niektóre oznaczenia val(f): wartosc przep lywu f cap(S, ¯ S

niektóre oznaczenia
val(f ): wartość przeplywu f
cap(S, S̄): pojemność cie, cia (S, S̄)
β ∗ : ulamkowa liczba skojarzeniowa
γ ∗ : ulamkowa liczba pokrycia wierzcholkowego
χ∗ : ulamkowa liczba chromatyczna
ω ∗ : ulamkowa liczba klikowa
P: macierz przejścia lańcucha Markowa
Fq : cialo o q elementach
∑
∑
β ∗ to maks. funkcji e∈E(G) xe t.że e:v∈e xe 6 1 dla każdego v ∈ V (G).
∑
∑
γ ∗ to minim. funkcji v∈V (G) xv t.że v:v∈e xv > 1 dla każdego e ∈ E(G).
∑
∑
ω ∗ to maks. funkcji v∈V (G) xv t.że v:v∈I xv 6 1 dla każdego zb.niez. I ⊆ V (G).
∑
∑
χ∗ to minim. funkcji I⊆V (G) xI t.że I:v∈I xI > 1 dla każdego v ∈ V (G), przy czym w obu sumowaniach wyste, puja, tylko zbiory niezależne.
niektóre twierdzenia
Twierdzenie 1. Jeżeli pojemności wszystkich krawe, dzi sieci sa, calkowite, to istnieje maksymalny
przeplyw, którego wszystkie wartości na krawe, dziach sa, calkowite.
Twierdzenie 2. W każdej sieci max val(f ) = min cap(S, S̄) .
f
(S,S̄)
Twierdzenie 3. (O dualności) Jeśli wektor x maksymalizuje f (x) = cT x w obszarze Ax 6 b, a wektor
y minimalizuje g(y) = bT y w obszarze AT y > c, to f (x) = g(y) .
Twierdzenie 4. β ∗ (G) = γ ∗ (G) i ω ∗ (G) = χ∗ (G).
(k)
(k)
Twierdzenie 5. Jeśli P(k) = [pij ], gdzie pij oznacza prawdopobieństwo przejścia ze stanu i do j w k
(k)
krokach, to P(k) = Pk . Jeśli ponadto ρi
to ρ(k) = ρ(0) P(k) = ρ(0) Pk .
= P r(Xk = i) (tzn. wektor ρ(k) jest rozkladem zmiennej Xk ),
Twierdzenie 6. (Twierdzenie ergodyczne) Skończony, nieprzywiedlny i nieokresowy lańcuch Markowa
posiada dokladnie jeden rozklad stacjonarny (πj ) oraz pij (n) → πj przy n → ∞, dla wszystkich i, j.
Twierdzenie 7. Jeżeli πi pij = πj pji dla wszystkich i, j oraz (πi ) jest rozkladem prawdopodobieństwa,
to (πi ) jest rozkladem stacjonarnym lańcucha Markowa (i lańcuch ten nazywamy odwracalnym).
Twierdzenie 8. Moc każdego skończonego ciala jest pote, ga, liczby pierwszej. Dla każdej liczby pierwszej
q i naturalnej liczby n istnieje cialo o mocy q n .
Twierdzenie 9. Jeżeli kod C ⊆ Fnq o rozste, pie 2t + 1 jest doskonaly, to
t ( )
∑
n
n
q = |C|
(q − 1)j .
j
j=0
Twierdzenie 10. Jeśli macierz generuja,ca kodu dlugości n ma postać G = [Ik , M ] to [−M T , In−k ] jest
przykladowa, macierza, parzystości tego kodu. Ij oznacza macierz jednostkowa, j × j.