Zjawiska korpuskularno-falowe

Zjawiska korpuskularno-falowe
Gustaw Kirchoff (1824-1887)
W 1859 rozpoczyna się droga do mechaniki kwantowej od
odkrycia linii D w widmie słonecznym
Elektron odkryty przez J.J. Thompsona w 1897 (neutron w 1932). Nowe idee
były przyjmowane niechętnie
Promieniowanie termiczne
Podstawowe źródła światła:
- ogrzane ciała stałe lub
gazy, w których zachodzi
wyładowanie elektryczne.
Emisja ↔ absorpcja
R - widmowa zdolność emisyjna promieniowania
R dλ - szybkość z jaką jednostkowy
obszar powierzchni wypromieniowuje
energię z zakresu długości fal λ, λ+dλ.
Całkowita zdolność emisyjna
promieniowania – szybkość z jaką
jednostka powierzchni
wypromieniowuje energię:
∞
R = ∫ Rλ dλ
(analogia do
rozkładu Maxwella dla prędkości!)
0
Własności widma termicznego:
- nie zależy ani od rodzaju substancji ani od kształtu, a jedynie od
temperatury ciała;
- widmo jest ciągłe;
- opisane jest dla ciała doskonale czarnego
(ciała, którego powierzchnia absorbuje całe promieniowanie termiczne).
Emisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego zmienia się z
temperaturą zgodnie z prawem Stefana-Boltzmana:
Idealny absorber
aλ =1
eλ =K(λ,T)
R = σ⋅T4
gdzie σ =
 W 
5,67 ⋅10 −8  2 4 
m K 
Zauważmy, że maksima natężenia promieniowania dla różnych temperatur
przypadają na różne długości fal.
Tzn. można to zapisać:
λ1T1 = λ2T2= λ3T3=….
Ogólnie λ⋅T = const - prawo Wiena
Zastosowanie: pomiar temperatury gwiazd
na podstawie analizy widmowej. Mierzymy
λ ⇒ λ⋅T = 2,898⋅10-3 [m⋅K] i stąd obliczmy
temperaturę gwiazdy.
Podejmowano różne próby oparte na fizyce klasycznej, wyjaśnienia rozkładu
promieniowania ciała doskonale czarnego.
Teoria Wiena:
Rλ =
c1
1
λ5 e c
2
λT
gdzie c1, c2 to stałe wyznaczane
doświadczalnie.
Pokrywała się ona z wynikami
doświadczalnymi jedynie dla małych długości
fal.
Z kolei teoria Rayleigh’a była zgodna z
doświadczeniem tylko dla dużych λ.
Dopiero Max Planck (1900) zmodyfikował
wzór Wiena:
Rλ =
c1
λ5 e c
1
2
λT
−1
otrzymując pełną zgodność z wynikami doświadczalnymi.
Dla krótkich fal czyli małych λ
c2
λT
>> 1 otrzymujemy wzór Wiena
Chcąc zbudować teorię wyjaśniającą otrzymaną zależność założył, że atomy
ciała doskonale czarnego zachowują się jak oscylatory harmoniczne o
charakterystycznych częstościach drgań
1. Energia oscylatora jest kwantowana i dana wzorem: E = nhν gdzie
n = 1, 2, 3… - liczba kwantowa, h = 6,63⋅10-34 - stała Plancka.
2. Oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, ale kwantowany,
tzn. wypromieniowana ilość energii ∆E = hν.
3. Oscylator znajdujący się w stanie stacjonarnym (jeden ze stanów
kwantowych) nie emituje ani ni absorbuje energii.
Planck wyznaczył wówczas na drodze teoretycznej stałe:
c1 = 2π ⋅ c 2 h;
c2 =
hc
k
gdzie c – prędkość światła, k – stała Boltzmana. (1918 – nagroda Nobla)
Przykład:
Klasyczny oscylator o częstotliwości ν = 0,5 Hz i energii E = 0,1 J.
