Pobierz - Publio

spis treœci
MATEMATYKA DAWNIEJ I DZIŒ
4 Dlaczego mechanik potrzebuje geometrii?
– czêœæ 1 § Alfred Zmitrowicz
11 Historia (nie)Naturalna Rozumu Ludzkiego
na przyk³adzie niejakiego Hieronima
§ Tadeusz Wibig
22 Geometria i sztuka. Szkic 7: Wielok¹ty foremne
– czêœæ 3 § Miros³aw L. Majewski
NAUCZANIE MATEMATYKI
17 O odwadze bycia nowoczesnym (artyku³
promocyjny)
18 W ogrodzie wieloœcianów. Wycieczka 3. Co mo¿e
przyjœæ z krojenia czworoœcianu foremnego
§ Jan Baranowski
SZKO£A PODSTAWOWA I GIMNAZJUM
13 Jak dodaæ do siebie nieskoñczenie wiele liczb
§ Monika Bolanowska
33 Zadania dla kó³ek matematycznych w SP
§ Augustyn Ka³u¿a, Ewa Weso³owska-Wnêk
36 Sprawdzian porównawczy litewskich
ósmoklasistów § Monika Bolanowska
LICEUM
2 Matura 2014 oczami uczniów
30 Analogiczne odcinki § Stefan Mizia
41 Matematyka dla Myœl¹cych – czêœæ 2 § Jaros³aw
Wróblewski
47 Fizyczne k³opoty z matematyk¹ – czêœæ 4. Znów
optyka geometryczna – soczewki ca³kiem cienkie
§ Bogna Barycka
KONKURS ZADANIOWY
55 Zadania konkursowe
56 Wyniki konkursu zadaniowego (zeszyt 8/2013)
57 Rozwi¹zania zadañ
Drodzy
Czytelnicy
M
atura z matematyki ju¿ za nami.
W tym roku wzbudzi³a ona silniejsze emocje ni¿ w latach
ubieg³ych. Dlaczego? Otó¿ uczniowie zd¹¿yli ju¿ siê przyzwyczaiæ do tego, ¿e jest ona
schematyczna i do pewnego stopnia przewidywalna – wystarczy „trzaskaæ” du¿o typowych zadañ, by mieæ nadziejê na dobry wyniki. Tymczasem wielu z nich czeka³o na
pocz¹tku maja niezbyt mi³e zaskoczenie –
matura by³a trudniejsza, ni¿ mo¿na by³o siê
spodziewaæ. Trudniejsza przede wszystkim
ze wzglêdu na innoœæ zadañ. Nic dziwnego,
¿e pojawi³o siê wiele uczniowskich komentarzy, z których wybór prezentujemy w tym
numerze. Czy naprawdê wyniki bêd¹ tak s³abe, jak obawia siê wielu maturzystów? Zobaczymy, a ja przypominam, ¿e wra¿enia
egzaminatorów maturalnych bêdzie mo¿na
znaleŸæ we wrzeœniowym numerze „Matematyki”.
Anonsujê te¿ rozpoczêcie kolejnego po
„Matematyce dla Myœl¹cych” cyklu zadaniowego – tym razem bêd¹ to listy zadañ dla
kó³ek matematycznych w szkole podstawowej, inspirowane doœwiadczeniami wybitnego wroc³awskiego dydaktyka Augustyna
Ka³u¿y. Mam nadziejê, ¿e przydadz¹ siê one
nauczycielom, którzy pracuj¹ z uczniami nieboj¹cymi siê wyzwañ.
BIBLIOGRAFIA
63 £amanie g³owy zapa³kami § Zuzanna Simon
CZASOPISMO
DLA NAUCZYCIELI
NUMER 6 CZERWIEC 2014 407 (LXVII)
indeks 365149 Nak³ad 4640 egz. CENA z³ 18,50 (VAT 5%)
Pismo wydawane przy wspó³pracy POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO
Czasopisma
Pedagogiczne
Redakcja Jan Kraszewski (redaktor naczelny), Monika Bolanowska (sekretarz redakcji), Agnieszka Wojciechowska (redaktor dzia³u mat.), W³odzimierz
B¹k (redaktor dzia³u zadaniowego), Jacek Milewski (redaktor graficzny); Adres redakcji 50-384 Wroc³aw, pl. Grunwaldzki 2/4, tel. 71 377 28 20,
([email protected]). Wydawca Dr Josef Raabe Spó³ka Wydawnicza Sp. z o.o. PL - 01-194 Warszawa, ul. M³ynarska 8/12, tel. 22 244 84 00,
faks 22 244 84 20, [email protected], www.raabe.com.pl, NIP: 526-13-49-514, REGON: 011864960. Zarejestrowana w S¹dzie Rejonowym dla
m. st. Warszawy w Warszawie, XII Wydzia³ Gospodarczy KRS, KRS 0000118704, wysokoœæ kapita³u zak³adowego: 50 000 PLN; Prezes zarz¹du Anna
Gryczewska; Dyrektor wydawniczy Józef Szewczyk, tel. 22 244 84 70, ([email protected]); Dzia³ obs³ugi klienta / prenumerata
tel. 22 244 84 11, faks 22 244 84 10, [email protected]; Dzia³ sprzeda¿y tel. 22 244 84 55, faks 22 244 84 76; Reklama Andrzej Idziak,
tel. 22 244 84 77, faks 22 244 84 76, tel. kom. 692 277 761, ([email protected]); Sk³ad i ³amanie Sigma, ul. Rac³awicka 11/1B 53-149 Wroc³aw,
tel. 71 361 27 41; Rysunki wewn¹trz numeru Ewa Karolczak; Druk i oprawa Pabianickie Zak³ady Graficzne SA, ul. Piotra Skargi 40/42,
95-200 Pabianice. Redakcja nie odpowiada za treœæ p³atnych og³oszeñ, autorów prosimy o podawanie adresu elektronicznego lub numeru telefonu.
