Algebra z geometrią, grupa 2

Matematyczne metody fizyki, kurs mały
Zestaw zadań nr 3
Zadanie nr 1:
Młode małżeństwo chce wziąć 20-letni kredyt w wysokości 95 000 PLN na zakup
i urządzenie mieszkania. Na jaką maksymalną stopę oprocentowania mogą sobie pozwolić,
jeżeli nie chcą, aby miesięczna rata spłaty kredytu przekroczyła 900 PLN.
Zadanie nr 2:
Dla logistycznego równania różnicowego przeprowadzić analizę stabilności punktów stałych.
Znaleźć równania, które spełniają małe odchylenia od punktów stałych, po czym rozwiązać te
równania i przedyskutować rozwiązania (czyli przeliczyć dokładnie to, co było na wykładzie).
Zadanie nr 3:
Zagadnienie ruchu klocka po gładkiej podłodze przymocowanego sprężyną do ściany
opisywane jest jednym z podanych równań. W każdym z przypadków:
(i)
Podać interpretację modelu fizycznego, który opisuje podane zagadnienie.
(ii)
Znaleźć rozwiązanie podanego zagadnienia różniczkowego
(iii)
Naszkicować wykresy zależności położenia u i prędkości ut klocka od czasu t.
(iv)
Narysować wykres zależności ut od u traktując czas t jako parametr.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
𝑢𝑡𝑡
𝑢𝑡𝑡
𝑢𝑡𝑡
𝑢𝑡𝑡
𝑢𝑡𝑡
+ 2𝑢 = 0, 𝑢 0 = 0, 𝑢𝑡 0 = 2.
1
+ 4 𝑢𝑡 + 2𝑢 = 0, 𝑢 0 = 0, 𝑢𝑡 0 = 2.
+ 𝑢 = 3 cos(2𝑡) , 𝑢 0 = 1, 𝑢𝑡 0 = 1.
+ 𝑢 = 3 cos 𝑡 , 𝑢 0 = 0, 𝑢𝑡 0 = 0.
1
+ 8 𝑢𝑡 + 𝑢 = 3 cos 𝑡 , 𝑢 0 = 2, 𝑢𝑡 0 = 0.
Zadanie nr 4:
W obwodzie szeregowym mamy kolejno kondensator 100 mikrofaradów, cewkę
o indukcyjności 1 milihenra, prądnicę 220 woltów/50 herców oraz opornik z regulacją
wartości oporu. Obliczyć na jaką wartość należy nastawić regulowany opornik,
aby w obwodzie płynął prąd o tej samej częstości, co wytwarzany przez prądnicę.
Opisać jak będzie ustalał się przepływ prądu w obwodzie.