E
0,1
=
= 3,01 ⋅1032
Liczba kwantowa takiego oscylatora: n =
− 34
hν 6,63 ⋅10 ⋅ 0,5
Jeżeli n zmienia się o jedność, to względna zmiana energii oscylatora
∆E 6,63 ⋅10 −34 ⋅ 0,5
=
= 3,3 ⋅10 −33
E
0,1
co jest praktycznie niemierzalne, czyli kwantowa natura drgań obiektów
makroskopowych jest niewidoczna.
W 1905, Albert Einstein doszedł do wniosku, że nie można wyprowadzić
wzoru Planck’a z praw klasycznej fizyki. Słuszność wzoru Planck’a oznacza
koniec fizyki klasycznej
E = hν
E = hc/λ
E – energia cząstki, ν - częstotliwość, λ-długość fali
Promieniowanie należy w pewnych przypadkach
traktować jak fale a w innych eksperymentach jako
cząstki.
To jest dualizm korpuskularno-falowy
Zjawisko fotoelektryczne
Fotoelektrony wybijane z katody,
przyspieszane przez pole elektryczne,
tworzą prąd elektryczny, który płynie
między katodą a anodą nawet po
przyłożeniu przeciwnego potencjału do
anody. Natężenie prądu
fotoelektrycznego spada do zera przy
potencjale anody równym
Uh – potencjał (napięcie) hamujące.
Ekmax= e⋅ Uh
Na wykresie natężenia fotoprądu od
przyłożonego napięcia, krzywą b
otrzymano przy dwukrotnym
zmniejszeniu natężenia światła.
Stosowane katody I grupa: Li, Cs, Rb
Einstein: światło rozchodzi się w postaci cząsteczek – fotonów, z których każdy
unosi kwant energii:
E = hν = h
c
λ
A zatem w zjawisku fotoelektrycznym spełniona jest zasada zachowania energii:
hν = W + Ek
gdzie W – praca wyjścia elektronu, charakterystyczna dla danego metalu katody.
Jeżeli Ek = 0 to
hν gr =
hc
λgr
=W
⇒
λgr =
hc
W
jest to graniczna długość światła,
przy której zachodzi zjawisko
fotoelektryczne.
Z zasady zachowania energii:
h
W
Uh = ν −
e
e
tgα =
h
e
⇒
h = e ⋅ tgα
Jest to więc sposób wyznaczenia pracy wyjścia oraz wartości stałej Plancka.
Zjawisko Comptona
Jest to drugi efekt wskazujący na
korpuskularna naturę światła.
Compton (1923) zaobserwował
rozproszone promienie X o
zmienionej długości fali. Klasyczna
teoria fal elektromagnetycznych
zjawisko rozproszenia tłumaczyła
jako pobudzenie do drgań
elektronów ośrodka rozpraszającego,
które stają się wtórnym źródłem fal
– ale bez zmiany długości !
Według teorii kwantowej zjawisko
polega na zderzeniu padającego
fotonu z elektronem swobodnym.
Podczas zderzenia foton oddaje
elektronowi jedynie część energii.
Jeżeli światło można traktować jak zbiór fotonów, należy spodziewać się
zderzeń pomiędzy fotonami i cząstkami materii (np. elektronami)
Efekt Comptona jest wynikiem rozpraszania fotunu γ na quasi-swobodnym
elektronie e w metalicznej próbce (folii)
γ + e → γ' + e’
Zasada zachowania energii:
hc
hc
+ m0 c =
+
λ
λ'
2
m0 c 2
( c)
1− v
2
Zasada zachowania pędu dla osi OX:
h
λ
=
h
cos ϕ +
λ'
foton
m0 v
( c)
1− v
2
cos ϕ
elektron
Zasada zachowania pędu dla osi OY:
0=
h
sin ϕ −
λ'
foton
m0 v
( c)
1− v
2
sin ϕ
elektron
Po wyeliminowaniu z równań v oraz ϕ otrzymujemy:
∆λ = λ '−λ =
h
(1 − cos ϕ )
m0 c
W zjawisku Comptona zmiana długości fali nie zależy
od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta
jego rozproszenia.
