2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ

Transkrypt

2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi
WYŻSZeJ
2.1. eLipSOiDA OBrOtOWA JAKO pOWierZcHNiA ODNieSieNiA
2.1.1. elementarne związki pomiędzy parametrami elipsoidy
Elipsoida obrotowa spłaszczona jest następną po geoidzie powierzchnią odniesienia
przybliżającą kształt Ziemi. Elipsoida jest powierzchnią, którą można opisać analitycznie (geoidy nie). Powierzchnia ta została wprowadzona w geodezji po to, aby w stosunkowo prosty sposób można było rozpatrywać związki matematyczne między elementami
sieci geodezyjnej zrzutowanej na powierzchnię elipsoidy i obliczać współrzędne punktów
sieci, by można było na podstawie sieci sporządzać mapy, odwzorowawszy uprzednio powierzchnię elipsoidy na płaszczyznę.
Rys. 2.1. Powierzchnie odniesienia: geoida i elipsoida
Zdefiniujemy najpierw kształt i rozmiary elipsoidy. Oznaczymy przez a dużą, równikową półoś elipsoidy, zaś przez b małą, biegunową półoś. Kształt elipsoidy określa się za
pomocą parametru zwanego spłaszczeniem elipsoidy. Spłaszczenie określimy jako:
31
Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej
f =
a −b
.
a
(2.1)
Niekiedy f nazywamy spłaszczeniem elipsy południkowej, tzn. takiej, jaka powstaje
w wyniku przekroju elipsoidy płaszczyzną zawierającą małą półoś b. Do oznaczenia
spłaszczenia używa się także litery greckiej α.
Mimośrody elipsoidy: ‘pierwszy’ e i ‘drugi’ e´ definiują następujące wzory:
e2 =
a 2 − b2
,
a2
e′2 =
a 2 − b2
.
b2
Satelitarne wyznaczenia spłaszczenia i dużej półosi elipsoidy ziemskiej, aproksymującej geoidę na obszarze całej Ziemi, dały następujące wyniki (Geodetic Reference System
1980, Moritz, 1984):
f = 298.257–1 ± 5×10–6,
a = 6 378 137 m ± 3 m.
Rys. 2.2. Elipsoida obrotowa
Dwa parametry liniowe (a,b) albo jeden parametr liniowy i jeden parametr kształtu,
a więc (a,f ), (a,e2), (a,e´2) itd., określają elipsoidę. Z definicji spłaszczenia można wyliczyć, że mała półoś elipsoidy GRS’80 wynosi b = 6 356 749 m, zaś różnica długości dużej
i małej półosi6 a – b = 21 358 m.
Można łatwo wykazać następujące, ważniejsze związki pomiędzy parametrami elipsoidy obrotowej:
a=
b
1− e
2
,
b = a 1 − e2 ,
f = 1−
b
= 1 − 1 − e2 ,
a
6
Zapamiętanie przybliżonych wartości: a ≈ 6 378 km, f ≈ 1/300, a – b ≈ 21 km daje pogląd na rozmiary
i kształt naszej Planety.
32
(2.3)
Elipsoida obrotowa
(1 − e 2 ) (1 + e′2 ) = 1,
e′2 =
e2
,
1 − e2
e2 = 2f – f 2,
e2 =
e′2
,
1 + e′2
e2 ≈ 2f .
Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej, wyrażone przez współrzędne prostokątne, podaje się zazwyczaj w postaci:
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1.
a2
b
(2.4)
Wprowadziwszy oznaczenia:
τ=
a2
= 1 + e′2
b2
albo
τ −1 = 1 − e 2 ,
(2.5)
równanie elipsoidy (2.4) będziemy często zapisywać w postaci:
x2 + y2 + τ z2 = a2 .
(2.6)
2.1.2. Układ współrzędnych geodezyjnych B, L
Współrzędne geodezyjne (krzywoliniowe) na powierzchni elipsoidy obrotowej
definiujemy analogicznie jak współrzędne naturalne [1.2.4]. Szerokość geodezyjna
B (0º÷±90º( SN ) to kąt, jaki tworzy normalna do elipsoidy z płaszczyzną równika geodezyjnego. Ten zaś jest kołem powstałym w wyniku przekroju elipsoidy obrotowej
płaszczyzną, do której oś obrotu elipsoidy jest prostopadła i która zawiera środek
elipsoidy O.
Prowadząc pęk płaszczyzn przez oś Oz (małą półoś b), uzyskamy przekroje o kształcie elips zwanych południkami geodezyjnymi. Kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną
południka początkowego zawierającego oś Ox i płaszczyzną południka zawierającego
E
punkt P nazywamy długością geodezyjną L (00÷360º( W) lub (0º÷±180º( EW). Południk geodezyjny jest linią stałej długości L = const. Linia stałej szerokości geodezyjnej (równoleżnik geodezyjny) B = const. jest kołem, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi Oz.
Równoleżnik, dla którego B = 0, to równik.
Promień równoleżnika łatwo wyliczymy ze współrzędnych prostokątnych, rzutując
punkt P na płaszczyznę równika
p = x2 + y 2 .
(2.7)
33
Rys. 2.3. Współrzędne geodezyjne i współrzędne prostokątne
2.1.3. przekroje normalne elipsoidy obrotowej i ich krzywizny
Normalna do elipsoidy w punkcie P leży w płaszczyźnie południka i przecina oś elipsoidy w punkcie OP (rys. 2.4). Ze względu na spłaszczenie biegunowe elipsoidy punkt OP
znajduje się po przeciwnej stronie równika niż punkt P.
Prowadząc przez normalną w punkcie P pęk płaszczyzn, otrzymamy przekroje normalne elipsoidy. W teorii powierzchni (np. Finikow, 1956) dowodzi się, że w każdym
punkcie powierzchni istnieją takie dwa wzajemnie prostopadłe przekroje normalne, których krzywe charakteryzują się ekstremalnymi krzywiznami. Nazywa się je przekrojami
w kierunkach głównych. Na powierzchni elipsoidy obrotowej, z wyjątkiem jej biegunów, są
to kierunki południka geodezyjnego (krzywizna maksymalna M –1) oraz kierunek wertykału
prostopadłego do południka, zwanego pierwszym wertykałem (krzywizna minimalna N –1).
Krzywiznę dowolnego przekroju normalnego o azymucie A można wyznaczyć na podstawie krzywizn w kierunkach głównych M –1, N –1, korzystając z twierdzenia Eulera
cos 2 A sin 2 A
.
+
M
N
Promień krzywizny południka M wyznaczymy na podstawie rysunku 2.4 jako:
RA−1 =
M=
34
ds
.
dB
(2.8)
(2.9)
Elipsoida obrotowa
Rys. 2.4. Promień krzywizny południka M
Wzór ten można łatwo przekształcić do postaci
1 dp
M=
,
sin B dB
(2.10)
uwzględniając ds wyrażone poprzez dp i dz. Wstawiwszy następnie (2.7) do równania elipsoidy (2.4) otrzymamy po zróżniczkowaniu i konfrontacji z rysunkiem 2.4:
dz
b2 p
=−
= − cot B.
dp
z a2
(2.11)
To ostatnie wyrażenie skojarzone z równaniem elipsoidy (2.4) pozwala zapisać promień
równoleżnika p w postaci:
p=
a cos B
1 − e 2 sin 2 B
,
(2.12a)
.
(2.13)
zaś współrzędną z jako:
z=
a (1 − e 2 ) sin B
1 − e 2 sin 2 B
We wzorze (2.10) występuje różniczka dp/dB, którą wyznaczamy z (2.12a). Po podstawieniu wyniku różniczkowania do (2.10) otrzymamy:
M=
a (1 − e 2 )
(1 − e 2 sin 2 B)3
.
(2.14)
35
Wyrażenie na promień równoleżnika (2.12a) daje podstawę do wyznaczenia promienia
krzywizny w pierwszym wertykale, jeśli skorzystamy z twierdzenia Meusniera (por. Finikow,
1956, str. 218) mówiącego, że promień krzywizny przekroju ukośnego, mającego wspólną
styczną z przekrojem normalnym, może być wyrażony przez zrzutowanie promienia krzywizny przekroju normalnego na kierunek promienia przekroju ukośnego. Wobec tego
oraz
p = N cos B ,
(2.12b)
(2.15)
N=
a
2
1 − e sin 2 B
Rys. 2.5. Promień krzywizny pierwszego wertykału N
Z porównania wzorów na M i N wynika, że N ≥ M. Zauważymy także, że na równiku
(B = 0) będzie:
b2
N0 = a ,
M0 = ,
a
na biegunach zaś
a2
(2.16)
=c
b
Powtarzające się wyrażenia w mianownikach wzorów (2.12÷2.15) oznaczymy przez
M90 = N90 =
W = 1 − e 2 sin 2 B ,
(2.17a)
a także wprowadzimy inne oznaczenie
V = 1 + e′2 cos 2 B .
(2.17b)
Wykorzystując te oznaczenia oraz (2.16), możemy zapisać wyrażenia na M i N zwięźle,
w postaci dogodnej do rachunków
36
Elipsoida obrotowa
M=
a (1 − e 2 ) c
= 3,
W3
V
N=
a c
= ,
W V
M=
N
.
V2
(2.18)
Cytowany wyżej wzór Eulera (2.8) daje podstawę do wyznaczenia średniego promienia
krzywizny RS jako granicy, do której dąży średnia arytmetyczna krzywizn wszystkich
przekrojów normalnych w rozpatrywanym punkcie. Tworząc sumę nieskończenie wielu
promieni krzywizny RA( 02π , otrzymamy RS w postaci średniej wartości całki
2
RS =
π
π
2
∫ N cos
0
2
M N
dA,
A + M sin 2 A
której rozwiązanie
RS = M N =
c
V2
(2.19)
daje proste wyrażenie dla zastosowań praktycznych. Wiele zagadnień geodezji wyższej rozwiązuje się za pomocą kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny RS.
2.1.4. Szerokość geocentryczna i szerokość zredukowana
Szerokością geocentryczną ψ nazywamy kąt, jaki tworzy promień wodzący punktu P
znajdującego się na powierzchni elipsoidy z płaszczyzną równika. Z rysunku 2.6 wynika,
że
z
tanψ = .
p
Uwzględniając (2.12) i (2.13) otrzymamy:
tan ψ = (1 – e2) tan B .
(2.20)
Szerokość geocentryczna pozwala wyrazić współrzędne prostokątne punktów leżących na
powierzchni elipsoidy przez współrzędne biegunowe
 x
 
 y = r
z
 
 cosψ cos L 


 cosψ cos L  .

 sinψ


(2.21)
Promień wodzący r = x 2 + y 2 + z 2 możemy zapisać inaczej, podstawiając (2.21) do
równania elipsoidy (2.4)
r=a
1 − e2
1 − e 2 cos 2 ψ
(2.22)
37
Rys. 2.6. Szerokość geocentryczna ψ i szerokość zredukowana β
Wzór 2.20 można przekształcić i otrzymać wzór przybliżony
B −ψ ≈
e2
sin 2 B,
2
(2.23)
przydatny do oszacowania różnicy
( B −ψ ) max( B = 45o ) ≈ 11.6′ ,
Szerokość zredukowaną β otrzymamy, rzutując punkt P prostą równoległą do osi Oz z powierzchni elipsoidy na kulę o promieniu a. Promień wodzący rzutu P∗ tworzy z płaszczyzną równika kąt β – szerokość zredukowaną. Z rysunku 2.6. wynika, że
tan β =
Po prostych przekształceniach otrzymamy
a2 − p2
.
p
tan β = 1 − e 2 tan B .
Różnica B – β wyrazi się w przybliżeniu przez
1
B − β ≈ e 2 sin 2 B.
4
Wobec tego B – β można oszacować
( B − β ) max( B = 45o ) ≈ 5.8′.
38
(2.24)
Elipsoida obrotowa
2.1.5. równania parametryczne elipsoidy obrotowej
Biorąc wzór (2.12):
p = N cos B ,
a następnie (2.13) i (2.15), napiszemy
z = N (1 – e2) sin B .
Wziąwszy ponadto wzór (2.7) możemy, patrząc na rysunek 2.3, napisać
x = p cos L ,
y = p sin L .
Powyższe stanowią podstawę równań
 cos B cos L 
 x


 
 y  = N  cos B sin L  ,
 τ −1 sin B 
z


 
τ −1 = 1 − e 2 ,
(2.25a)
zwanych parametrycznymi równaniami elipsoidy obrotowej.
Wprowadźmy jednostkowy wektor normalny elipsoidy n (zaznaczony na rys. 2.3)
 cos B cos L 


