Autoreferat - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Komentarze

Transkrypt

Autoreferat - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
dr Stanisław Kowalczyk
Instytut Matematyki
Akademii Pomorskiej w Słupsku
Załącznik 1
AUTOREFERAT
1. Imię i nazwisko: Stanisław Franciszek Kowalczyk
2. Posiadane dyplomy i stopnie naukowe:
- dyplom magistra matematyki Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Mechaniki i Informatyki, 1988
tytuł pracy magisterskiej - Indeks operatora δ na powierzchni riemannowskiej, promotor doc Tadeusz Mostowski
- stopień doktora matematyki Uniwersytet Łódzki, Wydział Matematyki,
Fizyki i Chemii, 1994
tytuł pracy doktorskiej Własności algebraiczne funkcji przewyższająco
ciągłych w sensie O’Malley’a, Denjoy i Grandego, promotor prof. dr hab.
Zbigniew Grande.
3. Dotychczasowe zatrudnienie w jednostkach naukowych Instytut Matematyki Akademii Pomorskiej w Słupsku, od 1.10.1988 na stanowisku asystenta, od 1.10.1994 na stanowisku adiunkta, od 1.10.2006 na stanowisku starszego
wykładowcy.
4. Osiągnięcia wynikające z art. 16 ust. 2 z dnia 14 marca 2003r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach w zakresie sztuki sztuki stanowi
rozprawa: The ω-problem, Dissertationes Mathematicae, vol. 501 (2014),
Impact Factor w 2014 - 0,439.
Rozprawa składa się ze wstępu i czterech rozdziałów.
a) Wprowadzenie
Pojęcie oscylacji funkcji rzeczywistej znane jest od ponad 100 lat i szeroko wykorzystywane w analizie rzeczywistej, w szczególności do badania
ciągłości funkcji rzeczywistej. Problem zbadania rodziny funkcji, które są
oscylacjami innych funkcji jest bardzo naturalny.
Od dawna wiadomo, że oscylacja dowolnej funkcji rzeczywistej określonej na przestrzeni metrycznej jest nieujemna, półciągła z góry i znika w
punktach izolowanych. ω-pierwotną dla półciągłej z góry i znikającej w
punktach izolowanych funkcji rzeczywistej f : X → [0, ∞] określonej w
przestrzeni topologicznej X nazywamy funkcję F : X → R, której oscylacja ω(F, ·) jest równa f . Przez ω-problem rozumiemy zagadnienie istnienia ω-pierwotnej dla dowolnej nieujemnej, półciągłej z góry i znikającej w punktach izolowanych funkcji rzeczywistej określonej w przestrzeni
topologicznej X. Najprawdopodobniej, pierwsze rezultaty dotyczące tego
zagadnienia pochodzą z pracy Kostyrki [K2] z 1980 roku. Zagadnienia dotyczące badania ω-pierwotnej były szeroko badane na przełomie XX i XXI
wieku, [Du, Di, B2, Ew1, Ew2, Ew3, K1, K3, Mas1, Mas2, Mas3]. Całkowite, pozytywne rozwiązanie ω-problemu dla przestrzeni metrycznych
zostało dokonane w pracy Ewert, Ponomarev [Ew2]. Dokładnie mówiąc
prawdziwe są następujące twierdzenia.
Twierdzenie 0.1. [Ew2, Theorem 3] Niech (X, d) będzie przestrzenią
metryczną, a f : X → [0, ∞) dowolną funkcją półciągłą z góry i znikającą
w punktach izolowanych X. Wówczas dla każdej półciągłej z dołu funkcji
g : X → (0, ∞) istnieje funkcja F : X → R taka, że ω(F, ·) = f oraz
−g ¬ F ¬ f .
Twierdzenie 0.2. [Ew2, Theorem 4] Niech (X, d) będzie przestrzenią
metryczną, a f : X → [0, ∞] dowolną funkcją półciągłą z góry i znikającą
w punktach izolowanych X. Wówczas istnieje funkcja F : X → R taka,
że ω(F, ·) = f .
