Funkcje zmiennych losowych, wartość oczekiwana i wariancja

RAP – 10
Funkcje zmiennych losowych
1. Wyznacz rozkÃlad zmiennej losowej Y = cos( π2 X), jeżeli zmienna losowa X ma rozkÃlad dwumianowy.
2. Zmienna losowa Y = X 2 ma rozkÃlad zero-jedynkowy, tzn. P(Y = 0) = P(Y = 1) = 1/2. Wiadomo, że
FX (1/2) = 2/3, gdzie FX jest dystrybuanta, zmiennej losowej X. Wyznacz rozkÃlad zmiennej losowej X.
3. ZaÃlóżmy, że z kapelusza zawieraja,cego 20 losów wygrywaja,cych i 50 przegrywaja,cych losujemy kolejno 5
losów bez zwracania.
(a) Niech Wi oznacza zmienna, losowa, przyjmuja,ca, wartość 1, gdy i-ty los jest wygrywaja,cy, a wartość 0,
gdy jest przegrywaja,cy. Wi określamy dla i = 1, 2, 3, 4, 5. Znajdź rozkÃlady zmiennych losowych Wi .
(b) Niech X be, dzie liczba, losów wygrywaja,cych wśród wylosowanych. Jak zapisać X za pomoca, sumy 5
zmiennych losowych o takich samych rozkÃladach ?
4. Robimy serie, doświadczeń, zgodnie ze schematem Bernoulliego B(n, p). X oznacza liczbe, sukcesów, Y –
liczbe, porażek.
a) Jak wyznaczyć Y za pomoca, X ?
b) Przedstaw X jako sume, n zmiennych losowych o takich samych rozkÃladach.
5. Rzucamy n razy moneta,, w której orzeÃl wypada z prawdopodobieństwem p. Niech Y be, dzie różnica, liczby
wyrzuconych orÃlów i reszek. Podaj rozkÃlad zmiennej losowej Y . Znajdź taka, funkcje, g : R → R, że Y = g(X),
gdzie X jest pewna, zmienna, losowa, o rozkÃladzie dwumianowym.
6. Gramy w pewna, gre, , w której jest n etapów, w każdym prawdopodobieństwo wygranej wynosi p oraz
a) za wygrana, dostajemy 100zÃl, za przegrana, nic.
b) za wygrana, dostajemy 2zÃl, za przegrana, pÃlacimy 2zÃl.
Niech X oznacza Ãla,czna, wypÃlate, (może być ujemna). Zapisz X na kilka sposobów za pomoca, pewnych
zmiennych losowych o rozkÃladzie dwumianowym.
7. Rzucamy trzema kostkami. Niech X oznacza sume, wyrzuconych oczek. Przedstaw X za pomoca, sumy
trzech zmiennych losowych o takich samych rozkÃladach (podaj te rozkÃlady).
8. ZaÃlóżmy, że z kapelusza zawieraja,cego 20 losów wygrywaja,cych i 50 przegrywaja,cych losujemy kolejno ze
zwracaniem 5 losów. Jak zapisać X za pomoca, sumy 5 zmiennych losowych o takich samych rozkÃladach ?
Podaj te rozkÃlady.
9. Gramy w pewna, gre, , w której jest n etapów, w każdym prawdopodobieństwo wygranej wynosi p oraz w
każdym etapie za wygrana, dostajemy 4zÃl, za przegrana, pÃlacimy 1zÃl, a za wejście do gry pÃlacimy jednorazowo
100zÃl. Niech X oznacza Ãla,czna, nasza, wypÃlate, (może być ujemna). Zapisz X za pomoca,
a) dwóch zmiennych losowych o rozkÃladzie dwumianowym.
b) jednej zmiennej losowej o rozkÃladzie dwumianowym.
c) n zmiennych losowych o jednakowych rozkÃladach (podaj te rozkÃlady).
1
2
RAP – 11