n =  cos B sin L  ,
 sin B 


(2.26)
oraz diagonalną macierz kształtu elipsoidy
F = diag(1, 1, τ).
Rys. 2.7. Współrzędne elipsoidalne przestrzenne B, L, H i współrzędne prostokątne x, y, z
Równanie parametryczne elipsoidy możemy teraz zapisać następująco:
39
 x
 
re =  y  = N F −1 n .
z
 
(2.25b)
Z rysunku 2.7 wynika, że
r = re +n H .
(2.27)
Zatem, znając współrzędne geodezyjne punktu B i L oraz wysokość elipsoidalną punktu H,
możemy znaleźć współrzędne prostokątne punktu P(x, y, z) określone wektorem wodzącym r.
Zadanie odwrotne, tzn. obliczenie współrzędnych geodezyjnych B, L, H na podstawie
współrzędnych prostokątnych x, y, z, zazwyczaj proponuje się rozwiązywać iteracyjnie
(zob. Heiskanen i Moritz, 1981, str. 183). Inne, bezpośrednie rozwiązanie tego zadania
podamy w [6.3.2], przy okazji prezentacji metod wykorzystania pomiarów satelitarnych
w zagadnieniach geodezji wyższej.
2.2. LiNiA GeODeZYJNA NA pOWierZcHNi eLipSOiDY
OBROTOWEJ
2.2.1. Linia geodezyjna a przekroje normalne
Normalne do powierzchni elipsoidy obrotowej w punktach P1, P2 są wichrowate, z wyjątkiem szczególnego wzajemnego usytuowania punktów (obydwa punkty znajdują się na tym
samym południku lub równoleżniku). Zatem płaszczyzny przekrojów normalnych z P1 do P2
i z P2 do P1 (tzw. wzajemnych przekrojów normalnych) i krzywe tych przekrojów z reguły
nie pokrywają się (rys. 2.8). Rozbieżność przekrojów normalnych ( α1′ − α1′′ ) może osiągać
0.02” dla s = 50 km i powinna być brana pod uwagę przy obliczeniach. Przy odległościach
mniejszych, rzędu 20 km, co miało miejsce w sieciach geodezyjnych zakładanych tradycyjnymi technikami obserwacji naziemnych, można było te rozbieżności zaniedbywać.
Rys. 2.8. Wzajemne przekroje normalne i linia geodezyjna
Nowe, satelitarne technologie wprowadziły do sieci geodezyjnych boki o długościach
kilkusetkilometrowych. W technologiach opracowania sieci tradycyjnych także wyliczano
‘łącznice’ długich łańcuchów triangulacyjnych osiągające ten sam rząd. Przy takich odległościach rozbieżności przekrojów normalnych prowadziłyby już do poważnych niejednoznaczności w definicji figur na powierzchni elipsoidy.
40
Linia geodezyjna
Stąd wyniknęła konieczność zdefiniowania linii łączącej jednoznacznie dwa punkty
na elipsoidzie. Jest nią linia geodezyjna – najkrótsza odległość dwóch punktów na powierzchni. Linia geodezyjna na pewnej powierzchni to taka linia, której normalna główna
w każdym punkcie ma kierunek normalnej do powierzchni. To samo można wyrazić poprzez warunek zerowej wartości krzywizny geodezyjnej κg , którą zapisujemy jako iloczyn
mieszany wektorów: r′, r″ i n
κg = (r´ × r″ ) ⋅ n = 0
(2.28a)
gdzie r´ oznacza wektor styczny do powierzchni, r″ oznacza wektor krzywizny (´ i ″ to symbole pierwszych i drugich pochodnych względem parametru naturalnego), n to wprowadzony
już wyżej wektor normalny do powierzchni (2.26). Przypomnijmy, że krzywizną geodezyjną
nazywa się krzywiznę rzutu prostokątnego krzywej na płaszczyznę styczną do powierzchni.
Warunek (2.28a) stanowi ogólny zapis własności linii geodezyjnej na dowolnej powierzchni i przedstawia sobą równanie różniczkowe drugiego rzędu. Mając na myśli elipsoidę obrotową, wprowadzimy do tego równania współrzędne geodezyjne B i L (L = L(B)
dla powierzchni obrotowej). Wynik takiego podstawienia ma postać:
3
d 2 B  2 dp 1 dM  dL
p dp  dL 
+
+
−
(2.28b)

 = 0.

dL2  p dB M dB  dB M 2 dB  dB 
Całkowanie tego równania prowadzi do ważnej własności linii geodezyjnej. Aby dokonać całkowania, trzeba najpierw wprowadzić podstawowe zależności różniczkowe dla
linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej. Rozpatrzmy zależności wynikające
z rysunku 2.9. Element łuku południka odpowiadający elementowi ds łuku linii geodezyjnej wyrazimy przez M dB. Odpowiedni element łuku równoleżnika to p dL = N cosB dL.
Z prostokątnego trójkąta elementarnego wynikają natychmiast dwa równania różniczkowe
pierwszego rzędu:
sin A
dB cos A
dL
(2.29a)
.
=
,
=
ds
M
ds N cos B
Rys. 2.9. Elementarny trójkąt na powierzchni elipsoidy
41
W wyniku całkowania równania (2.28b), wykorzystując równania (2.29a), otrzymamy
tzw. równanie Clairauta linii geodezyjnej
N cos B sin A = c = const.
(2.30a)
Równanie to wyraża własność linii geodezyjnej mówiącą o tym, że iloczyn promienia
równoleżnika (p = N cosB) i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest wielkością stałą dla
całej linii. Tę stałą można interpretować jako promień równoleżnika pc, do którego linia
geodezyjna jest styczna i ma azymut 90º (c = pc sin 90º = pc ).
dp
= cos A sin B
ds
Równanie Clairauta wyrażone poprzez szerokość zredukowaną β ma następującą postać:
Rys. 2.10.
a cosβ sin A = c.
(2.30b)
Trzecie równanie różniczkowe pierwszego rzędu względem parametru naturalnego s
(dla azymutu) otrzymamy różniczkując równanie Clairauta względem s. Posiłkując się
rysunkiem 2.10 otrzymamy
dA sin A tan B
=
.
(2.29b)
ds
N
Linię geodezyjną i wzajemne przekroje normalne charakteryzują następujące przybliżone wzory (odnoszące się do rysunku 2.8):
α1′ − α1 =
e2 s 2
cos 2 B1 sin 2α1 + ... ,
12a 2
(2.31)
s′ − s =
4 5
es
cos 4 B1 sin 2 2α1 + ... ,
360a 4
na których podstawie można wyliczyć:
42
Linia geodezyjna
s=
50 km
100 km
200 km
α´1 – α1
0.007″
0.028″
0.112″
S´ – s
2⋅10
–11
m
9⋅10
–10
m
2⋅10–8 m
2.2.2. trójkąty geodezyjne i ich rozwiązywanie
Trójkątem geodezyjnym nazywamy trójkąt na powierzchni elipsoidy obrotowej utworzony przez trzy łuki linii geodezyjnych. Pod pojęciem rozwiązywania trójkąta geodezyjnego rozumiemy obliczanie jego elementów na podstawie znanych trzech elementów,
w tym przynajmniej jednego boku oraz znanego położenia trójkąta na elipsoidzie.
Małe trójkąty geodezyjne, tzn. takie, których boki nie są dłuższe niż 90 km, można
rozwiązywać traktując je jako trójkąty położone na kuli o promieniu równym średniemu
promieniowi krzywizny, obliczonemu dla szerokości równej średniej arytmetycznej z wartości szerokości wierzchołków trójkąta. W celu rozwiązania trójkąta posługujemy się tzw.
twierdzeniem Legendre’a, które mówi, że mały trójkąt sferyczny można rozwiązać zamieniając go na trójkąt płaski, w którym długości boków pozostają niezmienione w stosunku
do odpowiednich długości na sferze, każdy kąt zaś jest zmniejszony o 13 tzw. nadmiaru
sferycznego.
Wyrażenie określające nadmiar sferyczny albo eksces sferyczny łatwo wyprowadzić pisząc wzory cosinusowe dla boków trójkąta sferycznego, wyznaczając cosinusy kątów z tych
wzorów, rozwijając sinusy i cosinusy w ich szeregi i sumując te szeregi. Wykorzystując
wzór wyrażający cosinus kąta w trójkącie płaskim, można łatwo wykazać, że suma kątów
sferycznych w trójkącie przewyższa 180º o wartość ε zwaną nadmiarem albo ekscesem
sferycznym, zaś każdy z kątów sferycznych jest większy od odpowiadającego mu kąta
1
płaskiego o 3 ε.
P
Nadmiar sferyczny ε = ∆2 , gdzie P∆ oznacza pole trójkąta, które można wyznaczać
R
jak dla trójkąta płaskiego w przypadku niezbyt dużych trójkątów. Oznacza to, że można się
posługiwać następującym wzorem:
ε=
b c sin A1
,
2R2
(2.32)
w którym b i c oznaczają boki trójkąta płaskiego, zaś A1 – kąt między nimi zawarty; R to
promień kuli, na której położony jest trójkąt.
Jeżeli mamy do czynienia z trójkątem, którego boki są dłuższe niż 90 km, w wyznaczeniu nadmiaru sferycznego musimy uwzględnić fakt, że powierzchnia trójkąta we wzorze
na ε powinna być obliczana dla trójkąta sferycznego, a nie płaskiego. Odpowiedni wzór,
odnoszący się do tzw. rozszerzonego twierdzenia Legendre’a, ma postać:

m2 
ε1 = ε 1 + 2  ,
 8R 
m2 =
a 2 + b2 + c2
.
3
(2.33)
43
Łatwo wykazać, że nadmiar sferyczny obliczony na podstawie tego wzoru będzie się
różnił nie więcej niż o 0.0005″ od wartości wyznaczonej ze wzoru (2.32), jeżeli boki trójkąta równobocznego nie przekraczają długości 90 km. Dokładność rachunku 0.001″ pozwala ograniczać się do pierwszej, uproszczonej wersji wzoru na ε aż do długości boków
trójkąta rzędu 200 km. Dla trójkątów o długościach boków tego rzędu – a może mieć to
miejsce w przypadku stosowania satelitarnych metod pomiaru w sieci – musimy uwzględnić ponadto różnice pomiędzy wartościami kątów sferoidalnych (utworzonych przez linie
geodezyjne na elipsoidzie) i sferycznych. Odpowiednie wzory do redukcji kątów sferoidalnych (A, B, C) na płaskie (A1, B1, C1) podajemy niżej.
m2 − a 2 
 nA − n 
 A1   A 
    ε εn  2 2  ε 