W przypadku przestrzeni niemetryzowalnych kompletne rozwiązanie problemu ω-pierwotnej dalej jest nieznane. Znaleziono tylko kilka częściowych wyników [Di, Ew3], [1,14] głównie dla przestrzeni Baire’a. Warto
nadmienić, że przy badaniu istnienia ω-pierwotnej najprostszym przypadkiem jest sytuacja, gdy przestrzeń jest izolowana, a funkcje mają
wartości skończone. Jeśli dopuścimy istnienie punktów izolowanych lub
wartości nieskończonych zagadnienie się komplikuje i do istnienia funkcji ω-pierwotnej w tych przypadkach wymagane są dodatkowe założenia.
Okazało się, że ω-problem dla przestrzeni niemetryzowalnych jest ściśle
związany z pojęciem przestrzeni rozwiązalnej wprowadzonej przez Hewitta w 1941 roku [H1]. Przestrzeń topologiczna jest rozwiązalna jeśli zawiera
dwa rozłączne podzbiory gęste. Pojęcie rozwiązalności przestrzeni i jego
uogólnień było i jest bardzo szeroko badane. W szczególności każda przestrzeń metryzowalna w sobie gęsta [S], każda w sobie gęsta przestrzeń
spełniająca I aksjomat przeliczalności [H1] i każda w sobie gęsta i lokalnie zwarta przestrzeń topologiczna jest rozwiązalna. Z drugiej strony dla
każdej całkowicie regularnej i gęstej w sobie topologii T w zbiorze X istnieje bogatsza od niej topologia T ? taka, że (X, T ? ) nie jest rozwiązalna
[H1].
b) Rozdział I Własności operatora ω −1
W rozdziale tym badane są własności zbioru {F : ω(F, ·) = f } dla ustalonej funkcji f . Dokonano tu pełnej charakteryzacji zbioru {F : ω(F, ·) = f }
zarówno w przypadku ciągłej funkcji f o wartościach skończonych (Twierdzenie 2.1) jak i ciągłej funkcji o wartościach nieskończonych (Twierdzenie
2.7). Udowodniono również, że rozwiązalność w sobie gęstej przestrzeni
topologicznej jest warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązania ωproblemu dla skończonych funkcji ciągłych (Twierdzenie 2.3). Podobny
rezultat pokazano dla przestrzeni z punktami izolowanymi (Twierdzenie
2.5). Ponadto przedstawiono szereg własności zbioru {F : ω(F, ·) = f } dla
dowolnej funkcji półciągłej z góry. Własności te uogólniły wyniki dotyczące związków między rozwiązalnością przestrzeni topologicznej i istnieniem
ω-pierwotnej otrzymanych w [Di, Ew3].
c) Rozdział II Podstawowe twierdzenia
W drugim rozdziale przedstawiono kilka nowych warunków gwarantujących pozytywne rozwiązanie ω-problemu. Podstawowym narzędziem było
Twierdzenie 3.4 pozwalające sprowadzić szukanie ω-pierwotnej funkcji f
do szukania odpowiedniego podzbioru przestrzeni X, (zależnego od f ).
W kryteriach gwarantujących rozwiązanie ω-problemu pomocnym pojęciem okazała się, wprowadzona przeze mnie, regularna rozwiązalność
przestrzeni (Definicja 3.1). Wykorzystując to narzędzia podałem nowy,
dużo krótszy dowód rozwiązania ω-problemu dla przestrzeni metrycznych
i dla przestrzeni Baire’a. Rozwiązłem również ω-problem dla przestrzeni
ośrodkowych i udowodniłem, że każda przestrzeń spełniająca I aksjomat
przeliczalności jest homeomorficzna z domkniętym podzbiorem przestrzeni w której istnieje pozytywne rozwiązanie ω-problemu.
d) Rozdział III ω-problem w przestrzeniach masywnych
W tym rozdziale omówiłem zagadnienie rozwiązania ω-problemu w topologicznych przestrzeniach masywnych, czyli w przestrzeniach, w których
żaden niepusty zbiór otwarty nie jest σ-dyskretny. Przestrzenie te muszą oczywiście być w sobie gęste. W tych przestrzeniach ω-pierwotna ma
szczególnie prostą postać-jest iloczynem wyjściowej funkcji i funkcji charakterystycznej pewnego zbioru. Wniosek 4.7 podaje warunek konieczny
i dostateczny, przy którym każda funkcja półciągła z góry o wartościach
skończonych określona na przestrzeni masywnej ma ω-pierwotną tej postaci. Następne wyniki te zostały przeniesione na funkcje o wartościach
nieskończonych.
