Mechanika ośrodków ciągłych Zadania domowe, seria 11 Data
Transkrypt
Mechanika ośrodków ciągłych Zadania domowe, seria 11 Data
Mechanika ośrodków ciągłych Zadania domowe, seria 11 Data oddania: 14.05.2015 Paweł Kondratiuk 7 maja 2015 Zad. 1 Przy omawianiu prawa Torricellego i teoretycznym opróżnianiu√beczki wina na wykładzie pokazano, że prędkość wypływu wina z beczki jest równa (w przybliżeniu) 2gh, gdzie h jest wysokością lustra cieczy w beczce. Rozważ proces opróżniania beczki wina. Załóż, że proces jest quasistacjonarny, tj. w każdej chwili spełnione jest prawo Toricellego (z chwilową wysokością słupa cieczy). Powiąż prędkość wypływu z przy pomocy tej prędkością obniżania się lustra cieczy. Wyraź szybkość zmian wysokości lustra cieczy dh dt prędkości wypływu. Całkując otrzymane równanie z warunkiem początkowym h(t = 0) = h0 , znajdź czas opróżniania beczki o wysokości h0 = 2 m i średnicy R = 1 m przez otwór o średnicy 5 cm przy dnie. Jak zmieni się wynik, jeśli opróżnianie beczki nie będzie quasistacjonarne, tzn. nie będzie spełnione prawo Toriccellego (ale nadal będzie spełnione prawo Bernoulliego)? Wskazówka: weź pod uwagę niezerową prędkość cieczy przy lustrze, która była zaniedbana podczas wyprowadzania prawa Toricellego. Zad. 2 Rozważmy model Wszechświata, będący uogólnieniem modelu omawianego na wykładzie, zawierającego oprócz ’zwykłej’ materii ’ciemną energię’ o gęstości ρ0 , stałą w czasie i jednorodną w przestrzeni. W tym wypadku wyrażenie na ’energię’, wyprowadzone na wykładzie, zmieni się następująco M + M0 4π 2 1 = Ga (ρc − (ρ + ρ0 )), E = ȧ2 − G 2 a 3 gdzie M0 = (4/3)πρ0 a3 , ρ jest gęstością ’zwykłej’ materii, która spełnia równanie ciągłości, a ρc jest zdefiniowaną na wykładzie gęstością krytyczną. (a) Znajdź równanie opisujące zmianę ’energii’ w czasie Ė i pokaż, że warunek stałości energii implikuje następującą równość 4π Ḣ + H 2 = − G(ρ − 2ρ0 ) 3 (b) Czy taki Wszechświat może być stacjonarny (z czynnikiem skali niezależnym od czasu)? Kiedy tak się dzieje? Jak zinterpretujesz sytuację, w której 2ρ0 > ρ? (c) Rozważ następnie sytuację w której ρ0 < ρc /3. Pokaż, że jeśli w pewnej chwili 2ρ0 < ρ < ρc , to początkowo Wszechświat będzie się rozszerzał coraz wolniej, (ä < 0), jednak w pewnym momencie (jakim?) jego prędkość rozszerzania zacznie się zwiększać. Ostatnie obserwacje kosmologiczne pokazują, że proces taki ma miejsce również i w przypadku naszego Wszechświata. 1 Zad. 3 Ciecz doskonała obraca się w polu grawitacyjnym ze stałą prędkością kątową Ω tak, że prędkość w układzie laboratoryjnym ma postać u = (−Ωy, Ωx, 0). Znajdźmy powierzchnie stałego ciśnienia, a co za tym idzie (kładąc p = patm ) również kształt powierzchni wody w wirującym wiadrze. Zgodnie z prawem Bernoulliego wielkość p/ρ + 21 u2 + gz jest stała, a więc powierzchnia stałego ciśnienia spełnia równanie z = const − Ω2 2 (x + y 2 ). 2g Ale to oznacza, że poziom wody jest najwyższy w środku obracającego się wiadra. Co tu się nie zgadza? Jakie jest prawdziwe równanie powierzchni stałego ciśnienia i dlaczego?