1 )
x2
ln2 x
x
(k)
R
dx;
3
√x
1−x8
dx;
4. Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:
R
R
R
(a) x23x−4
dx; (b) 2x22x+6
dx; (c)
−x−6
+3x+1
(d)
R
dx
;
x2 +2x−1
(e)
R
5+x
10x+x2
(g)
R
x2
5x2 +12
(h)
R
5x
2+3x
(j)
R
x4
x2 +1
(k)
R
72x6
3x2 +2
dx;
dx;
dx;
dx;
dx;
4x−5
2x2 −5x+3
(f)
R
2x−1
x2 −2x+5
(i)
R
2x2 +7x+20
x2 +6x+25
dx.
5. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:
1
dx;
dx;
dx;
dx;
(a)
R
dx
sin x ;
(b)
R
sin2 x cos x dx;
(c)
R
cos5 x
1+sin2 x
(d)
R
sin x cos 3x dx;
(e)
R
cos 2x sin 4x dx;
(f)
R
tg5 x dx;
(g)
R
sin3 x cos4 x dx;
(h)
R
sin2 x cos2 x dx;
(i)
R
cos x
sin8 x
(j)
R
cos3 x
sin2 x
dx;
dx;
dx.
6. Obliczyć podane całki oznaczone:
(a)
Re
(d)
R 1/2
(g)
Rπ
1
x ln xdx;
0
0
√ dx dx;
1−x2
x sin xdx;
(b)
R1√
(e)
(h)
(c)
R3
R2
(f)
R1
R2
(i)
R2
0
xdx;
dx
0 x2 +4 ;
dx
−1 1+ex ;
dx
2 1−x2 ;
dx
0 x2 +2x+5 ;
1
ln xdx.
7. Obliczyć wartość średnią funkcji :
(a) f (x) = x2 na przedziale [0, 2];
(b) g(x) = sin x na przedziale [0, π];
(c) h(x) = ln x na przedziale [1, e].

x+1
dla



1
dla
8. Niech f : [−1, 4] → R będzie funkcją określoną wzorem f (x) =
x−1
dla



2
x
dla
Rx
Wyznaczyć funkcję F określoną wzorem F (x) = −1 f (t)dt dla x ∈ [−1, 4].
−1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x≤2
2<x≤4
9. Obliczyć podane całki oznaczone:
(a)
R5
(d)
R1
(g)
R π/2
x
3 x2 −4
dx;
√ 2x−3
1/2 3+4x−4x2
0
dx;
(x + 1) cos x dx;
(b)
R −2
(e)
R2
(h)
R π/2
dx
−3 x2 +2x+1 ;
(c)
R 2/5
e2x
0 1+ex
(f)
R1
(i)
R π/2
0
dx;
sin 2x
cos3 x
dx;
dx
−2/5 4+25x2 ;
0
xe−x dx;
0
√ cos x
1+sin x
dx.
10. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
(a) y = x2 i y 2 = x;
(b) y 2 = x i x2 = 8;
(c) y = 2x3 i y 2 = 4x;
(d) y = x3 i y 2 = x;
(e) y 2 = 2x i x2 + y 2 − 4x = 0;
(f) y = x2 i 2x − y + 3 = 0;
(g) xy = 4 i x + y = 5;
(h) (x − 6)2 + y 2 = 36 i y 2 = 6x.
11. Obliczyć długości następujących łuków:
(a) y 2 = 4x3 , y > 0, 0 ≤ x ≤ 89 ;
(b) 9y 2 = 2x3 , 0 ≤ x ≤ 2;
(c) 3y 2 = 4x3 , 0 ≤ x ≤ 1;
√
(d) y = 2 x, A = (1, 2), B = (9, 6);
(g) y 2 = 2x − x2 , 0 ≤ x ≤ 1;
(h) y = 1 − ln cos x, 0 ≤ x ≤ π4 ;
(j) x = t2 , y = t − 31 t3 , 0 ≤ t ≤
√
3;
(k) x = a cos4 t, y = a sin4 t, a > 0, 0 ≤ t ≤ π2 ; .
2
12. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi:
(a) T : − π2 ≤ x ≤ π2 , 0 ≤ y ≤ cos x, Ox;
(b) T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ e−x , Oy;
(c) T : −1 ≤ x ≤ e, ln2 x ≤ y ≤ ln x, Ox;
(d) T : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤
√
x, Oy.
13. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:
√
(a) f (x) = x3 , 0 ≤ x ≤ 1, Ox;
(b) f (x) = 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, Oy;
(c) f (x) =
√
4 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1, Ox;
(d) f (x) =
√
x(1 − x3 ), 1 ≤ x ≤ 3, Oy.
2
14. Cena p pewnego towaru jest następującą funkcją podaży x tego towaru: p(x) = xe−x . Obliczyć
średnią wartość ceny tego towaru przy wzroście podaży od 4 do 8.
15. Do magazynu dostarczamy towar. Dostawa rozpoczyna się o godz. 10 (t = 0) i jej natężenie
w chwili t wynosi f (t) = 10 + te−t jednostek towaru na godzinę. Obliczyć, ile towaru zostanie
dostarczone do magazynu od początku dostawy do godz. 18 tego samego dnia.
16. Zysk z eksploatacji pewnego urzędzenia zakupionego do przedsiębiorstwa wynosi Z(t) = 40 − t2
tys. zł na rok, gdzie t oznacza czas eksploatacji mierzony w latach. Koszty związane z eksploatacją
urządzenia wyrażają się wzorem K(t) = t2 = 6t+4 tys. zł na rok. Obliczyć łączny zysk osiągnięty
z eksploatacji tego urządzenia.
17. Krzywa popytu zadana jest wzorem p = −x2 + 11, a krzywa podaży wzorem p = x2 − 4x + 5.
Wyznaczyć nadwyżkę (stratę) producenta i konsumenta.
3