−
B
B
m
b
=
−
−
−

 nB − n  ,
 1  

3
60
12n
n − n 
C  C 
 m2 − c 2 
 C
 1  



n A , B ,C =
1
R
2
A , B ,C
,
n=
(2.34)
nA + nB + nC
.
3
Obszerniejszy opis przytoczonych wzorów można znaleźć w książce Szpunara (1982)7 .
Inną metodą stosowaną do rozwiązywania trójkątów sferycznych jest metoda additamentów (Soldnera). Zamiana trójkąta sferycznego na trójkąt płaski w tej metodzie polega
na pozostawieniu dwóch kątów sferycznych niezmienionych, zaś boki trójkąta płaskiego
uzyskuje się poprzez dodanie do boków trójkąta sferycznego tzw. additamentów liniowych
albo inaczej algebraicznych8. Idea metody jest bardzo prosta a wzory przejrzyste i dogodne
do obliczeń. Pisząc wzory sinusowe dla trójkąta sferycznego i płaskiego o dwóch takich
samych kątach, jak w trójkącie sferycznym, możemy następnie porównać lewe strony tych
wzorów:
a
sin
R = a1 .
b b1
sin
R
Rozwinięcie funkcji sinus w szereg daje podstawę do napisania następujących przybliżonych równości:
a1 = a −
a3
a5
+
+ ...
6 R 2 120 R 4
b1 = b −
b3
b5
+
+ ...
2
6 R 120 R 4
(2.35)
Wyprowadzenie wzorów podają Jordan i in. (1958) oraz Krasowskij (1952).
W odróżnieniu od additamentów logarytmicznych stosowanych dawniej, w czasach obliczeń za pomocą
logarytmów.
7
8
44
Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej
Trzeba pamiętać jednak, że metoda additamentów dotyczy trójkątów sferycznych,
a nie geodezyjnych. Aby można było z niej korzystać do rozwiązywania trójkątów na elipsoidzie o bokach znacznej długości (dochodzących lub przekraczających 200 km), należy
najpierw dokonać redukcji kątów, jakie tworzą linie geodezyjne na elipsoidzie będące bokami trójkątów, na kąty sferyczne. Można to zrobić za pomocą ostatniego członu wzorów
(2.34) podanych dla metody Legendre’a. Natomiast we wzorach (2.35) podaliśmy specjalnie drugi wyraz additamentu, aby wzory te mogły służyć do rozwiązywania dużych
trójkątów geodezyjnych.
Wielkie trójkąty geodezyjne nie mogą być rozwiązywane (z dokładnością zadowalającą w sieciach geodezyjnych) przez ich zamianę na trójkąty płaskie metodami omówionymi powyżej. Trójkąty o bokach dochodzących do 500 km i przekraczających tę wartość
można rozwiązywać przez specjalne odwzorowania powierzchni elipsoidy na powierzchnię sfery, wykorzystując np. odwzorowanie Bessela, omówione szczegółowo w podręczniku Warchałowskiego (1952), albo za pomocą geometrii przestrzennej, przez cięciwy
elipsoidy (Mołodenski, 1954).
2.3. OBLicZANie WSpÓŁrZĘDNYcH NA pOWierZcHNi
ELIPSOIDY OBROTOWEJ
2.3.1. Klasyfikacja metod
Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na powierzchni elipsoidy
obrotowej oraz azymutów i długości linii geodezyjnych nosi nazwę przenoszenia współrzędnych lub podstawowego zadania geodezji wyższej. Wyróżnia się dwa rodzaje problemu: tzw. zadanie wprost i zadanie odwrotne.
• Zadanie wprost dotyczy obliczenia współrzędnych geodezyjnych B2, L2 punktu P2
i azymutu (odwrotnego) A21 linii geodezyjnej, gdy znane są współrzędne geodezyjne B1, L1
punktu P1, długość linii geodezyjnej s12 oraz azymut (wprost) A12, pod jakim linia geodezyjna wychodzi z punktu P1.
• Zadanie odwrotne dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s12 łączącej na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P1(B1, L1) i P2(B2, L2) oraz obliczenie azymutów linii geodezyjnej (wprost i odwrotnego) A12 i A21.
W geodezji wyższej znane są liczne sposoby rozwiązywania podstawowych zadań. Można
podzielić je na pewne grupy, biorąc za podstawę podziału stosowaną metodę rozwiązania zadań, albo osiąganą dokładność obliczeń. To drugie kryterium podziału metod wiązano zazwyczaj z możliwością ich stosowania dla określonych odległości między punktami P1 i P2.
Mnogość powstałych niegdyś metod tłumaczy stopień skomplikowania zadań i ówczesna uciążliwość rachunków. Stworzono wiele algorytmów i różnych pomocy rachunkowych, zazwyczaj w formie tablic. W naszych czasach, z uwagi na automatyzację obliczeń, wiele klasycznych metod obliczania współrzędnych utraciło swoje dawne znaczenie.
Powstały nowe metody.
45
Najogólniej metody klasyczne obliczania współrzędnych można podzielić na cztery grupy:
1) Metody bezpośrednie polegające na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego
dwa punkty są punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej P1 i P2, a punkt trzeci
jest biegunem elipsoidy.
Rys. 2.11. Duży trójkąt geodezyjny
Rys. 2.12. Rzut trójkąta geodezyjnego
na sferę pomocniczą
W metodach bezpośrednich budowano zazwyczaj pomocniczą kulę o promieniu N1
lub a i środku w n1 (patrz oznaczenie na rysunku 2.12). Punkty P1 i B rzutowano na tę
kulę tak, aby niektóre elementy trójkąta pozostały niezmienione. Rozwiązywano trójkąt
sferyczny, a wyznaczone elementy przenoszono następnie na elipsoidę, uzyskując w ten
sposób ostateczne rozwiązanie zadania. Jako przykład mogą służyć metody Bessela z roku
1826 i Helmerta z roku 1880, w których trójkąt P1P2B został odwzorowany na kulę o promieniu a w taki sposób, aby szerokości zredukowane β (2.24) były równe szerokościom
na kuli. W odwzorowaniu azymutów zachowano wierność przez wykorzystanie równania
Clairauta dla linii geodezyjnej (2.30b). Zniekształceniu ulegają długość linii geodezyjnej
s i różnica długości geodezyjnych ∆L. Różniczki pierwszego rzędu na kuli (względem
długości σ odpowiadającej s) odpowiednie do (2.29) na elipsoidzie
46
dβ
= cos A ,
dσ
d λ ′ sin A
,
=
dσ cos β
można przekształcić do postaci:
ds = a 1 − e 2 cos 2 β dσ ,
dL = 1 − e 2 cos 2 β d λ '.
(2.36)
Całkowanie powyższych równań prowadziłoby do całek eliptycznych. Po rozwinięciu w szeregi, scałkowaniu wyraz po wyrazie, a następnie ‘odwróceniu’ szeregów wyprowadzono wzory do obliczeń metodą Bessela (zob. np. Warchałowski, 1952). Metoda
jest znana w wielu odmianach i można ją stosować dla bardzo dużych odległości, nawet
dochodzących do 20 tys. km.
Do grupy metod bezpośrednich można by także zaliczyć przedstawioną niżej metodę
Clarke’a-Robbinsa, a także metodę Levallois-Dupuy (zob. Śledziński, 1964).
2) Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre’a polegają na rozwinięciu
w szereg Maclaurina różnic ∆B, ∆L, ∆A względem parametru naturalnego, czyli długości
linii geodezyjnej s.
1  d 2B  2
 dB 
B2 − B1 = 
 s +  2  s + ... ,
2  ds  1
 ds  1
1  d 2L 
 dL 
L2 − L1 =   s +  2  s 2 + ... ,
2  ds  1
 ds  1
(2.37)
1  d2A
 dA 
A2 − A1 =   s +  2  s 2 + ... .
2  ds  1
 ds  1
Występujące w tych wzorach pochodne wyższych rzędów względem ds wyznacza
się przez różniczkowanie równań pierwszego rzędu (2.29a,b). Powolna zbieżność szeregów limituje ich wykorzystanie do odległości nieprzekraczających 150 km. W literaturze
można znaleźć wiele modyfikacji i usprawnień dotyczących rozwiązywania zadań obliczania współrzędnych za pomocą szeregów potęgowych, m.in. przez wykorzystanie metod
całkowania numerycznego.
Znana i powszechnie używana, szczególnie dla zadania odwrotnego, jest metoda średniej szerokości Gaussa, polegająca na wprowadzeniu do szeregów potęgowych Legendre’a
punktu o szerokości Bm , odpowiadającej punktowi znajdującemu się w połowie długości
linii geodezyjnej s pomiędzy punktami P1 i P2. Modyfikacja Gaussa daje krótsze szeregi
o szybszej zbieżności. Można tę metodę stosować dla odległości do 200 km. Dalej przedstawione są wzory metody średniej szerokości Gaussa z uwagi na jej powszechne stosowanie do rozwiązywania zadania odwrotnego w klasycznych naziemnych sieciach geodezyjnych, a także w niektórych algorytmach redukcji różnicowych obserwacji wykonywanych
w satelitarnym systemie GPS.
47
3) Metody wykorzystujące punkt pomocniczy. W przypadkach odległości kilkudziesięciu kilometrów pomiędzy punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej
s, trójkąt geodezyjny P1P2B jest bardzo ‘smukły’, gdyż dwa jego boki łączące punkty linii
geodezyjnej z biegunem mogą osiągać znaczne długości. Niekorzystne byłoby z uwagi na
dokładność rachunku stosowanie bezpośrednich metod rozwiązywania takiego trójkąta.
Rys. 2.13. Metoda punktu pomocniczego
Prowadząc przekrój normalny przez punkt P2, prostopadły do południka punktu P1,
otrzymamy mały prostokątny trójkąt P1 P2′ P2 , który rozwiązuje się na sferze o promieniu
Rs1 . Wyznaczenie boku u tego trójkąta pozwala na wyliczenie szerokości punktu
P1 P2′,Pktórą
2
można traktować jako przybliżenie poszukiwanej szerokości punktu P2. Poprawkę do takiej przybliżonej szerokości można dostatecznie dokładnie wyznaczyć z trójkąta P2′BP2 .
Dla wyznaczenia ∆L i ∆A21 buduje się pewien sferyczny trójkąt biegunowy.
Metoda punktu pomocniczego w wersji Clarke’a służy zazwyczaj do rozwiązywania
zadania wprost dla odległości do 30 km; w wersji Schreibera, połączona z szeregami potęgowymi, nadaje się do odległości 60 km, a nawet 120 km w zależności od rzędu wyrazów
(różniczek) wykorzystanych w szeregach potęgowych (trzeci lub czwarty rząd).
4) M.S. Mołodeński zaproponował obliczanie współrzędnych za pomocą cięciw elipsoidy (Mołodeński, 1954). Niekonwencjonalne, trójwymiarowe podejście Mołodeńskiego
wymagało nowych definicji podstawowych wielkości geodezyjnych. Odległością s12
dwóch punktów na elipsoidzie nazywa Mołodeński długość odcinka prostej-cięciwy elipsoidy przechodzącej przez te punkty. Azymutem geodezyjnym cięciwy (A12) autor metody
nazywa kąt dwuścienny, jaki tworzy płaszczyzna południka geodezyjnego punktu P1
z płaszczyzną wertykalną tego punktu zawierającą cięciwę P1P2. Mołodeński posługuje się
także odległością zenitalną cięciwy9. W konsekwencji tych definicji autor traktuje trójkąty
płaskie utworzone z cięciw elipsoidalnych jako trójkąty geodezyjne nowego typu.
9
Przypomnimy ten fragment wykładu, wykorzystując koncepcję Mołodeńskiego do wyznaczenia odchyleń
pionu na podstawie pomiarów satelitarnych GPS i niwelacji trygonometrycznej [6.7.3].
48
Rozwiązanie zadań wprost i odwrotnego w ujęciu Mołodeńskiego polega na rozwiązaniu trójkątów sferycznych Z1Z2B i Z1BK, przy czym K jest śladem cięciwy P1P2 na sferze
o promieniu jednostkowym zatoczonej w punkcie P1.
Rys. 2.14. Kula jednostkowa w punkcie P1 objaśnia metodę Mołodeńskiego
Wzory robocze, a także tablice do obliczania współrzędnych metodą Mołodeńskiego
(1954) podał Jeremiejew (1957). Zasługą Jeremiejewa jest także metoda wyznaczenia wielkości geodezyjnych – azymutów i długości linii geodezyjnej – na podstawie odpowiednich
wielkości uzyskanych metodą Mołodeńskiego poprzez wyliczenie współrzędnych tzw.
punktu średniego. Publikacje Mołodeńskiego i Jeremiejewa w tym zakresie stanowią łącznie metodę rozwiązania zadań wprost i odwrotnego, a więc słuszne wydaje się nazywanie
metody obu nazwiskami Mołodeńskiego-Jeremiejewa. Zmieniony, przystosowany do obliczeń komputerowych algorytm tej metody zawiera praca dyplomowa Hatowskiej-Życkiej
(1988).
2.3.2. Metoda clarke’a (zadanie wprost)
Rysunek 2.13 i zamieszczony wyżej ogólny opis metod punktu pomocniczego dają zasadniczy pogląd na ideę tej grupy metod. Metoda Clarke’a dla niewielkich odległości (do
30 km) była powszechnie stosowana w polskiej sieci do rozwiązywania zadania wprost.
Z tego powodu omówimy tę metodę nieco bardziej szczegółowo.
Dysponując współrzędnymi punktu P1, obliczamy średni promień krzywizny elipsoidy w tym punkcie R1 (wzór 2.19). Na kuli o takim promieniu rozwiązujemy mały prostokątny trójkąt sferyczny P1 P2′P2 , który powstał przez poprowadzenie przekroju normalnego w punkcie P2, prostopadłego do południka punktu P1. Aby skorzystać z twierdzenia
Legendre’a należy najpierw wyznaczyć nadmiar sferyczny w tym trójkącie ε (wzór 2.32).
Przyprostokątne u i v wyrażą się następująco:
49
2
u = s12 cos( A12 − ε ) ,
3
1
v = s12 sin( A12 − ε ).
3
(2.38)
Dodając do B1 kątową wartość 12 u możemy wyznaczyć średni promień krzywizny Mm
łuku południka2 P1 P2′ . Odniesiona do tego promienia wartość kątowa u wyznacza szerokość
v
w zadaniu wprost szerokości B2. Interesującą nas
B2′ punktu
− B2 =P1 P2′ , różną
B2′ . poszukiwanej
tan od
v2
2 M 2′ N 2′
tan B2′ . z prostokątnego trójkąta P2′BP2 , w którym
różnicę szerokości B2′ –− BB22 =Clarke wyznacza
2 M 2′ N 2′
mamy wcześniej wyznaczoną przyprostokątną
v. Pisząc wzór cosinusowy dla tego trójkąta, otrzymamy, po pewnych tożsamościowych przekształceniach trygonometrycznych,
następujący wzór:
v2
(2.39a)
tan B2′ ,
2
w którym v jest liniową wartością łuku P2′P2 . Sprowadzimy różnicę szerokości wyrażoną
tym wzorem do postaci kątowej wartości łuku na sferze o promieniu równym średniemu
promieniowi krzywizny w punkcie P2. Otrzymamy:
B2′ − B2 =
v2
tan B2′ .
2 M 2′ N 2′
Ostatecznie szerokość punktu P2 wyrazi się następująco:
B2′ − B2 =
B2 = B1 +
u
v2
−
tan B2′ .
M m 2 M 2′ N 2′
(2.39b)
(2.40)
Aby znaleźć odpowiednie związki dla wyznaczenia różnicy długości, Clarke ucieka się do
pewnej konstrukcji pomocniczej, którą objaśniamy za pomocą rysunku 2.15. Na sferze o promieniu R1 (średni promień krzywizny w punkcie P1) prowadzimy koło wielkie przez punkt P2
prostopadle do łuku P2′P2 . Koło to przetnie południk punktu P1 w punkcie T odległym o 90º
od punktu P2, gdyż punkt T jest biegunem łuku P2′P2 . Następnie budujemy trójkąt biegunowy
względem trójkąta sferycznego P2B2T, tzn. taki, który powstaje w wyniku zakreślenia łuków
na sferze z wierzchołków trójkąta P2B2T promieniem 90º. Zatem sumy odpowiednich kątów danego trójkąta (P2B2T) i odpowiednich boków trójkąta biegunowego wynoszą po 180º.
Komentarza wymaga kąt γ pomiędzy łukami P2B1 i P2T w punkcie P2. Wobec tego, że łuk P2T
jest równoległy do południka punktu P1, γ jest zbieżnością południków. Jak wynika z definicji
trójkąta biegunowego i z oznaczeń boków na rysunku 2.15, trójkąt ptb jest niewielkim trójkątem sferycznym, a zatem można go rozwiązać za pomocą twierdzenia Legendre’a. Sumując
kąty w tym trójkącie łatwo ustalimy, że jego nadmiar sferyczny wynosi
ε1 = B2′ P–2′ B2 ,
co mieliśmy już wcześniej wyrażone wzorem (2.39). Poprawiwszy kąty w trójkącie ptb,
1
v
+
sec( B2 o+ ε1 ).każdy, otrzymamy na podstawie wzoru sinusowego:
3
N 2′
1
v
sec( B2 + ε1 ).
L2 = L1 +
(2.41)
3
N 2′
50
B2 '
Rys. 2.15. Biegunowy trójkąt Clarke’a
Różnica długości pomiędzy punktami P1 i P2 została wyrażona w tym wzorze przez
wartość kątową łuku pierwszego wertykału ν zrzutowanego na płaszczyznę równika (stąd
N 2′ we wzorze 2.41).
Aby wyznaczyć azymut A21 (odwrotny), trzeba najpierw obliczyć wartość kąta zbieżności południków γ. Wzór wyrażający γ otrzymamy z trójkąta ptb za pomocą wzoru sinusowego w postaci:
1
γ = ( L2 − L1 ) sin ( B2′ − ε1 ) ,
(2.42a)
3
lub
2
(2.42b)
γ = ( L2 − L1 ) sin( B2 + ε1 ) ,
3
Wyznaczywszy kąt β w trójkącie P1 P2′P2 jako β = 90º – A12 + ε, po zsumowaniu kątów w horyzoncie punktu P2, otrzymamy:
(2.43)
2.3.3. Wzory clarke’a-robbinsa
A.R. Clarke zaproponował kilka podejść do problemu obliczania współrzędnych, azymutów i długości linii na powierzchni elipsoidy obrotowej. Jedno z nich przeszło do anglosaskiej literatury geodezyjnej jako tzw. najlepszy wzór Clarke’a dla zadania wprost (zob.
Bomford, 1971, s. 133). A.R. Robbins opublikował w roku 1962 wzory do rozwiązania
zadania odwrotnego korespondujące z ,,najlepszym wzorem Clarke’a” oraz pewną, nie51
wielką modyfikacją zadania wprost Clarke’a. W wielu krajach zachodnich i w niektórych
krajach rozwijających się przyjęto takie wzory Clarke’a-Robbinsa jako wzory standardowe
do obliczeń w sieciach geodezyjnych. Z tego powodu warto wzory te spopularyzować
w polskiej literaturze. Bomford (1971, s. 136) podaje, że wzory Clarke’a-Robbinsa zapewniają dokładność obliczeń 0.001×10–6 dla linii do 1600 km. Doświadczenia prowadzone
w ramach prac dyplomowych w Politechnice Warszawskiej nie w pełni potwierdzają takie
optymistyczne oszacowanie dokładności metody Clarke’a-Robbinsa.
Rysunek 2.12 będzie pomocny do prześledzenia sposobu wyprowadzenia wzorów
Clarke’a-Robbinsa. Przedstawia on rzut trójkąta geodezyjnego P1P2B na kulę pomocniczą
o promieniu N1. Azymut A12, kąt ∆L12 oraz bok 90º–B1 zostaną odwzorowane wiernie na
kulę. Pozostałe elementy trójkąta będą zniekształcone. Wprowadźmy za Robbinsem następujące oznaczenia:
h = e′ cos B1 cos A12 ,
(2.44)
g = e′ sin B1
oraz
θ=
s12
.
N1
(2.45)
Kąt środkowy σ odpowiadający długości łuku s12 przekroju normalnego elipsoidy możemy wyrazić przez:
 θ 2
θ3
θ4  2
θ 5  
σ = θ 1 + h 2 (1 − h 2 ) − gh(1 − 2h 2 ) −
h (4 − 17 h 2 ) − 3 g 2 (1 − 7 h 2 ) + gh   . (2.46)