Wartość oczekiwana, wariancja
1. Bilet kosztuje c zÃl, a prawdopodobieństwo, że pasażer zostanie skontrolowany wynosi 1/50. Kara za
jazde, na gape, powinna być taka, wielokrotnościa, ceny biletu, żeby pasażerowi nie opÃlacaÃlo sie, na dÃluższa, mete,
jeździć bez biletu. Jaka powinna być kara ?
2. ZaÃlóżmy, że prawdopodobieństwo zdania egzaminu z pewnego przedmiotu jest przy każdej próbie takie
samo i wynosi 1/3. Podchodzimy do egzaminu tak dÃlugo, aż go zdamy lub trzy razy oblejemy. Oblicz wartość
oczekiwana, i wariancje, zmiennej losowej, jaka, jest liczba prób zdania egzaminu.
3. Wyznacz a) EX, b) E(9 − 12 X), c) E(X(X − 1)), d) E(X 2 ), e) VarX, f) Var(1 − 3X), jeżeli X ma rozkÃlad
Poissona P(X = k) = e−λ λk /k! k = 0, 1, . . . (λ > 0).
4. Jaka jest wartość przecie, tna i wariancja zmiennej losowej o rozkÃladzie dwumianowym B(n, p) ?
5. Wykorzystuja,c znajomość wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej o rozkÃladzie dwumianowym,
oblicz wartość oczekiwana, i wariancje, Ãla,cznej wygranej w grze, w której jest n etapów, w każdym prawdopodobieństwo wygranej wynosi p oraz
a) za wejście do gry pÃlacimy 100zÃl, a za każda, przegrana, pÃlacimy 1zÃl.
b) za każda, wygrana, dostajemy 2zÃl, a za przegrana, pÃlacimy 3zÃl.
6. Mamy hasÃlo zÃlożone z n różnych liter i generujemy losowo hasÃlo be, da,ce dowolna, permutacja, danych n
liter. Jaka jest przecie, tna liczba powtórzeń, tzn. miejsc, w których w obu hasÃlach jest ta sama litera ?
7. Z kapelusza zawieraja,cego 20 losów wygrywaja,cych i 50 przegrywaja,cych wybieramy pie, ć losów. Oblicz,
korzystaja,c z sumy pewnych zmiennych losowych, wartość oczekiwana, liczby wycia,gnie, tych losów wygrywaja,cych, jeżeli wybieramy
a) kolejno ze zwracaniem,
b) kolejno bez zwracania.
8. Rzucamy trzema kostkami do gry. Oblicz wartość przecie, tna, sumy wyrzuconych oczek.
9. Oblicz wariancje, dla przewagi orÃlów nad reszkami przy n-krotnym rzucie obcia,żona, moneta,, dla której
prawdopodobieństwo wyrzucenia orÃla wynosi p. (,,Przewaga” może być ujemna.)
10. Zmienna losowa Y posiada dystrybuante, :


0 dla x 6 0
F (x) = x dla 0 < x 6 1


1 dla x > 1.
Oblicz wariancje, zmiennych losowych a) Y , b) Z = 2 − 13 Y .
11. ZaÃlóżmy, że zmienna losowa X ma rozkÃlad normalny standardowy N (0, 1), tzn. jej ge, stość wyraża sie,
wzorem
1 −x2
f (x) = √ e 2 ,
x ∈ R.
2π
Wyznacz EX.
12. Korzystaja,c z poprzedniego zadania, wyznacz EX dla zmiennej losowej X o rozkÃladzie normalnym
N (α, σ) gdzie σ > 0, czyli o ge, stości
−(x−α)2
1
g(x) = √ e 2σ2 ,
σ 2π
13. Dana jest ge, stość zmiennej losowej X:
fX (x) =
(
x ∈ R.
0 dla x 6 0
2e−2x dla x > 0.
Oblicz wartość oczekiwana, zmiennych: a) X, b) Y = X 2 .