Zapraszamy do odwiedzenia naszej strony w Internecie www.edupress.pl
Na stronie tej mo¿na pobraæ spis treœci rocznika 2011
liceum
Analogiczne
odcinki
n STEFAN MIZIA
T
ym razem proponujê kilka zadañ
zwi¹zanych z poszukiwaniem tzw.
analogicznych odcinków. Tak nazwa³em odcinki posiadaj¹ce jednakowe
w³asnoœci. Niektóre z nich maj¹ swoje
nazwy np. wysokoœci w trójk¹cie czy
œrodkowe. Odcinków analogicznych mo¿e
byæ wiele. Zagadnienie polega na znalezieniu równych odcinków analogicznych.
Najprostsze przypadki to np. trójka
odcinków ³¹cz¹cych œrodek okrêgu opisanego z wierzcho³kami trójk¹ta, b¹dŸ
odcinki ³¹cz¹ce œrodek okrêgu wpisanego w trójk¹t z odpowiednimi punktami
stycznoœci.
W zaproponowanych zadaniach znajdziemy kilka dalszych, ju¿ nie tak oczywistych przyk³adów.
Wykazaæ, ¿e równymi sobie odcinkami analogicznymi s¹ odcinki ³¹cz¹ce
rzuty prostok¹tne spodków wysokoœci
trójk¹ta na s¹siednie boki.
Rozwi¹zanie. Niech H3 bêdzie spodkiem
wysokoœci opuszczonej na bok AB,
a punkty M3 i N3 jego rzutami odpowiednio na boki BC i AC. Zauwa¿my, ¿e na
czworok¹cie H3M 3CN 3 mo¿na opisaæ
okr¹g (v H 3 M 3 C + v H 3 N 3 C = 180°)
o œrednicy CH3. Rozwa¿my k¹ty w trójk¹cie DN3M3C. Mamy
30
vN3M3C = 90° - vN3M3H3 =
= 90° - vN3CH3 =
= 90° - (90° - a) = a,
vN3CM3 = g oraz vCN3M3 = b
(gdzie, jak zwykle, a, b i g oznaczaj¹ odpowiednie k¹ty w D ABC). Oznacza to, ¿e
trójk¹ty D ABC i D N3M3C s¹ podobne.
Zatem stosunek promieni okrêgów opisanych na tych trójk¹tach równy jest skali
podobieñstwa. Otrzymujemy st¹d
&+ 0 1
=
5
$%
Po przekszta³ceniach otrzymujemy
$% ¢ &+ 6
= 5
5
gdzie S i R to pole trójk¹ta ABC i d³ugoœæ
promienia okrêgu opisanego na tym trójk¹cie. Wynika st¹d, ¿e d³ugoœci wszystkich analogicznych odcinków M 1N 1 ,
M2N2 oraz M3N3 s¹ jednakowe.
0 1 =
matematyka
liceum
Z dwóch wierzcho³ków trójk¹ta prowadzimy dwusieczne k¹tów zewnêtrznych tak, ¿e obie s¹ po jednej stronie
wspólnego boku. Trzeci wierzcho³ek rzucamy prostopadle na te dwusieczne. Wykazaæ, ¿e odleg³oœæ tych rzutów jest sta³a,
niezale¿nie od tego, które dwa wierzcho³ki
weŸmiemy pod uwagê.
Wobec równoœci odcinków stycznych
mamy |AT1 | = |AT2 | = p. Pozosta³e odcinki analogicznie s¹ równe po³owie obwodu D ABC.