6
8
120 
48  

(wyprowadzenie podaje się w obszernych wykładach geodezji w zakresie geometrii
elipsoidy np. Szpunar, 1982, s. 133–147).
Oznaczymy jeszcze dodatkowo ψ2 = 90º- δ2, a następnie, stosując wzór cosinusowy dla
sferycznego trójkąta P1 P2′B′ , otrzymamy:
sinψ 2 = sin B1 cos σ + cos B1 cos A12 sin σ.
(2.47)
Wzór sinusowy w tym samym trójkącie daje:
sin ∆L = sin σ sin A12 secψ 2 ,
′ = − cos B1 sin A12 secψ 2 = − cos B1 sin ∆L csc σ.
sin A21
(2.48)
Wyrażenie określające tanB2, w zależności od ilorazu promieni N1/r2 (r2 = P2′n1 ), szerokości B1 i B2 oraz mimośrodów elipsoidy, bywa wyprowadzane również tylko w obszernych wykładach geometrii elipsoidy (patrz także Szpunar, 1982, s. 116–134). Przytaczamy
potrzebne wzory za cytowanym źródłem, przekształcając je odpowiednio i dostosowując
oznaczenia do przyjętych przez Robbinsa.
N1
1
= 1 + e′2 (sinψ 2 − sin B1 ) 2 ,
2
r2
52
(2.49)

 N  sin B1 
tan B2 = tanψ 2 (1 + e′2 ) 1 − e 2  1 
.
 r2  sinψ 2 

(2.50)
Skojarzenie wzorów (2.47) i (2.48) daje, po pewnych przekształceniach tożsamościowych, wyrażenie pozwalające wyliczać wartości azymutów odwrotnych:
1
′ − ( B2 −ψ 2 ) sin A21
′ tan σ.
(2.51)
A21 = A21
2
W ten sposób mielibyśmy komplet wzorów Clarke’a, opracowanych przez Robbinsa
do rozwiązywania zadania wprost. Wzorom tym Robbins nadał taką postać, że zadanie
odwrotne można rozwiązywać odwróciwszy wzory (2.47) ÷ (2.51).
Zestawienie wzorów dla zadania odwrotnego rozpoczniemy od skompilowania wzorów (2.49) i (2.50) w taki sposób, aby następnie wyznaczyć z nich tan ψ2 w postaci:
tanψ 2 = (1 − e 2 ) tan B2 + e′2
N1 sin B1
.
N 2 cos B2
(2.52)
Korzystając z wzoru sin⋅cot dla kątów w trójkącie sferycznym P1 P2′B′ otrzymamy następujące wyrażenia:
cot A12 = (cos B1 tanψ 2 − sin B1 cos ∆L) csc ∆L ,
′ = (sinψ 2 cos ∆L − cosψ 2 tan B1 ) csc ∆L .
cot A21
(2.53)
Wzory (2.47 i (2.48), po pewnych przekształceniach, dają dwa wyrażenia na sin σ.
′.
sin σ = sin ∆L cosψ 2 csc A12 = − sin ∆L cos B1 csc A21
(2.54)
Powołując raz jeszcze na podręcznik Szpunara (1982, s.143) oraz korzystając z cytowanych oznaczeń Robbinsa (2.44), można sprawdzić, że wzór Robbinsa na s stanowi
wyrażenie długości łuku przekroju normalnego elipsoidy w funkcji kąta środkowego σ,
parametrów elipsoidy i usytuowania przekroju normalnego na elipsoidzie.
 σ2 2
σ5 
σ3
σ4 2
 h (4 − 7 h 2 ) − 3 g 2 (1 − 7 h 2 )  −
s = N1σ 1 −
h (1 − h 2 ) +
gh(1 − 2h 2 ) +
gh  .
6
8
120
48 

(2.55)
Należałoby jeszcze tylko przepisać wzór (2.51), wyrażający azymut odwrotny, aby
mieć komplet wzorów Clarke’a-Robbinsa do rozwiązania obu podstawowych zadań na
elipsoidzie obrotowej. Choć dawaliśmy temu wyraz kilkakrotnie objaśniając wzory, to jednak raz jeszcze podkreślmy, że w metodzie Clarke’a-Robbinsa posługujemy się przekrojami normalnymi elipsoidy, a nie liniami geodezyjnymi, co przy większych odległościach
pomiędzy punktami musi być wzięte pod uwagę przy obliczaniu azymutów i kątów, jak to
pokazują wzory (2.31).
53
2.3.4. Metoda ‘średniej szerokości’ Gaussa
C.F. Gauss zaproponował w roku 1846 metodę obliczania współrzędnych, polegającą
na wykorzystaniu szeregów potęgowych Legendre’a, ale nie w postaci (2.37), gdzie pochodne względem parametru naturalnego s odnosi się do punktu początkowego P1, lecz do
pewnego pomocniczego punktu Pm usytuowanego w połowie długości linii geodezyjnej.
Spłaszczenie elipsoidy sprawia, że współrzędne punktu Pm i azymut linii w tym punkcie są w ogólności różne od wartości średnich.
Bm ≠ B ,
B=
B1 + B2
,
2
Lm ≠ L ,
L=
L1 + L2
,
2
Am ≠ A ,
A=
A1 + A2
.
2
Rys. 2.16. Pomocniczy punkt Gaussa w połowie długości s
Rozwinięcie różnic B2 – Bm i B1 – Bm w szereg potęgowy według propozycji Gaussa
otrzyma postać:
2
2
3
3
 dB  s  d B  s  d B  s
B2 − Bm = 
+ 2 
+ 3 
+ ...

 ds  m 2  ds  m 8  ds  m 48
(2.56a)
2
2
3
3
 dB  s  d B  s  d B  s
B1 − Bm = − 
+
−
+ ....
 2 
 3 

 ds m 2  ds m 8  ds m 48
(2.56b)
Ustaliwszy, że wzrost wartości parametru s następuje w kierunku od P1 do P2, przyrost
s w kierunku PmP1 trzeba uznać jako ujemny. Znaki “–” przy wyrazach zawierających
nieparzyste potęgi s są tego konsekwencją. Wyrażenia analogiczne do (2.56) moglibyśmy
napisać dla L2 – Lm i L1 – Lm oraz dla A2 – Am i A1 – Am .
54
Tworząc różnice równań (2.56a) i (2.56b) oraz analogicznych równań dla długości
i azymutów otrzymamy:
 d 3 B  s3
 dB 
B2 − B1 =  dB  s +  d 3 B
 s 3 + ... ,
ds  m s +  ds3 3  m 24
B2 − B1 =  dB
d
B
s 3 + ... ,
3

24
B2 − B1 =  ds  m s +  ds

3 3  m 3 + ... ,
 dds
L  s24
 dL
ds 
L2 − L1 =  dL  m s + d 3 L3  m s 3 + ... ,
ds
ds
3