e) Rozdział IV ω ∗ -problem
W kolejnym rozdziale omówiłem, postawiony przeze mnie, tak zwany ω ∗ problem, czyli problem znalezienia dla danej funkcji półciągłej z góry
f : X → R określonej na przestrzeni w sobie gęstej, funkcji spełniającej
równość ω ∗ (F, ·) = f , gdzie
ω ∗ (F, x) = lim sup{|f (y) − f (z)| : y, z ∈ U, y 6= x 6= z} =
U ∈N (x)
= lim sup f (t) − lim inf f (t),
t→x
t→x
a N (x) jest bazą otoczeń punktu x ∈ X. Mimo podobnego sformułowania
metody rozwiązania ω ∗ -problemu są całkiem odmienne. W rozprawie ω ∗ problem został pozytywnie rozwiązany w pełni dla przestrzeni metrycznych. Pokazano nawet więcej: dla każdej pary funkcji f, g : X → R, f
półciągłej z góry, g półciągłej z dołu, g < f określonych na gęstej w sobie
przestrzeni metrycznej istnieje F : X → R taka, że f (x) = lim sup F (t)
t→x
oraz g(x) = lim inf F (t) dla x ∈ X. Dla klasycznego ω-problemu taka włat→x
sność nie jest prawdziwa. W ostatniej części rozdziału pokazałem podobne
wyniki dla funkcji o wartościach nieskończonych oraz podałem przykład
przestrzeni niemetryzowalnej, którą okazała się płaszczyzna Niemyckiego,
w której problem ω ∗ nie ma pozytywnego rozwiązania.
e) Rozdział V ω-problem dla funkcji o wartościach w przestrzeni
metrycznej
Ostatni rozdział rozprawy zawiera analizę ω-problemu dla funkcji o wartościach w przestrzeni metrycznej. Pokazano tu, że jeśli przestrzeń metryczna Y zawiera podzbiór monotonicznie homeomorficzny z prostą to
prawie wszystkie uzyskane wyniki pozostają prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni metrycznych (pojęcie monotonicznego homeomor-
fizmu zostało wprowadzone przeze mnie w rozprawie Definicje 6.1 i 6.2).
Dokładnie mówiąc jeśli ω-problem ma rozwiązanie w przestrzeni X, to
dla każdej funkcji f : X → [0, ∞) półciągłej z góry istnieje funkcja
F : X → Y taka, że ω(F, ·) = f . Klasa przestrzeni metrycznych spełniających warunki przedstawione w tym rozdziale jest szeroka, zawiera między
innymi metryczne przestrzenie liniowe, wykresy funkcji lipschitzowskich
f : R → (Y, %) ze stałą L < 1 oraz prostą z metrykami wprowadzonymi
przez funkcje monotoniczne.
5. Pozostałe osiągnięcia naukowo-badawcze składają się następujące publikacje.
Publikacje naukowe w czasopismach znajdujących się w bazie Journal
Citation Report (JRC).
1. S.P. Ponomarev, S. Kowalczyk - On the ω-problem for some types of nonmetrizable functions, Topology Appl., (156) 2009, 2507-2514,
Impact Factor w 2009 - 0,441. (mój udział oceniam na 50 procent)
2. S.Kowalczyk, S. Ponomarev, On some properties of approximations, Topology
Appl., 158 (2011), 1140-1148,
Impact Factor w 2011 - 0,445. (mój udział oceniam na 50 procent)
3. S. Kowalczyk, On operations in C(X) determined by continuous functions,
Acta Math. Hungar. 142 (1) (2014), 56–71,
Impact Factor w 2014/2015 - 0,429.