Rozwi¹zanie. Oznaczmy rzuty prostok¹tne wierzcho³ka C na odpowiednie dwusieczne przez T1 i T2. Przed³u¿my proste
CT1 i CT2 do przeciêcia siê z prost¹ AB
w punktach K i L. Zauwa¿my, ¿e trójk¹ty
D ACT1 i D T1KA oraz D CBT2 i D BT2L
s¹ parami przystaj¹ce (cecha kbk). Zatem
|KA| = |AC| = b oraz |BL| = |BC| = a. Zauwa¿my jeszcze, ¿e T1T2 jest lini¹ œredni¹ w trójk¹cie D KLC, sk¹d
./ D + E + F
77 =
=
=S
(po³owa obwodu trójk¹ta D ABC). Pozosta³e odcinki – analogicznie.
Wykazaæ równoœæ szeœciu analogicznych odcinków ³¹cz¹cych wierzcho³ki
trójk¹ta z punktami stycznoœci okrêgów
dopisanych z prostymi zawieraj¹cymi
boki trójk¹ta i przechodz¹cymi przez dany
wierzcho³ek trójk¹ta.
Rozwi¹zanie. Punkt stycznoœci z bokiem
BC oznaczmy przez T, a pozosta³e punkty
stycznoœci T1 i T2. Zauwa¿my, ¿e |BT| =
= |BT1| oraz |CT| = |CT2 |, st¹d
|AT1| + |AT2| = |AB| + |BT1| + |AC| + |CT2| =
= |AB| + |BT| + |AC| + |CT| =
= |AB| + |BC| + |AC| = 2p.
6/2014
Niech X bêdzie dowolnym punktem
wewn¹trz trójk¹ta ABC. Przez A1, B1, C1
oznaczmy rzuty prostok¹tne punktu X na
odpowiednie wysokoœci trójk¹ta. Wykazaæ, ¿e istnieje tylko jeden punkt X taki,
¿e analogiczne odcinki AA1, BB1 i CC1 s¹
równe.
Rozwi¹zanie. Poprowadzimy przez wierzcho³ki trójk¹ta proste równoleg³e do przeciwleg³ych boków otrzymuj¹c trójk¹t
A0B0C0 podobny do wyjœciowego. Wówczas d³ugoœæ odcinka AA 1 jest równa
odleg³oœci punktu X od boku B0C0. Analogicznie rozumuj¹c otrzymujemy, ¿e odcinki BB1 i CC1 s¹ równe odleg³oœciom
31
liceum
punktu X od pozosta³ych boków trójk¹ta
A0B0C0. Równoœæ |AA1| = |BB1| = |CC1|
zachodzi wówczas gdy punkt X jest
jednakowo odleg³y od boków trójk¹ta
A0B0C0, czyli gdy jest jego incentrum (tzn.
œrodkiem okrêgu wpisanego). St¹d teza.
Na koniec warto zwróciæ uwagê, ¿e
okr¹g Eulera daje doskona³¹ okazjê do
znalezienia wielu równych odcinków analogicznych. Przyk³adowo |M1E1| = |M2E2| =
= |M3E3|, czy te¿ |EH1| = |EH2| = |EH3|,
gdzie Mi oznaczaj¹ œrodki boków, E i
to œrodki odcinków ³¹cz¹cych ortocentrum z wierzcho³kami, a punkt E jest œrodkiem odcinka OH (œrodek okrêgu Eulera),
i = 1, 2, 3. Mo¿e Czytelnicy wska¿¹ kolejne przyk³ady równych odcinków analoq
gicznych...?
STEFAN MIZIA
nauczyciel matematyki
Johannes Kepler (1571–1630)
matematyk, astronom i astrolog,
jedna z czo³owych postaci
rewolucji naukowej w XVII wieku.
n
Foremne wieloœciany gwiaŸdziste (wieloœcianów Keplera-Poinsota).
Trzy prawa astronomiczne opisuj¹ce ruch planet wokó³ S³oñca:
1. Ka¿da planeta Uk³adu S³onecznego porusza siê wokó³ S³oñca po orbicie w kszta³cie
elipsy, w której w jednym z ognisk jest S³oñce.
2. W równych odstêpach czasu promieñ wodz¹cy planety,
poprowadzony od S³oñca, zakreœla równe pola.
3. Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokó³ S³oñca do szeœcianu wielkiej pó³osi jej orbity jest sta³y dla wszystkich planet w Uk³adzie S³onecznym.
n
n Tablice Rudolfiñskie (Tabulae Rudolphinae) – katalog astronomiczny oparty na modelu heliocentrycznym.
Postulat Keplera:
Trójwymiarowe kule w trójwymiarowej przestrzeni najciaœniej da siê umieœciæ, gdy ich œrodki tworz¹ na p³aszczyznach przekroju szeœciok¹ty.
n
Model Keplera Uk³adu S³onecznego w oparciu o bry³y
platoñskie z Mysterium Cosmographicum.
n
32
matematyka