L2 − L1 =  dL  m s +  d L3  m 24
s 3 + ... ,
L2 − L1 =  ds  m s +  ds33  m 243 + ... ,
 ds
s
d Am 24
dA 
 ds
A2 − A1 =  dAm s + d 3 A
3 
 24
s 33 + ... .
ds
ds
3


A2 − A1 =  dA  m s +  d A

m


s + ... .
3
A2 − A1 =  ds  m s +  ds 3  m 24 + ... .
 ds  m
 ds  m 24
(2.57)
tworząc zaś sumy tych równań i dzieląc je przez 2 otrzymamy:
 d 2 B  s2
 d 2 A  s2
 d 2 L  s2
B − Bm =  2  + ..., L − Lm =  2  + ..., A − Am =  2  + ... .
 ds  8
 ds  8
 ds  8
(2.58)
Wystarczy rzut oka na wzory (2.57) i porównanie ich z wzorami (2.37), aby zauważyć, że
wzory Gaussa zawierają tylko pochodne nieparzystego rzędu; są więc niemal o połowę krótsze. Ponadto współczynniki przy odpowiednich pochodnych w tych wzorach są mniejsze.
Zasadniczy problem polega na wyznaczeniu wartości pochodnych w punkcie Pm, którego współrzędnych nie znamy. Z wzorów (2.58) wynika, że różnice B–Bm, L–Lm i A–Am
są wielkościami małymi drugiego rzędu względem B2–B1, L2–L1, i A2–A1. Toteż Gauss proponuje zastąpienie pochodnych w punkcie Pm rozwinięciem w szereg Taylora w otoczeniu
punktu P, zachowując tylko wyrazy pierwszego rzędu w tym rozwinięciu. Czyli, że
dB ∂  dB 
∂  dB 
 dB 
+
 ( Am − A) + . . . ,

 ( Bm − B ) +

 =

dA  ds 
 ds m ds ∂ B  ds 
dL ∂  dL 
∂  dL 
 dL 
+
  ( Am − A) + . . . ,
  ( Bm − B ) +
  =
ds
ds
∂
B
ds
dA
 ds 
 
 m
(2.59)
dA ∂  dA 
∂  dA 
 dA 
+
  =
  ( Bm − B) +
  ( Am − A) + . . . .
dA  ds 
 ds m ds ∂ B  ds 
Jeśli zróżniczkujemy wzory (2.29a,b) względem B i A, a wyniki różniczkowań podstawimy do (2.59), pozostaną nam jeszcze Lm i Am w różnicach (Lm – L), (Am – A). Zanim
te zastąpimy wyrażeniami (2.58), w których drugie pochodne powinny być wyznaczone
również w punkcie Pm, zauważmy, że aczkolwiek wyrażenia te są wielkościami małymi drugiego rzędu, to zaniedbaliśmy w nich wyrazy czwartego rzędu (wyrazy trzeciego rzędu wchodzą do wyrażeń (2.57)). Wobec tego pochodne w (2.58) wyznaczymy
w punkcie P, tzn.:
55
1  d 2B 
1 d 2B
 2  ≈
8  ds  m 8 ds 2
i analogicznie dla L i A. Tak samo mamy prawo podejść do pochodnych wyższych rzędów
(trzeciego i piątego) w punkcie Pm w wyrażeniach (2.57), zastępując je odpowiednimi
pochodnymi w punkcie P, czyli innymi słowy, obliczyć wartości tych pochodnych dla szerokości, długości i azymutu będących średnimi arytmetycznymi odpowiednich wartości
w punktach P1 i P2.
Tak więc, po wykonaniu opisanych różniczkowań, po podstawieniu wyników do wzorów
(2.59), a następnie podstawieniu tych wzorów do (2.57), po zastąpieniu w (2.57) pochodnych
wyższych rzędów w punkcie Pm pochodnymi w punkcie P, otrzymamy wyrażenia Gaussa dla
różnic (B2 – B1), (L2 – L1) i (A2 – A1). W ostatecznych wzorach zachowano generalnie wyrazy małe
3
3
 s  4
 s  2
czwartego rzędu, a także wyrazy zawierające   e , a nawet   e . Odrzucono zaś wyN
N
5
 s 
razy, w których pojawiły się   itd. Wzory można stosować dla s dochodzących do 200 km,
N
uzyskując dokładności obliczeń 0.0001” w szerokości i długości oraz 0.001” w azymucie.
W otrzymanych w ten sposób (na podstawie ogólnego zapisu (2.57)) wzorach zastosowano następujące oznaczenia:
b = B2 − B1 ,
η 2 = e′2 cos 2 B ,
l = L2 − L1 ,
t = tan B ,
a także V wprowadzone już wcześniej wzorem (2.17b). Ostateczne wzory mają następującą postać:
s
B2 − B1 = V 2 cos A (1 + ∆Φ ) ,
N
(2.60a)
1 b2 2
1
2
2
2 2
∆ Φ = l 2 cos 2 B (2 + 3t 2 + 2η 2 ) −
η
(
1
−
t
+
η
+
4
η
t
)
,
s 24
8V4
sin A (1 + ∆Λ ) ,
L2 − L1 =
N cos
s B
L2 − L1 =
sin A (1 + ∆Λ ) ,
N cos B
(2.60b)
1 2 2
1 b2
2
2 2
∆Λ = l sin B −
(1 + η − 9η t ) ,
4
24
24
1 2 2
1 Vb 2
(1 + η 2 − 9η 2t 2 ) ,
A2 − A1 = ( L2 − L1 )∆Λ
sin =B (1 +l∆sin
α), B −
24
24 V 4
A2 − A1 = ( L2 − L1 ) sin B (1 + ∆α ) ,
(2.60c)
1
1 b2
2
4
3
8
5
∆α = V 2l 2 cos 2 B +
(
+
η
+
η
)
.
4
12
24
1
1 Vb 2
∆α = V 2l 2 cos 2 B +
(3 + 8η 2 + 5η 4 ) .
4
12 zadania wprost
24 Vtrzeba
Przy rozwiązywaniu
stosować postępowanie iteracyjne, gdyż po
prawych stronach wzorów występują nieznane b i l. Wystarczy wyjściową wartość tych
wielkości pomierzyć na mapie topograficznej (± 5”), aby po dwóch krokach iteracyjnych
uzyskać wyniki z zadowalającą dokładnością.
56
Zadanie odwrotne można rozwiązać wzorami Gaussa po ‘odwróceniu’ tych wzorów.
Zauważmy, że można tego dokonać w bardzo prosty sposób10:
s=
( B2 − B1 ) N
( L − L ) N cos B
= 2 1
,
V (1 + ∆Φ ) cos A
(1 + ∆Λ ) sin A
2

 L − L 1 + ∆Φ 2
A = arctan  2 1
V cos B  .

 B2 − B1 1 + ∆Λ
(2.61)
(2.62)
Ze wzoru (2.62) obliczymy wartość A = 12 ( A1 + A2 ) , zaś ze wzoru (2.60c) obliczymy wartość różnicy azymutów ∆A = A2 – A1. Interesujące nas azymuty ‘wprost’ i ‘odwrotny’ będą
się wyrażały następująco:
1
A1 = A − ∆A,
2
1
A2 = A + ∆A .
2
(2.63)
Wynika stąd, że wzór (2.60c) trzeba dołączyć do trzech ostatnich, aby mieć komplet wzorów metody Gaussa dla zadania odwrotnego. Ta metoda najczęściej była stosowana właśnie do rozwiązania odwrotnego zadania geodezji wyższej.
2.3.5. Rozwiązanie zadania ‘wprost’ metodą całkowania numerycznego.
Algorytm Kivioja
Pośród kilku znanych metod obliczania współrzędnych punktu na elipsoidzie oraz azymutu odwrotnego linii geodezyjnej przez całkowanie numeryczne, metoda Kivioja (1971)
jest najprostszą, a zarazem dostatecznie skuteczną, aby można ją było stosować dla odległości nieprzekraczających 200 km, gdy dysponujemy komputerem osobistym średniej
klasy. Metoda polega na wykorzystaniu równań różniczkowych pierwszego rzędu dla linii
geodezyjnej (2.29a) oraz równania Clairauta linii geodezyjnej (2.30a). Sukcesywna realizacja tych związków dla niewielkich, np. jednokilometrowych, odcinków linii geodezyjnej
pozwala rozwiązać zadanie wprost. Jedynym ograniczeniem metody jest ‘zjawisko narastania błędów numerycznych’. Standardowa dokładność obliczeń za pomocą komputerów
osobistych typu IBM-PC umożliwia rozwiązanie zadania wprost, gdy długość linii geodezyjnej nie przekracza 150 km (Cross i in., 1981).
Algorytm Kivioja rozpoczyna się od ustalenia długości elementu linii geodezyjnej ds,
który dobiera się poprzez podzielenie długości linii s przez liczbę elementów n.
ds =
s
.
n
Autor zaleca, aby ds < (1÷1.5) km. Można zatem postąpić inaczej: przyjąć skończoną
wartość, np. dsi = 1000.0 m, końcówkę zaś, równą niepełnej wielokrotności kilometrów
w s traktować jako ostatni element dsn.
W literaturze anglosaskiej, a także w wielu komputerowych edytorach równań stosuje się oznaczenie tan–1,
które nie jest odwrotnością funkcji tan, lecz funkcją arctan (arctg).
10
57
Rys. 2.17. Całkowanie wzdłuż linii geodezyjnej według metody Kivioja
Poniżej zestawiamy znane nam już wzory w takiej kolejności i postaci, jaka występuje
w iteracyjnym algorytmie Kivioja. Najpierw należy wyznaczyć główne promienie krzywizny w punkcie wyjściowym (i = P1):
Mi =
a (1 − e 2 )
2
2
(1 − e sin Bi )
3
Ni =
,
a
2
1 − e sin 2 Bi
Następnie wyznaczamy pierwsze przybliżenie przyrostu szerokości δ Bi(1) (i = 1 – numer
pierwszego elementu ds; górny indeks oznacza numer przybliżenia)
δ Bi(1) =
dsi cos A12
.
Mi
(2.64)
Biorąc średnią wartość szerokości elementu dsi tzn.
1
Bim = Bi + δ Bi(1) ,
2
należy wyznaczyć średnie wartości M im , N im .
Aim,i +1 = Ai ,i +1 +
dsi
sin Ai ,i +1 tg Bim
m
Ni
(2.65)
Można teraz uzyskać lepsze niż z (2.64) przybliżenie wartości δBi oraz wartość δLi,
wykorzystując niejednoznaczność M im , N im oraz Aim
δ Bim =
δ Lmi =
dsi cos Aim, i+1
,
M im
dsi sin Aim, i+1
N im cos Bim
,
,
58
Bi +1 = Bi + δ Bim ,
Li +1 = Li + δ Lmi .
(2.66)
Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę
Podstawiając teraz i = 2,3...n, powtarzamy opisaną wyżej procedurę obliczeń, aż osiągniemy punkt końcowy linii geodezyjnej P2. W każdym punkcie pośrednim obliczamy najpierw azymut na podstawie wzoru (2.65), zapisanego w postaci
sin Ai =
c
,
N i cos Bi
(2.65a)
a następnie promienie krzywizny Mi, Ni. Współrzędne geodezyjne punktu końcowego P2
otrzymamy przez zsumowanie
n
B2 = B1 + ∑ δ Bim ,
i =1
n
L2 = L1 + ∑ δ Lmi .
i =1
W celu obliczenia azymutu odwrotnego A21 realizujemy jeszcze raz wzór (2.65a) dla
i = n+1, otrzymując A2. Ostatecznie
A21 = A2 ± 180º .
Należy zaznaczyć, że dokładność obliczenia współrzędnych i azymutu tą metodą wzrośnie, gdy przyjmiemy mniejszą długość elementu ds. Jednak z uwagi na błędy numeryczne
nie należy doprowadzać do bardzo wielkiej liczby n elementów ds. Autor metody twierdzi,
że dla odległości nieprzekraczających 150 km n = 100 zapewni pożądaną w praktyce geodezyjnej dokładność obliczenia B2, L2 i A21.
2.4. REDUKCJA ELEMENTÓW PODSTAWOWEJ POZIOMEJ SIECI
GEODEZYJNEJ Z ELIPSODY ODNIESIENIA NA PŁASZCZYZNĘ
2.4.1. Podstawowe wzory odwzorowania Gaussa-Krügera;
odwzorowanie UTM
Odwzorowanie, które obecnie nazywamy odwzorowaniem Gaussa-Krügera, jest
wiernokątnym, poprzecznym, walcowym odwzorowaniem elipsoidy na płaszczyznę.
Odwzorowanie zostało opracowane przez K. Gaussa w roku 1825. Opublikowanie wzorów
odwzorowania zawdzięczamy O. Schreiberowi (rok 1866). W roku 1912 L. Krüger podał
rozwinięcie i modyfikację wzorów Gaussa.
Pewną wersją odwzorowania Gaussa-Krügera, opartą na tych samych podstawach
teoretycznych, lecz różniącą się skalą na tzw. południku osiowym, jest odwzorowanie
nazwane uniwersalnym poprzecznym odwzorowaniem Merkatora (UTM – Universal
Transverse Mercator projection), na cześć jednego z głównych twórców idei konforemności odwzorowań – Merkatora, który w roku 1569 sporządził na tej zasadzie morską mapę
świata. Czytelnika zainteresowanego teorią odwzorowania Gaussa-Krügera odsyłamy do
podręczników kartografii matematycznej (Biernacki, 1949 i Różycki, 1973). W naszym
wykładzie ograniczymy się do wywodu, który pozwoli zrozumieć wzory, jakimi posługuje
się geodeta w swojej codziennej pracy.
Element łuku zapisany za pomocą tzw. pierwszej formy Gaussa wyraża się jako:
59
ds2 = E dB2 + 2F dB dL + G dL2 .
Wielkości E, F i G obliczone dla elipsoidy obrotowej i podstawione do formy Gaussa
dadzą wyrażenie:
ds2 = (M dB)2 + (N cosB dL)2 .
Łuki odpowiadające równym przyrostom argumentów B i L nie są sobie równe.
Wprowadzimy szerokość izometryczną q taką, żeby
ds = N cos B(dq 2 + dL2 ) ,
tzn., że
dq =
MdB
dB
=
.
N cos B V 2 cos B
Szerokość izometryczna q sprawia, że otrzymujemy równe wartości łuków południka
i równoleżnika dla równych przyrostów q i L.
Odpowiadająca ds długość elementu łuku na płaszczyźnie wyraża się jako:
dS = dx 2 + dy 2 .
Skalę odwzorowania m można zapisać w postaci wyrażenia
m=
dS
,
ds
lub też, wprowadzając jednostkę urojoną i = −1 i oznaczając l = L – Lo (różnicę pomiędzy
długościami południka L i tzw. południka osiowego Lo), w postaci:
m 22 =
(dx + idy ) (dx − idy )
.
N cos 22 B (dq + idl ) (dq − idl )
22
Warunek wiernokątności odwzorowania oznacza niezależność skali odwzorowania od
azymutu elementów liniowych dS i ds. Warunek ten określają stosunki różniczek:
dq
dy
dB
na płaszczyźnie i
lub
na elipsoidzie.
dl
dx
dl
Wyrażenie opisujące skalę będzie niezależne od powyższych stosunków, jeżeli
x + iy = f (q + il) oraz x – iy = f (q – il),
przy czym f (...) oznaczają pewne funkcje analityczne odpowiednich wyrażeń w nawiasach. Oznaczając przez f´ pochodne funkcji f (...), możemy następująco wyrazić skalę odwzorowania:
1
m2 = 2
f '(q + il ) f '(q − il ).
N cos 2 B
Gauss określił postać funkcji f tak, aby spełniała ona dodatkowo następujące warunki:
60
1) y = 0 dla l = 0,
2) x = f(q) = X dla y = 0.
drugi warunek oznacza, że odcięte x mają być równe łukom południka, oznaczanym przez
X, zawartym między równikiem i punktem o szerokości B.
Rozwijając f (q + il) = x + iy w szereg Taylora względem niewielkich il otrzymamy:
x + iy = f (q ) + il
df 1
d2 f 1
d3 f
+ (il ) 2 2 + (il )3 3 + 
dq 2
dq
dq
6
.
Gaussowskie warunki początkowe 1) i 2) prowadzą do zastąpienia w powyższym wzorze f (q) przez X oraz pozwalają na wyznaczanie odpowiednich pochodnych na podstawie
dX
. Biorąc wyrażenie określające różniczkę szerokości izometrycznej
wyrażeń o postaci
dq
dq oraz wyrażenie określające różniczkę łuku południka dX = M dB, a także wprowadzając
oznaczenia:
η 2 = e '2 cos 2 B,
t = tan B,
1+η 2 = V 2 ,
dX
d2X
,
, , a, następnie, rozdzielając we wzorze
dq
dq 2
określającym x + iy część rzeczywistą i część urojoną, można otrzymać, uwzględniwszy
wartości kolejnych potęg i, następujące wzory:
można wyznaczyć kolejne pochodne
x=X +