4. S. Kowalczyk, S. Ponomarev, A criterion for absolute continuity, Nonlinear
Analysis TM&A, 90 (2013) 113-120,
Impact Factor w 2013 - 1,612. (mój udział oceniam na 50 procent)
5. S. Kowalczyk On O’Malley preponderantly continuous functions, Math. Slovaca 66 (2016), No. 1, 107–118,
Impact Factor w 2014 - 0,409 (najpóźniejszy Impact Factor z dostępnych).
6. S. Kowalczyk, M. Turowska On the Property N −1 , Abstract and Applied Analysis Vol. 2016,
http://dx.doi.org/10.1155/2016/1256906
Impact Factor w 2013 - 1,270 (najpóźniejszy Impact Factor z dostępnych).
(mój udział oceniam na 50 procent)
Publikacje naukowe w pozostałych czasopismach
7. J. Ewert, S. Kowalczyk - On pt-spaces, Tatra Mount. Math. Publ., (28) 2004,
1-11. (mój udział oceniam na 50 procent)
8. S. Kowalczyk, K. Nowakowska - A note on %–continuous functions, Tatra Mount. Math. Publ., (44) 2009, 153-158. (mój udział oceniam na 50 procent)
9. S. Kowalczyk, K. Nowakowska, A note on the [0]-upper continuous functions,
Tatra Mount. Math. Publ., (58) No 1, 2014, 111-128. (mój udział oceniam na
50 procent)
10. S. Kowalczyk - Topological convergence of multivaled maps and topological convergence of graphs, Demonstratio Math., (27) 1994, 79-87.
11. S. Kowalczyk - Problem of the existence of ω ∗ -primitive, Scientific Issues, Jan
Długosz University of Częstochowa, Mathematics XII, 2007, 61-67.
12. J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk - Remarks on connectivity and k-konectivity,
Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics XII,
2007, 49-54. (mój udział oceniam na 50 procent)
13. J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk - k-connectivity, Scientific Issues, Jan Długosz
University of Częstochowa, Mathematics XIII, 2008, 15-26. (mój udział oceniam na 50 procent)
14. S. Kowalczyk - On the equation ω(f, ·) = f , Scientific Issues, Catholic University in Rużomberok, Mathematica II, 2009, 35-40.
15. S. Kowalczyk - On Whitney convergence, Journal of Applied Analysis, (15)
2009, 139-148.
16. S. Kowalczyk - On preponderantly continuous function, Scientific Issues, Jan
Długosz University of Częstochowa, Mathematics XIV, 2009, 75-86.
17. S. Kowalczyk - Some properties of continuous functions, Scientific Issues, Catholic University in Rużomberok, Mathematica III, 2009, 53-60.
18. S. Kowalczyk Weak Openness of Multiplications in the space C(0,1), Real Analysis Exchange, 35 (2010), 245-252.
19. S. Kowalczyk, K. Nowakowska, Maximal Classes for the Family of [λ, %]-Continuous
Functions, Real Analysis Exchange, 37 (2012 (1)), 307-324. (mój udział oceniam na 50 procent)
20. S. Kowalczyk, Some algebraic properties of preponderantly continuous functions, Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics
XVI, 2011, 39-46.
21. S.Kowalczyk, K. Nowakowska, Maximal classes for %-upper continuous functions, Journal of Applied Analysis 19 (2013), 69-89. (mój udział oceniam na
50 procent)
22. S. Kowalczyk, Uniform limits of preponderantly continuous functions, Real
Analysis Exchange, vol. 38 No. 1 (2013), 241-256.
23. S. Kowalczyk, On local Whitney convergence, Prace Matematyczne Jan Długosz University of Częstochowa, Matematyka XVII, (2012), 57-68.