Dla ϕ = 00 ∆λ = 0;
dla ϕ = 1800 ∆λ = 2 Λ (rozproszenie wsteczne),
a dla ϕ = 900 ∆λ = Λ
Oba opisy światła: falowy i korpuskularny są poprawne: w pewnych
przypadkach promieniowanie elektromagnetyczne zachowuje się jak fala o
określonej długości i częstotliwości, a w innych jak zbiór fotonów o określonym
pędzie i zerowej masie spoczynkowej. Przejście od obrazu falowego do
korpuskularnego opisują wzory:
E = hν
p=
h
λ=
λ
h
mv
Dokładniej omówiony ten problem będzie w następnym rozdziale.
Model atomu Bohra
Postulaty Bohra:
I. Atom wodoru może znajdować się jedynie w ściśle określonych stanach
stacjonarnych, w których nie promieniuje energii.
II. Elektron atomu w stanie stacjonarnym porusza się tylko po takich orbitach
kołowych, dla których moment pędu jest skwantowany,
spełnia zależność: gdzie n = 1, 2, ..
Ln = n
h
2π
tzn.
III. Warunkiem wypromieniowania energii jest przejście atomu ze stanu o
energii wyższej Ek do stanu o energii niższej Ej :
hν = Ek - Ej
Skoro elektron porusza się po orbicie kołowej pod wpływem siły
kulombowskiej będącej siłą dośrodkową, to z tego warunku można obliczyć
prędkość elektronu. Zatem pęd p elektronu i jego moment pędu L można
zapisać:
me 2
p = mv =
4πε 0 r
me 2 r
L = pr =
4πε 0
Uwzględniając warunek kwantyzacji momentu pędu otrzymujemy wyrażenia na
promień orbity i energię kinetyczną elektronu.
h 2ε 0
rn = n
πme 2
2
me 4
En = −
8ε 0 h 2 n 2
Czyli promień orbity rośnie jak n2, a energia całkowita rośnie (do zera) jak 1/n2.
Jonizacji atomu odpowiada n = ∝. Wówczas całkowita energia atomu E = 0, a r
= ∝.
Energia atomu w stanie podstawowym n = 1 :
E1 = -13,6 eV
Na podstawie powyższych wzorów otrzymujemy wzór na częstość linii
widmowych atomu wodoru:
 1
me 4  1
1 
1 
ν = 2 3  2 − 2  = R ⋅ c 2 − 2 
8ε 0 h  j
k 
k 
j
gdzie R jest stałą Rydberga.
Przejścia elektronu między kwantowanymi poziomami energetycznymi można
przedstawić w postaci tzw. serii widmowych.
Linie serii zagęszczają się w
kierunku fal krótkich, a
każdą serię ogranicza linia
odpowiadająca najmniejszej
długości fali danej serii.
Przykład:
Obliczyć długość fali emitowanej przy przejściu elektronu z orbity 3 na 1.
E3 − E1 = hν 31 =
hc
λ31
E
 E   E 
=  − 21  −  − 21  = E1 − 1
λ31  3   1 
9
hc
hc
λ31
=
8
E1
9
⇒
λ31 =
9 hc
8 E1
Hipoteza de Broglie’a
1923 – Ludwik de Broglie – cząsteczki materialne, podobnie jak fale
elektromagnetyczne powinny wykazywać cechy falowe.
Pęd fotonu
pf =
Masa fotonu m f =
E hν h
=
=
c
c λ
hν
c2
stąd: cząsteczce o pędzie p i całkowitej energii E odpowiada fala płaska o
częstotliwości
ν=
E
h
i długości
λ=
h
h
=
p mv
Fala materii nie ma nic wspólnego z falą elektromagnetyczną !
Cząstce można przyporządkować grupę fal o różnych ν i określonej prędkości
grupowej.