 l 2 cos 2 B
l2
l 4 cos 4 B
N sin B cos B 1 +
(5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) +
(61 − 58t 2 + t 4 )  ,
2
2
4
2ρ
12
ρ
360
ρ


(2.67a)

 l 2 cos 2 B
l
l 4 cos 4 B
2
2
N cos B 1 +
(
1
−
t
+
)
+
(5 − 18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58η 2t 2 )  .
η
2
4
6ρ
120 ρ
ρ


(2.67b)
(ρ oznacza sin–1 1”)
Powyższe wzory można wykorzystywać do obliczania współrzędnych, zastąpiwszy w nich
X wyrażeniem długości łuku południka. W tym celu należy rozpatrzyć całkę:
y=
B
B
0
0
X = ∫ MdB = a (1 − e 2 ) ∫
dB
(1 − e 2 sin 2 B)3
.
Jest to całka eliptyczna, niemająca rozwiązania w dziedzinie funkcji elementarnych.
Obliczamy jej wartość, rozwijając wyrażenie podcałkowe według wzoru Newtona na dwumian i całkując następnie ten szereg wyraz po wyrazie. Po rozwinięciu otrzymamy całkę:
B
X = a (1 − e 2 ) ∫ ( Ao − A2 cos 2 B + A4 cos 4 B − A6 cos 6 B + ) dB ,
0
61
a po scałkowaniu
(2.68)
X = a ( Ao B − A2 sin 2 B + A4 sin 4 B − A6 sin 6 B + ) ,
przy czym
A0 = 1 −
e 2 3e 4 5e6
−
−
,
4 64 256
A4 =
15  4 3e6 
,
e +
256 
4 
3
e 4 15e6 
A2 =  e 2 + +
,
8
4 128 
A6 =
35e6
.
3072
Za pomocą tych wzorów można osiągnąć dokładność obliczeń x, y lepszą niż 1 mm
dla l≤3º.
Zamiana współrzędnych prostokątnych x, y na geodezyjne B, L wyraża się wzorami,
które można otrzymać rozwiązując najpierw iteracyjnie równania (2.67) względem B i l
(zob. Zakatow, 1959, str. 152). Objaśnimy pokrótce ten proces. Najpierw wyznacza się
pierwsze przybliżenie l, biorąc tylko pierwszy wyraz wzoru (2.67b), tzn.
l=
y
ρ.
N cos B
Po podniesieniu do trzeciej potęgi podstawia się otrzymaną wartość do (2.67b).
Z dwóch pierwszych wyrazów tak przekształconego wzoru wyznacza się l w drugim przybliżeniu. Kontynuacja takiego postępowania pozwala na wprowadzenie do wzoru na l kolejne wyrazy. Otrzymamy:
l=
y
y3
y5
ρ−
ρ (1 − t 2 + η 2 ) +
ρ (5 − 2t 2 + 9t 4 + 6η 2 + 388η 2t 2 ).
3
N cos B
6 N cos B
120 N 5 cos B
Po prawej stronie wzoru występują funkcje nieznanego argumentu B, tzn. N, t, η i cosB.
Aby wyliczyć l, trzeba najpierw wyznaczyć B. Wyprowadzenie wzoru na B jest nieco bardziej złożone. Najpierw należy obliczyć kolejne parzyste potęgi ostatniego wzoru na l.
Otrzymane wyrażenia wprowadza się do wzoru (2.67a). Po przeniesieniu X na lewą stronę
otrzymamy wyrażenie na (x–X) w funkcji y, N, t i η, z którego wyeliminowaliśmy l:
x− X =
y 6t
yt
y 4t
2
2
4
t
+
1
+
3
+
5
+
4
+
(
η
η
)
(1 + 30t 2 + 45t 4 ).
2 N 24 N 3
720 N 5
Następnie biorąc X ≡ x, wyznacza się poprzez postępowanie iteracyjne ze wzoru (2.68)
pewną wartość szerokości B1 odpowiadającą kątowej mierze łuku południka o długości x.
Różnica długości łuków południka (x–X) może być wyrażona z dostatecznym przybliżeniem przez równanie drugiego stopnia względem (B1 – B) (Krasowski, 1956):
x− X ≈
M ( B1 − B) 3t e 2 cos 2 B 1 − e 2 sin 2 B ( B1 − B) 2 M 2
.
+
2
a (1 − e 2 )
ρ
ρ2
Porównanie prawych stron dwóch ostatnich wyrażeń uwolni nas od wartości (x–X).
Rozwiązanie otrzymanego równania względem (B1 – B) metodą kolejnych przybliżeń daje
wyrażenie na różnicę (B1 – B). Na koniec, rozwinięcie t, η i (MN)–1 w szeregi względem
małej wartości (B1 – B) prowadzi do wzoru, w którym – oprócz y – wszystkie inne wielkości są zależne od B1. Wzór ten przedstawia się następująco:
62
B1 − B =


y4
y2
y2
2
2
2 2
t
t
t1 1 −
η
η
(
5
+
3
+
−
9
)
+
(61 + 90t12 + 45t14 )  ,
1
1
1
1
4
2
2 M 1 N1  12 N1
360 N1

(2.69a)
Jak widać, jest to wzór iteracyjny ze względu na M1, N1, η1 i t1, które są funkcjami
argumentu B1 wyznaczanego iteracyjnie z równania (2.68). Gdy mamy wyliczoną wartość
B1, różnicę długości l możemy wyznaczać na podstawie następującego wzoru:
l=
y
N1 cos B


y2
y4
(1 + 2t12 + η12 ) +
(5 + 28t12 + 24t14 + 6η12 + 8η12t12 )  .
1 −
4
2
6
120
N
N
1
1


(2.69b)
*
Dla odwzorowania UTM podaje się zazwyczaj nieco inną postać wzorów (Bomford,
1971 oraz Cross i in., 1981). Cytujemy te wzory dalej, przystosowując częściowo
oznaczenia różnych wielkości do systemu oznaczeń przyjętych w naszym wykładzie.
Pozostawiamy jednak charakterystyczne dla anglosaskiej literatury geodezyjnej oznaczenia
E (Easting) ≡ y, N (Northing) ≡ x, a także ϕ ≡ B. Przez mo oznacza się skalę na południku
osiowym. Przyjmuje się w odwzorowaniu UTM mo= 0.9996. Wobec tego, że N zostało wykorzystane do oznaczenia współrzędnej x, przyjmiemy dla promienia krzywizny w pierwszym wertykale oznaczenie ν ≡ N. Parametr ψ oznacza stosunek promieni krzywizny przeN
ν
≡ . Wzory poniższe przytaczamy
krojów w pierwszym wertykale i w południku ψ =
M M
także dlatego, że chyba nie sposób ich znaleźć gdzie indziej w polskiej literaturze.


l2
l4
ν
ϕ
ϕ
ν
sin
cos
sin ϕ cos3 ϕ (ψ + 4ψ 2 − t 2 ) +
X
+
+


2
24


6
l


5
4
2
3
2
2
2
2
4
sin ϕ cos ϕ ( 8ψ (11 − 24t ) − 28ψ (1 − 6t ) +ψ (1 − 32t ) − 2ψ t + t ) +  ,
N = mo +ν

 720


l8
7
2
4
6
sin ϕ cos ϕ (1385 + 3111t + 543t − t )

+ν

 40320
(2.70a)


l3
l5
3
2
l
+
−
t
+
ν
cos
ϕ
ν
cos
ϕ
(
ψ
)
ν
cos5 ϕ ( 4ψ 3 (1 − 6t 2 ) +ψ 2 (1 + 8t 2 ) − 2ψ t 2 + t 4 ) + 


6
120
E = mo 
.
7
l
7
2
4
6

+ν
cos ϕ (61 − 479t + 179t − t )

 5040
(2.70b)
Przeliczenie odwrotne
E = mo { N , E} ⇒ {ϕ , l} opisują następujące wzory, w których ρ oznacza promień krzywizny południka (ρ ≡ M):
63
(2.71a)
 E
 −4ψ '3 (1 − 6t '2 ) + ψ '2 (9 − 68t '2 ) +  
E3
E5
− 3 3 (ψ '+ 2t '2 ) +

 +

120mo5ν '5  +72ψ ' t '2 + 24t '4
 moν ' 6moν '
 .
l = sec ϕ ' 

