Matematyka dyskretna 2013/14 B 1. Indukcyjnie wykazać, że liczba

Nazwisko i imię (DRUKOWANYMI LITERAMI)
Nr albumu
Matematyka dyskretna 2013/14 B
1. Indukcyjnie wykazać, że liczba 26n+1 + 32n+2 jest podzielna przez 11 dla każdej liczby naturalnej n.
4
2. Indukcyjnie wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ­ 18 istnieją liczby naturalne x i y takie, że n = 4x + 7y.
4
3. Która z liczb 20143 + 19 i 20143 + 973 jest pierwsza? Dlaczego?
4
4. Rozwiązać równanie 139x ≡ 5 (mod 709), czyli rozwiązać równanie 139 x = 5 w Z709 .
4
5. Za pomocą algorytmu szybkiego potęgowania obliczyć 111214 (mod 97).
4
6. Wyznaczyć ciąg (an ), w którym a0 = 10/3, a1 = 19/3 oraz an = 4an−1 − 3an−2 + 4n−2 dla n ­ 2.
4
7. Dany jest ciąg rekurencyjny (an ), w którym a0 = 2, a1 = 5 i an = 5an−1 − 6an−2 + 3 dla n ­ 2. Za pomocą funkcji tworzącej
wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu.
8. Wykazać, że k
n
k
=n
n−1
k−1
7
6
, gdy n, k ∈ N.
9. Publicznym kodem Alicji i Bolka jest para (r, s) = (1189, 11) (i tylko oni wiedzą, że r = pq = 29 · 41). Bolek od Alicji otrzymał
informację L, której kodem jest C = 669. W roli Bolka wyznaczyć liczbę L.
7
10. Wyznaczyć liczbę całkowitych rozwiązań równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 60 takich, że: (a) x1 ­ 1, x2 ­ 2, x3 ­ 3,
x4 ­ 4, x5 ­ 5, x6 ­ 6; (b) x1 ­ −1, x2 ­ 0, x3 ­ 1, x4 ­ 2, x5 ­ 3, x6 ­ −4; (c) x1 < 10, x2 ­ 0, x3 ­ 0, x4 ­ 0, x5 ­ 0,
x6 ­ 0.
4
2
11. Wyznaczyć drzewo T , którego kodem Prüfera jest ciąg C(T ) = (6, 1, 2, 2, 7, 8, 4, 3, 4, 4).
5
6
7
8
1
2
3
4
9
10
11
12