24. R. Drozdowski, J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk, A. Sochaczewska Monografia
Traditional and present-day topics in real analysis Rozdział 8 On uniform
convergence and some related types of convergence Wydawnictwo Uniwersytetu
Łódzkiego (2013), 93-112 . (mój udział oceniam na 25 procent)
25. S.Kowalczyk, K. Nowakowska Monografia Traditional and present-day topics
in real analysis Rozdział 26 Path continuity connected with the notion of density 449-472, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego (2013). (mój udział oceniam na 50 procent)
26. J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk, Generalized cluster sets of real functions, Tatra
Mount. Math. Publ., (62) 2015, 27-43. (mój udział oceniam na 50 procent)
27. S.Kowalczyk, M. Turowska Monografia Modern real analysis Rozdział 8 Path
continuity connected with density and porosity 105-126, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego (2016). (mój udział oceniam na 50 procent)
Prace [1, 11, 14 ] zawierają wyniki związane z ω-problemem. W [1] omówiono
ω-problem dla przestrzeni [0, m] i funkcji o wartościach nieskończonych, gdzie m
jest dowolną liczbą kardynalną. Okazuje się, że istnienie ω-pierwotnej dla funkcji
f : [0, m] → [0, ∞] zależy od własności zbiorów I(f ) = {x : f (x) = ∞} oraz zbioru
tych licz porządkowych, które nie są granicami przeliczalnego ciągu mniejszych liczb
porządkowych - Fm . Funkcja f ma ω-pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór I ∩Fm
nie ma punktów izolowanych. Druga część pracy omawia ω-problem dla funkcji określonych na przestrzeni regularnych, w których wszystkie ciągłe funkcje rzeczywiste
są stałe. Okazuje się, że dla takich przestrzeni rozstrzygnięcie ω-problemu nawet
dla funkcji przyjmujących dwie wartości 0 i ∞ jest dość skomplikowane i zależy od
spełnienia tak zwanego warunku S.
W pracy [14] badano własności równania funkcyjnego ω(f, ·) = f . Pokazano
warunki konieczne i dostateczne jakie funkcja musi spełniać, aby być rozwiązaniem
tego równania (warunki te uogólniały wyniki Kostyrki z [K2]). W drugiej części
pracy opisano przestrzenie, w których każda półciągła z góry i znikająca w punktach
izolowanych funkcja rzeczywista spełnia równanie ω(f, ·) = f .
Praca [11] zawiera część wyników dotyczących problemu ω ∗ -problemu, które zostały rozszerzone w głównej rozprawie.
Prace [4, 6] dotyczą klasycznych zagadnień teorii funkcji rzeczywistych. W [4]
sformułowano nowy warunek równoważny, przy którym funkcja całkowalna na przedziale jest równoważna z funkcją absolutnie ciągłą. Warunek ten jest wyrażony przy
pomocy całki z iloczynu danej funkcji i funkcji próbnych. Nastęnie uogólniono otrzymane wyniki na funkcje dwóch zmiennych oraz sformułowano warunek przy którym
funkcja jest n-krotnie różniczkowalna i n-ta pochodna jest równoważna z funkcją
absolutnie ciągłą. W [6] pokazano, że trzecie twierdzenie Banacha mówiące, że każda funkcja ciągła spełniająca warunek Łuzina (obraz zbioru miary 0 ma miarę 0)
jest różniczkowalna na zbiorze dodatniej miary nie da się przenieść na sytuację,
gdy warunek Łuzina zastąpimy warunkiem N −1 wprowdzonym w [Pon] (przeciwobraz zbioru miary 0 ma miarę 0). Pokazano również, że teza trzeciego twierdzenia
Banacha nie zachodzi dla funkcji nieciągłych na zbiorze przeliczalnym.
Prace [5, 8, 9, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 27] zawierają tematykę zapoczątkowaną
w mojej pracy doktorskiej. Omawiane są w nich rezultaty badań dotyczących ciągłości ścieżkowej. Ciągłość ta, będąca uogólnieniem ciągłości aproksymatywnej jest
tematyką bardzo wielu badań. W [5, 16, 20] przedstawione są wyniki związane z
zagadnieniami dotyczącymi przewyższającej ciągłości, znanej od lat 20-tych dwudziestego wieku. Omówione są tu różne rodzaje przewyższającej ciągłości, związki
między nimi, maksymalne klasy addytywne, maksymalne klasy multiplikatywne oraz
maksymalne klasy ze względu na minimum i maksimum. Praca [22] również dotyczy
ciągłości przewyższającej i omawia granice jednostajne ciągu funkcji przewyższająco
ciągłych. Praca [19] omawia podobne zagadnienia dla funkcji [λ, %]-ciągłych, których
definicja uogólnia pojęcie przewyższającej ciągłości.