Przykłady
Fale materii związane z obiektami mikro- i makroskopowymi:
Elektron przyspieszony różnicą potencjałów U = 150 [V] uzyskuje prędkość
mv 2
= Ue
2
→
a zatem
λ=
h
≈ ~ 10−10 m
2emU
v=
2Ue
m
≈~ 107
m
s
Klasyczny obiekt – piłka o pędzie
 m
p = mv = (1kg) 10 
 s 
h 6.6 ⋅10−34 J
λ= =
= 6.6 ⋅10−35 [m]
p 10 kg×m
s
Jak widać w przypadku obiektu makroskopowego, w porównaniu z jego
rozmiarami λ ≈ 0 tzn. nie rejestrujemy jego falowej natury.
Natomiast jeżeli cząstce można przypisać cechy falowe, to powinny istnieć
zjawiska, w których te cechy by się ujawniły – np. interferencja, czy dyfrakcja.
Doświadczenie Davissona Germera
1922 – C.J. Davisson i K.H.Germer badali zjawisko rozproszenia wiązki
elektronów przechodzącej przez folię monokryształu niklu (umieszczony w
punkcie C). Natężenie wiązki odbitej badane jest dla różnych wartości
potencjału przyspieszającego V. Prąd kolektora w detektorze (D) jest funkcją
energii kinetycznej padających elektronów i wykazuje maksimum dyfrakcyjne
dla określonego kąta ϕ odpowiadającego napięciu 54 V.
Spełniony jest warunek Bragga λ = 2dsinΘ.
Dla warunków przedstawionych na rysunku, obliczona długość fali wynosi:
λ = 2.(0.091 nm) sin65° = 0.165 nm
Natomiast długość fali obliczona ze wzoru de Broglie’a, dla napięcia
przyspieszającego 54 V:
λ=
h
=
p
h
=
2mEk
h
= 0.165nm
2mUe
Zgodność wyników jest doświadczalnym potwierdzeniem hipotezy de Broglie.
Ruch elektronów w atomach
Ruch elektronów w wiązce emitowanej z katody np.wolframowej nie jest
niczym ograniczony. Natomiast w przypadku związania elektronów z atomami,
ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii, a na dodatek ruch
ten jest kwantowany – energia ich może przyjmować tylko określone wartości.
Falę materii (stojącą), związaną z orbitą o promieniu r można przedstawić
następująco:
Długość fali musi być tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą
liczbę fal materii:
2πr = nλ
⇒
2πr = n
h
p
A więc moment pędu:
L = rp = n
h
2π
gdzie n = 1, 2,..
jest to warunek kwantyzacji Bohra !
Zasada nieoznaczoności Heisenberga (1927)
Z dyfrakcji światła na szczelinie
1-sze minimum dyfrakcyjne powstaje pod kątem α
λ
2
=
∆x
sin α
2
λ = ∆x sin α
x
P0
px
Wiązka elektronów cząstek przechodzących przez szczelinę doznaje zmiany
pędu ∆px w kierunku równoległym do szczeliny
∆px = p sin α
λ = ∆x sin α
h
= ∆x sin α
p
h
= p sin α
∆x
⇒
h
= ∆px
∆x
Elektrony (fale) tworzące maksima wyższych rzędów doznają większego
odchylenia stąd
∆px ∆x = h
∆px ∆x ≥ h
∆p y ∆y ≥ h
∆pz ∆z ≥ h
Iloczyn nieokreśloności pędu i jej położenia w danym kierunku jest zawsze
większy od stałej Plancka
Nieoznaczoność energii i czasu
dpdx = mdvdx = m
dv
dxdt = madxdt = Fdxdt = dEdt
dt
stąd
∆p∆x = ∆E ∆t
⇒
∆E ∆t ≥ h
Przykład
Stan wzbudzenia atomu charakteryzuje energia i czas wzbudzenia . niepewność
h 6.63 ⋅10−34
określenia energii: ∆E ≥ =
≈ ~ 6.6 ⋅10 −26 J ≥ 4 ⋅10−7 eV . Dokładność
−8
∆t
10
określenia stanu wzbudzenia atomu jest rzędu 10-7 eV.