7
E


2
4
6
− 5040m7ν '7 (61 + 662t ' + 1320t ' + 720t ' )

o


(2.71b)
N
W tych wzorach ϕ´ oznacza szerokość, dla której X =
. Szerokość taką trzeba oblimo
czać za pomocą iteracji, wykorzystując wzór (2.68). Pozostałe wielkości oznaczone indeksem (´) oblicza się dla argumentu ϕ´.
Nadmieńmy, że wzory odwzorowania UTM (2.70ab) i (2.71ab) można z powodzeniem
stosować do odwzorowania Gaussa-Krügera, podstawiając mo=1.
*
Zbieżność południków. Kąt, jaki tworzy równoległa do południka osiowego przesunięta przez punkt P z obrazem południka tego punktu nazywa się zbieżnością południków
na płaszczyźnie i oznacza przez γ. Na podstawie rysunku (2.18) można napisać:
dx
tan γ = dl .
dy
dl
Różniczkując (2.67) względem l i podstawiając do powyższego wyrażenia otrzymamy:
γ = l sin B +
l3
l5
sin B cos 2 B(1 + 3η 2 + 2η 4 ) + sin B cos 4 B(2 − t 2 ).
3
15
(2.72a)
Zbieżność południków można wyrazić również przez współrzędne płaskie x, y.
γ=
64
y 4 (2 + 5t12 + 3t14 ) 
y2
y 
2
2
4
1
+
−
η
−
2
η
+
t1 1 −
(
)
t
.
1
1
1
15 N14
N1  3 N12

(2.72b)
Rys. 2.18. Zbieżność południków
Skala odwzorowania. Zauważmy, że
dq
= 0,
dl
ponieważ
dB
= 0.
dl
Wobec tego wzór wyrażający skalę odwzorowania w postaci stosunku elementów liniowych obrazu i oryginału można łatwo przekształcić do następującej postaci:
m=
dy
1
sec γ.
dl N cos B
W powyższym wzorze pojawia się sec γ, ponieważ w wyrażeniu na skalę odwzorowania
zastąpiliśmy tą funkcją następujące wyrażenie:
2
 dx 
1
.
1 +   = 1 + tan 2 γ = sec 2 γ =
2
dy
cos
γ
 
Wystarczy teraz rozwinąć ten secγ w szereg, podstawić wartości γ z (2.72), a wzory na
skalę odwzorowania można wyrazić w postaci:
m = 1+
l2
l 4 cos 4 B
cos 2 B (1 + η 2 ) +
(5 − 4t 2 )
2
24
(2.73a)
poprzez współrzędne geodezyjne B, l, albo poprzez współrzędne prostokątne
m = 1+
y2
y4
2
(
1
+
η
)
+
.
1
2 N12
24 N14
(2.73b)
Prostszą postać ostatniego wzoru można uzyskać podstawiając:
65
y2
y4
1 + η12 V12
1
i
wtedy
(2.73c)
=
1
+
+
m
.
=
=
2 R12 24 R14
N12
N12 R12
Odpowiednie wzory dla odwzorowania UTM otrzymamy mnożąc prawe strony wzorów
(2.73) przez mo, np.

E2
E4 
m = mo 1 + 2 (1 + η12 ) +
.
24ν 14 
 2ν 1
(2.74)
Zmienność skali w zależności od współrzędnej y w odwzorowaniu UTM ilustruje rysunek 2.19. Trzeba jednak zaznaczyć, że bezwzględne wartości zmiany skali są w odwzorowaniu UTM mniejsze niż w odwzorowaniu Gaussa-Krügera dla takich samych rozpiętości
l = ∆L. Z tego też względu w odwzorowaniu UTM szerokości tzw. stref odwzorowania
bywają zazwyczaj dwa razy większe (l = 6º) niż w odwzorowaniu Gaussa-Krügera (l = 3º)
przy zbliżonych wartościach zniekształceń liniowych κ (κ = 1 – m)11.
Rys. 2.19. Zmienność skali w odwzorowaniu UTM
2.4.2. Redukcje długości i kierunków
Redukcja długości. Przepisując inaczej wzór definiujący skalę odwzorowania
ds =
1
dS
m
i podstawiając (2.73c) do tego wzoru, otrzymamy:
Trzeba zaznaczyć, że dla różnych celów (różnych skal map) w obu odwzorowaniach stosuje się zarówno
strefy 3º, jak i 6º.
11
66
ss
∫
−−11
2
4
 
yy2
yy4 
dS..
s ==  11++ 22 ++
s s=
 dS
  22RR 24
24RR44 
 
000
Wykonamy całkowanie po prawej stronie wyrażenia, przyjmując R=Rm – średni promień
krzywizny środkowego punktu linii. Otrzymamy w przybliżeniu:

y 2 + y1 y2 + y22 
S = s 1 + 1
(2.75)
.
6 Rm2


W powyższym wzorze ograniczyliśmy się do wyrazów zawierających drugie potęgi
rzędnych y. Taka dokładność wzoru wystarcza dla większości przypadków spotykanych
w praktyce. Trzeba zauważyć, że długości S na płaszczyźnie są w odwzorowaniu GaussaKrügera zawsze większe lub co najwyżej równe oryginalnym długościom na elipsoidzie
S ≥ s. Tylko na południku osiowym, gdy y = 0, S = s. W miarę oddalania od południka
osiowego wartości redukcji rosną. Zniekształcenia długości w odwzorowaniu UTM mają
bardziej złożony charakter. Rysunek 2.19 będzie pomocny do poglądowej analizy tego
zagadnienia.
Redukcje kierunków. Wiernokątność odwzorowania odnosi się do kątów między liniami krzywymi. Na płaszczyźnie jednakże chcielibyśmy mierzyć kąty między cięciwami
tych krzywych, zaś odpowiedniki azymutów pomiędzy kierunkami równoległymi do południka osiowego i cięciwami odpowiednich krzywych. Na rysunku 2.20 widzimy kąty, jakie
tworzy cięciwa z łukiem krzywej boku trójkąta na płaszczyźnie, oznaczone przez δ. Kąty
te nazywamy redukcjami kierunków. Pojęcie zbieżności południków jest również inne na
elipsoidzie, inne na płaszczyźnie (odpowiednio t i γ). Różnica między wartościami zbieżności jest wielkością małą czwartego rzędu i wyraża się następująco:
elipsoida:
2
γ − t = l 2η 2 sin B cos 2 B +  .
3
płaszczyzna:
Rys. 2.20. Trójkąt na elipsoidzie i jego obraz na płaszczyźnie
67
Wielkości α12 w punkcie P1′ odpowiednią α21 w punkcie P2′ nazywa się kątami kierunkowymi i wyraża następująco poprzez azymuty, zbieżności południków na płaszczyźnie
i redukcje kierunków:
α12 = A12 – γ1 – δ12 ,
α21 = A21 – γ2 + δ21 ,
(2.76)
Wzory na redukcje kierunków można wyprowadzić analizując figurę utworzoną przez
punkty P1, P2 połączone linią geodezyjną na elipsoidzie i zrzutowane za pomocą równoleżników na południk osiowy oraz odpowiednią figurę na płaszczyźnie. Wiernokątność
odwzorowania zapewnia równość odpowiednich kątów naszych figur na powierzchni elipsoidy i na płaszczyźnie. Suma kątów wewnętrznych figury na elipsoidzie wynosi 360º + ε
(ε to nadmiar sferyczny w trapezie sferycznym). Suma kątów figury płaskiej wynosi
360º + δ12 + δ21 i stąd ε = δ12 + δ21 .
Przyjmując upraszczające założenie, że łuk krzywej P1′P2′ jest łukiem kołowym, tzn. że
δ12 = δ21, otrzymamy:
ε
δ12 ≈ .
2
elipsoida:
płaszczyzna:
Rys. 2.21. Trapez elipsoidalny i jego obraz na płaszczyźnie
Powierzchnię figury potrzebną do obliczenia przybliżonej wartości nadmiaru sferycznego ε można łatwo wyznaczyć, biorąc płaski trapez P1′P2′O2′O1′
Powierzchnia trapezu = ( x2 − x1 ) ym ,
ym =
y1 + y2
.
2
Przybliżony wzór na redukcję kierunku przyjmie zatem następującą postać:
ε (x − x ) y
δ12 ≈ = 2 12 m .
2
2 Rm
(2.77)
Wielkość redukcji i potrzeba dokładniejszego jej wyznaczania zależą od długości boków,
odległości od południka osiowego, azymutu boku, a także od przyjętej szerokości pasów
68
odwzorowawczych. Niżej przedstawiamy wzory, zapewniające dokładności redukcji wymagane w podstawowych sieciach geodezyjnych zakładanych metodami obserwacji naziemnych, w sieciach mających nawet kilkudziesięciokilometrowe boki
δ12 
x2 − x1
 =±
δ 21 
2 Rm2
y2 − y1  x2 − x1 3 y2 − y1 2 2