W [8] wprowadziliśmy wspólnie z K. Nowakowską pojęcie funkcji górnie %-ciągłych,
w których definicji używa się gęstości górnej, a nie dolnej, jak w przypadku funkcji
przewyższjąco ciągłych i [λ, %]-ciągłych. Funkcje górnie % ciągłe były później badane
przez innych matematyków, [KWB], [BGW]. W [8] pokazano mierzalność funkcji
górnie % ciągłych i to, że dla % < 12 nie muszą być funkcjami I klasy Baire’a. Wynik
ten został później uogólniony w [KWB] na wszystkie % ∈ (0, 1]. W [21] zbadano
maksymalne klasy addytywne i multiplikatywne dla tych funkcji. Pokazano tu między innymi związek tych klas ze zbiorami rzadkimi i tak zwaną T ∗ ciągłością, które
były wprowadzone pw [SD] i [F].
Prace [2, 3, 17, 18] dotyczą zapoczątkowanego przez M. Balcerzaka i A. Wachowicz zagadnienia badania otwartości i słabej otwartości mnożenia w przestrzeni
funkcji ciągłych określonych na [0, 1]. W [18] pozytywnie odpowiedziano na pytanie
postawione przez A. Wachowicza na XXIII Summer Conference on Real Function
Theory, Stara Lesna (2009) o słabą otwartość mnożenia funkcji ciągłych na (0, 1).
Pokazano tu również, że mnożenie w tej przestrzeni nie jest odwzorowaniem ciągłym.
W [2] zbadano zagadnienie aproksymacji funkcji ciągłych f : Rn → Rm funkcjami
ciągłymi, których obraz omija pewne podzbiory Rm . Zagadnienie to jest centralnym
punktem badania słabej otwartości. Z kolei, w [3] uogólniono wyniki A. Komisarskiego [Kom] dotyczące związku otwartości i słabej otwartości mnożenia funkcji ciągłych
określonych na zwartej przestrzeni topologicznej z wymiarem topologicznym przestrzeni X. Zbadano tu podobne zagadnienia dla szerszej klasy działań, nie tylko
mnożenia, i pokazano, że własności podobne do mnożenia ma wiele innych działań.
Praca [17] zawiera prosty dowód, faktu że każda funkcja ciągła f : Rn → Rn bliska
identyczności w metryce zbieżności jednostajnej jest surjekcją.
Prace [15,23,24] badają własności różnych typów zbieżności ciągów funkcyjnych.
W [15] wyprowadzono warunek rónoważny zbieżności Whitneya ciągów funkcji ciągłych określonych na normalnej przestrzeni topologicznej. W [23] sformułowano kilka, nierównoważnych lokalnych definicji zbieżności Whitneya i omówiono ich własności. W [24] omówiono zależności różnych typów zbieżności ciągów funkcyjnych.
W [12,13] omówiono własności pojęcia uogólnionej spójności. W [7] zbadano
tak zwane pt-przestrzenie wprowadzone w [Ku]. Artykuł [10] bada związek między zbieżnością ciągów odwzorowań wielowartościowych i zbieżnością topologiczną
ich wykresów. Praca [26] rozważa własności uogólnionych liczb granicznych funkcji
rzeczywistych.
Literatura
[BGW] M. Bienias, S. Głąb, W. Wilczyński, Cardinality of sets of %-upper and %lower continuous functions, Bull. Soc. Sci. Lettres Łódź Ser. Rech. Deform. 64
(2014), 71–80.
[B1] J. Borsík, On oscillation of limit functions, Acta Math. Univ. Comenian. 60
(1991), 211–217.
[B2] J. Borsík, Oscillation for quasicontinuity, Tatra Mt. Publ. 14 (1998), 117–125.
[Di] C. Di Bari and C. Vetro, The primitive with respect to oscillation, Rend. Circ.
Mat. Palremo (2) 51 (2002), no. 1, 175–178.
[Du] Z. Duszyǹski, Z. Grande and S. Ponomarev, On the ω-primitive, Math. Slovaca
51 (2001), 469–476.

Podobne dokumenty