ymηmtm .
ym ±
 ym ∓
∓
Rm2
6  6 Rm4

(2.78)
do obliczeń prowadzonych za pomocą tego wzoru z dokładnością 0.001” trzeba jednakże znać przybliżone współrzędne (x, y) z dokładnością zawartą w przedziale 1.0÷0.1 m, co
w pewnych przypadkach może powodować nawet konieczność postępowania iteracyjnego.
2.4.3. Transformacja do sąsiednich pasów odwzorowawczych
Istnieje wiele wzorów i tablic do transformacji współrzędnych płaskich x, y do sąsiednich
pasów odwzorowawczych. Zadanie to bowiem występuje stosunkowo często w praktyce:
zawsze wtedy, gdy obiekt objęty pomiarami, które opracowujemy, leży w więcej niż jednym
pasie odwzorowania. Sąsiednie stacje obserwacyjne, położone w różnych pasach, muszą zostać przyłączone do któregoś z pasów, aby można było prowadzić opracowanie wyników
pomiarów na płaszczyźnie odwzorowania. Stare wzory i tablice mają już dzisiaj nieledwie
historyczne znaczenie. Częstokroć obecnie prościej jest wykonać nawet skomplikowane obliczenia, gdy dysponuje się odpowiednim narzędziem, niż uciążliwie szperać w tablicach.
Jednakże spośród istniejących tablic i wzorów godna jest odnotowania metoda transformacji,
opracowana przez profesora Politechniki Warszawskiej Stefana Hausbrandta, polegająca na
bezpośredniej interpolacji wielomianowej funkcji dwóch zmiennych niezależnych.
Gdy dysponujemy komputerem i odpowiednim programem do transformacji współrzędnych (B, L) ⇔ (x, y), to w celu wykonania transformacji na pas sąsiedni wystarczy,
przeszedłszy do współrzędnych B, L, zamienić je ponownie na x, y, przyjmując południk
osiowy pasa sąsiedniego. Ilustruje to poniższy schemat.
pas pierwszy
pas drugi (sąsiedni)
południk osiowy L1
południk osiowy L2
(x, y)´
(x, y)´´
⇓
⇑
(B, L)
(B, L)
⇓
⇑
zmiana południka osiowego z L1 na L2
Odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Bessela z punktem przyłożenia w Borowej
Górze było przyjęte w Polsce w roku 1928 do obliczenia wyników triangulacji państwowej.
Stosowano wówczas pasy o szerokości l=∆λ=2º. Ponownie w roku 1947 wprowadzono to
odwzorowanie w Polsce do opracowania mapy gospodarczej w skalach 1:10 000 i więk69
szych, z pasami 3-stopniowymi i skalą południków osiowych mo= 0.999935. Nazwano
to odwzorowanie południkowo-wiernokątnym. Stosowano je jednak tylko do roku 1950,
kiedy to przyjęto skalę mo= 1. Elipsoidą odniesienia pozostawała do roku 1952 elipsoida Bessela przyłożona w Borowej Górze. Potem w Polsce i w innych byłych krajach
socjalistycznych wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Krasowskiego
z punktem przyłożenia w Pułkowie (układ ‘42). Dla skal małych (1:500 000 ÷ 1:10 000)
pasy 6-stopniowe (nr 3 i 4; południki osiowe odpowiednio: 15º i 21º). Dla skali 1:5 000
i większych stosowano pasy 3-stopniowe (nr 5, 6, 7 i 8 o południkach osiowych 15º, 18º,
21º i 24º). Numeracja pasów od południka Greenwich na wschód. Współrzędną y poprzedzano numerem pasa, a ponadto, w celu uniknięcia ujemnych wartości rzędnych, przyjmowano wartość yo= 500 000 m dla południka osiowego. W związku z rozwinięciem na
obszar Polski układu EUREF (zob. [6.6]), układ’42 w roku 2008 został zastąpiony „układem geocentrycznym” z elipsoidą GRS’80 dla celów praktycznych tożsamą z elipsoidą
satelitarnego układu WGS-84. W wielu krajach, w USA i Kanadzie oraz w niektórych
krajach Europy Zachodniej, do obliczeń podstawowych sieci poziomych i do opracowania
map topograficznych stosuje się odwzorowanie UTM (mo= 0.9996) elipsoidy Hayforda
w pasach 6-stopniowych, z numeracją od anty-Greenwich (λ= 180º) na wschód, zgodnie z podziałem Międzynarodowej Mapy Świata w skali 1:1 000 000. W krajach Paktu
Północnoatlantyckiego (NATO) odwzorowanie UTM stosuje się dla topograficznych map
wojskowych12. Problemy związane z obliczeniami podstawowych poziomych sieci geodezyjnych w jakimś odwzorowaniu, w związku z powszechnym stosowaniem komputerów,
zeszły obecnie na plan dalszy. Zarówno bowiem transformacja współrzędnych pomiędzy
różnymi układami, jak i odwzorowanie elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę jakiegokolwiek odwzorowania przestaje być pracochłonnym (i czasochłonnym) zadaniem
geodezyjnym. Wobec coraz powszechniejszego stosowania cyfrowych geodezyjnych baz
danych w postaci cyfrowej, umożliwiających doraźne generowanie różnych form graficznych zobrazowań przestrzeni, np. do celów projektowych oraz dla dokumentacji formalnoprawnej itd., zmienia się także rola tradycyjnych opracowań kartograficznych w dużych
skalach.
2.5. TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH B, L
2.5.1. Ogólne omówienie zadania transformacji współrzędnych
Zadanie transformacji współrzędnych pomiędzy dwoma układami geodezyjnymi
(zwanymi często układami pierwotnym i wtórnym) polega na obliczeniu współrzędnych
w układzie wtórnym dla punktów, których współrzędne znane są w układzie pierwotnym,
na podstawie współrzędnych pewnych punktów znanych w obu układach, zwanych punktami łącznymi. Można powiedzieć inaczej: punkty układu pierwotnego i wtórnego to dwa
zbiory, których częścią wspólną jest zbiór punktów łącznych.
12
70
Odwzorowanie UTM jest także wprowadzane w Polsce dla map topograficznych w skali 1:50000.
Transformacja współrzędnych B, L
Punkty łączne mogą służyć do określenia tzw. modelu transformacji (albo ‘prawa transformacji’). Gdy jednak model ten jest znany w postaci ogólnych związków matematycznych
pomiędzy współrzędnymi w obu układach, punkty łączne stanowią tylko podstawę do wyznaczenia tzw. parametrów transformacji (współczynników w owych związkach matematycznych w równaniach transformacji). Istotę transformacji przedstawia powyższy schemat.
Rysunek 2.22 ilustruje różne przypadki transformacji. W przypadku klasycznych geodezyjnych układów odniesienia (elipsoid) punkty łączne pokrywały z reguły tylko nieznaczny
obszar brzeżny obu układów. Metody pomiarów satelitarnych – o odległościach kilku setek
kilometrów pomiędzy sąsiednimi punktami – sprawiają, że obszary objęte obydwoma układami przenikają się całkowicie. Bywa też, że punkty należące do ‘układu satelitarnego’ wiążą
ze sobą dwa układy geodezyjne niemające punktów łącznych.
Rys. 2.22. Różne przypadki transformacji
Należy zauważyć, że zagadnienie transformacji występuje częstokroć w geodezji w postaci niejako ‘zakrytej’ poprzez problem wyrównawczy metody parametrycznej (pośredniczącej), prowadzącej w istocie również do transformacji do układu, w którym przyjęto
punkty stałe. Zmierzch monopolu klasycznych, naziemnych metod pomiarów geodezyjnych w zakładaniu podstawowych sieci geodezyjnych sprawia, że zadanie transformacji
współrzędnych prostokątnych z globalnego układu geocentrycznego (satelitarnego) do
istniejących krajowych układów elipsoidalnych jest najczęstszym zadaniem transformacji, jakie obecnie przychodzi rozwiązywać. Z tego też względu większą wagę w naszym
wykładzie przyłożymy do nowszych metod i modeli transformacji. Przedstawimy je w rozdziale 6. Tymczasem zaprezentujemy metodę klasyczną transformacji współrzędnych
krzywoliniowych B, L.
71
2.5.2. Transformacja Helmerta-Hristowa
Metoda transformacji współrzędnych krzywoliniowych (elipsoidalnych), która ciągle
jeszcze bywa stosowana w praktyce dla obszarów nie przekraczających kilku milionów
kilometrów kwadratowych (o promieniu ok. 1 000 km), została opracowana przez F.R.
Helmerta, a następnie ulepszona przez wykorzystanie koncepcji W.K. Hristowa (Hristow,
1942). Helmert podał wzory różniczkowe do transformacji z jednego układu (elipsoidy
odniesienia o odpowiednich parametrach i elementach orientacji) do innego, wychodząc
z ogólnych zależności funkcyjnych o postaci:
B = Bo + b = Bo + f1 (Bo, s, A, a, f) ,
L = Lo + l = Lo + f2 (Bo, s, A, a, f) ,
(2.79)
w których
b = B – Bo , l = L – Lo ,
s oznacza długość linii geodezyjnej,
A – azymut początkowy linii,
a, f – to duża półoś i spłaszczenie elipsoidy odniesienia,
Bo , Lo – współrzędne punktu początkowego linii s,
B, L – współrzędne punktu końcowego linii geodezyjnej.
Zmiany punktu początkowego o
,
, długości linii geodezyjnej o ds i parametrów
elipsoidy o da, df pociągną za sobą zmiany położenia punktu końcowego o dB, dL, które
wyrażają różniczki zupełne funkcji (2.79). W postaci ogólnej można napisać:
 ∂f 
∂f
∂f
∂f
∂f
dB = dBo + db = 1 + 1  dBo + 1 ds + 1 dA + 1 da + 1 df ,
ds
dA
da
df
 dBo 
dL = dLo + dl = dLo +
∂ f2
∂f
∂f
∂f
∂f
dBo + 2 ds + 2 dA + 2 da + 2 df .
dB
ds
dA
da
df
Wzory te, po wstawieniu wartości odpowiednich pochodnych cząstkowych, byłyby
podstawowymi wzorami transformacji Helmerta. Hristow wykorzystał szeregi potęgowe
Legendre’a (2.37) do wyznaczenia różniczek występujących we wzorach Helmerta. Innymi
słowy, zróżniczkował on wyrażenia (2.37) względem B, s, a, f, a wyznaczone w ten sposób
pochodne podstawił do wzorów Helmerta. Tak powstały równania transformacji HelmertaHristowa o następującej postaci (podajemy je dla przypadku transformacji między układami odniesionymi do tej samej elipsoidy o parametrach a, f ):
dBi = Ai′dLo + Bi′dBo + Ci′dp + Di′dA,
dLi = Ai′′dLo + Bi′′dBo + Ci′′dp + Di′′dA,
w których dp =
zaś
72
ds
,
s
(2.80)
Transformacja współrzędnych B, L
dBi = A
Ai′dL
+ Bi′dBo + Ci′dp + Di′dA,
= 0,
i o
dLi = Ai′′dLob+i Bi′′dBo 2+ Ci′′dp 2+ Di′′dA, 2
Ci′ = − (4)bi − (7)li − (8)bi li ,
ρ
Di′ = −(2)li + (5)bi li + (9)li3 ,
Bi′′ = (12)li + (14)bi li + (18)bi2li − (21)li3 ,
Ai′′ = 1,
Ci′′ =
Bi′ = 1 − (1)bi − (3)bi2 − (6)li2 ,
li
+ (15)bi li + (19)bi2li − (22)li3 ,
ρ
Di′′ = (11)bi + (13)bi2 − (16)li2 + (17)bi3 − (20)bi li2 ,
przy czym
3t (η 2 − η 4 )
(1) = 3t (η 2 − η 4 ) ,
ρ
(1) =
,
2ρ 2 2
3(η − t η )
(3) = 3(η 2 − t22η 2 ) ,
2ρ
(3) =
,
2ρ 2 2
3 cos Btη
2 ,
(5) = 3 cos Bt
ρ2 η ,
(5) =
ρ2
cos 2 Bt (1 + η 2 )
2
(7) = cos Bt (12 + η 2 ) ,
2ρ
,
(7 ) =
2
3 2ρ
cos B(1 + t 2 )
(9) = cos3 B(13+ t 2 ) ,
6ρ
(9) =
,
3
2 6ρ 2
t (1 − η + η 4 )
(12) = t 2 (1 − η 2 + η 4 ) ,
ρ
(12) =
,
2 ρ 2
1 + t − η − 2t 2η 2
(14) = 1 + t 2 − η 22 − 2t 2η 2 ,
ρ
,
(14) =
2
cos Bt ρ
(16) = cos Bt
,
2
(16) = 2 ρ 2 ,
2ρ
t (1 + t 2 )
(18) = t (1 +3t 2 ) ,
(18) = ρ 3 ,
ρ
cos B(1 + t 2 )
(20) = cos B(13+ t 2 ) ,
2ρ
,
(20) =
3
22 ρ 2
cos Bt
2 .
(22) = cos 2 Bt
2
(22) = 6 ρ 2 .
6ρ
( 2) =
cos B (1 + η 2 )
,
ρ
( 4) =
3tη 2
,
2ρ 2
( 6) =
cos 2 B (1 + t 2 + η 2 )
,
2ρ 2
(8) =
cos 2 B
,
3ρ 3
(11) =
1 −η 2 + η 4
,
ρ cos B
η2
)
(13) = 2 2 ,
ρ cos B
t (1 −
(15) =
t (1 − η 2 )
,
ρ2
(17) =
1 + 3t 2
,
3ρ 3 cos B
(19) =
2 + 3t 2
,
3ρ 3
(21) =
cos 2 Bt (1 + t 2 )
,
6ρ 3
W ostatnich wyrażeniach zachowano wcześniej wprowadzone oznaczenia: t = tan B,
η2 = e´2cos2B, zaś ρ = sin–1 1˝.
W każdej transformacji ta sama postać równań transformacyjnych jest wykorzystywana zarówno do wyznaczenia parametrów transformacji, jak i transformowania punktów.
W pierwszej części zadania w miejsce dB, dL, po lewej stronie równań (2.80) podstawia się
73
różnice współrzędnych punktów łącznych (wyrazy wolne równań). Współczynniki przy
niewiadomych A′, B ′, C ′, D′ oraz A′′, B ′′, C ′′, D′′ wyznacza się na podstawie bi, li obliczonych jako różnice współrzędnych punktów łącznych w układzie pierwotnym Bi′, Li′
z odpowiednimi wartościami Bo, Lo tzw. bieguna transformacji w tym samym układzie
(pierwotnym).
Niewiadome:
przesunięcie punktu głównego dBo , dLo ,
zmianę skali dp = ds/s ,
obrót układu pierwotnego dA
wyznacza się z rozwiązania układu równań (2.80) metodą najmniejszych kwadratów, gdy
liczba punktów łącznych jest większa niż 2.
Wyznaczone wartości wstawia się do równań (2.80). Następnie tworzy się różnice bj, lj
współrzędnych punktów do transformacji i współrzędnych bieguna transformacji (j jest teraz wskaźnikiem punktów, które należy przetransformować z układu pierwotnego do wtórnego). Potem oblicza się współczynniki A' –•• D '' dla każdego punktu “j”. Podstawiając te
współczynniki do równań (2.80) można wyznaczyć wartości poprawek transformacyjnych
dBj, dLj, które po dodaniu do współrzędnych punktów w układzie pierwotnym dadzą wartości współrzędnych przetransformowanych.
Dokładność transformacji ocenia się na podstawie rozbieżności współrzędnych punktów łącznych przetransformowanych ‘na siebie’ za pomocą wyznaczonych parametrów
transformacji. Należy też pamiętać, że ‘wierność’ transformacji zależy w dużej mierze od
rozmieszczenia punktów łącznych. Punkty te powinny być w miarę możności równomiernie rozłożone na obszarze objętym transformacją.
Gdy transformacja dotyczy współrzędnych odniesionych do różnych elipsoid, równania (2.80) należy poszerzyć o wyrazy zależne od da i df. Liczba punktów dostosowania
musi w takim przypadku wynosić co najmniej 3. Więcej szczegółów dotyczących tego
przypadku transformacji można znaleźć w oryginalnej publikacji Hristowa (1942). Inne
polskie publikacje wzorów Helmerta-Hristowa zawierają niestety pomyłki. Do transformacji Helmerta-Hristowa powrócimy w rozdziale 6.5.5, rozważając przydatność tej transformacji do łączenia punktów wyznaczonych satelitarną techniką GPS z klasyczną siecią
geodezyjną na powierzchni elipsoidy odniesienia.
74

2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ

Transkrypt

Podobne dokumenty