Wyk lad 10 Przekszta lcenia liniowe

Wyklad 10
Przeksztalcenia liniowe
1
Określenie przeksztalcenia liniowego
Niech U i V bed
, a, przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Mówimy, że przeksztalcenie
f : U → V jest liniowe, jeśli spelnia warunki:
L1. f (α + β) = f (α) + f (β) dla dowolnych wektorów α, β ∈ U ;
L2. f (a ◦ α) = a ◦ f (α) dla każdego α ∈ U oraz dla każdego a ∈ K.
Twierdzenie 10.1. Niech f : U → V bedzie
przeksztalceniem liniowym. Wówczas:
,
(i) f (Θ) = Θ;
(ii) f (α − β) = f (α) − f (β) dla dowolnych α, β ∈ U ;
(iii) f (a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn ) = a1 ◦ f (α1 ) + . . . + an ◦ f (αn ) dla dowolnych α1 , . . . , αn ∈ U ,
a1 , . . . , an ∈ K oraz n ∈ N.
Przyklad 10.2. Dla dowolnego ciala K przeksztalcenie f : K → K jest liniowe wtedy, i tylko
wtedy, gdy jest postaci:
f (x) = a · x.
dla pewnego a ∈ K.2
Przyklad 10.3. Dla dowolnego ciala K przeksztalcenie f : K 2 → K 2 jest liniowe wtedy, i
tylko wtedy, gdy jest postaci:
f ([x, y]) = [ax + by, cx + dy]
dla pewnych a, b, c, d ∈ K.2
Przyklad 10.4. Dla dowolnego ciala K przeksztalcenie
f : K 3 → K 3 jest liniowe wtedy, i tylko wtedy, gdy jest postaci:
f ([x, y, z]) = [a1 x + b1 y + c1 z, a2 x + b2 y + c2 z, a3 x + b3 y + c3 z]
dla pewnych a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 ∈ K.2
Przyklad 10.5. Dla dowolnych przestrzeni liniowych U i V nad cialem K przeksztalcenie
f : U → V dane wzorem f (α) = Θ dla α ∈ U jest liniowe. Nazywamy je przeksztalceniem
zerowym.2
Przyklad 10.6. Niech V bedzie
przestrzenia, liniowa, nad cialem K i niech a bedzie
dowolnym
,
,
skalarem. Przeksztalcenie fa : V → V dane wzorem: fa (α) = a ◦ α dla α ∈ V jest liniowe.
Nazywamy je homotetia, o wspólczynniku a.2
1
2
Jednoznaczność przeksztalcenia liniowego
Twierdzenie 10.7. Niech {α1 , α2 , . . . , αn } bedzie
baza, przestrzeni liniowej U nad cialem
,
K oraz niech β1 , β2 , . . . , βn bed
a
dowolnymi
wektorami
przestrzeni liniowej V . Wtedy istnieje
, ,
dokladnie jedno przeksztalcenie liniowe f : U −→ V takie, że
f (α1 ) = β1 , f (α2 ) = β2 , . . . , f (αn ) = βn .
Ponadto takie przeksztalcenie f jest dane wzorem:
f (a1 ◦ α1 + . . . + an ◦ αn ) = a1 ◦ β1 + . . . + an ◦ βn
(1)
dla dowolnych skalarów a1 , a2 , . . . , an ∈ K.
Z twierdzenia 10.7 wynika w prosty sposób nastepuj
ace
,
,
Twierdzenie 10.8. Niech K bedzie
cialem. Przeksztalcenie
,
n
m
f : K → K jest liniowe wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje m × n-macierz A o wyrazach aij z
ciala K taka, że
f ([x1 , . . . , xn ]) = [a11 x1 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + . . . + amn xn ]
(2)
dla dowolnych x1 , x2 , . . . , xn ∈ K.
Wzór (2) nazywamy wzorem analitycznym przeksztalcenia liniowego f . Natomiast macierz
A nazywamy macierza, przeksztalcenia f .
Otrzymujemy w ten sposób naturalna, wzajemnie jednoznaczna, odpowiedniość miedzy
zbiorem
,
n
m
wszystkich przeksztalceń liniowych przestrzeni K w przestrzeń K , a zbiorem wszystkich
m × n-macierzy o wyrazach z K.
3
Jadro
i obraz przeksztalcenia liniowego
,
Niech f : U → V bedzie
przeksztalceniem liniowym przestrzeni liniowej U w przestrzeń
,
liniowa, V .
Jadrem
przeksztalcenia f nazywamy zbiór Ker f określony wzorem:
,
def
Ker f = {α ∈ U : f (α) = Θ}.
(3)
Obrazem przeksztalcenia f nazywamy zbiór Im f określony wzorem:
def
Im f = {f (α) : α ∈ U }.
(4)
Z twierdzenia 10.1 wynika w prosty sposób nastepuj
ace
,
,
Twierdzenie 10.9. Jeżeli f : U → V jest przeksztalceniem liniowym, to Ker f jest podprzestrzenia, przestrzeni liniowej U , zaś Im f jest podprzestrzenia, przestrzeni liniowej V .
Przyklad 10.10. Znajdziemy bazy obrazu i jadra
przeksztalcenia liniowego f : R3 → R3
,
określonego wzorem:
2
f ([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 + 2x2 − x3 , x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 3x2 + x3 ].
W tym celu rozwiazujemy
najpierw uklad
,


 x1 +
x1 +

 2x +
1
równań:
2x2 − x3 = 0
x2 + 2x3 = 0 .
3x2 + x3 = 0
Po zastosowaniu
( operacji: r2 − r1 i r3 − 2r1 i wykreśleniu trzeciego równania uzyskamy uklad
x1 + 2x2 − x3 = 0
równoważny
.
− x2 + 3x3 = 0
Nastepnie
wykonujemy operacje: (−1) · r2 oraz r1 − 2 · r2 . W rezultacie uzyskamy uklad postaci:
,
(
x1
+ 5x3 = 0
.
x2 − 3x3 = 0
Stad
, mamy, że x3 = t, x1 = −5t, x2 = 3t, gdzie t jest dowolna, liczba, rzeczywista.
, Zatem
Ker f = {[−5t, 3t, t] : t ∈ R} = L([−5, 3, 1]).
Stad
, {[−5, 3, 1]} jest baza, Ker f i dim(Ker f ) = 1.
Nastepnie
wyznaczamy baze, Im f . Zauważmy, że
,
Im f = {[x1 + 2x2 − x3 , x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 3x2 + x3 ] : x1 , x2 , x3 ∈ R}.
Ale [x1 + 2x2 − x3 , x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 3x2 + x3 ] = x1 ◦ [1, 1, 2] + x2 ◦ [2, 1, 3] + x3 ◦ [−1, 2, 1],
wiec
, operacje elementarne w2 − 2 · w1 , w3 + w1 ,
, Im f = L([1, 1, 2], [2, 1, 3], [−1, 2, 1]). Stosujac
a nastepnie
(−1) · w2 i w3 −3 · w2 na wierszach
macierzy A otrzymanego ukladu wektorów
,

1 1 2


znajdujemy baze, Im f : A ≡  0 1 1 . Zatem baza, Im f jest zbiór {[1, 1, 2], [0, 1, 1]} oraz
0 0 0
dim(Im f ) = 2.2
Twierdzenie 10.11. Niech U bedzie
skończenie wymiarowa, przestrzenia, liniowa, nad cialem
,
K i niech V bedzie
przestrzenia, liniowa, nad cialem K. Jeżeli f : U → V jest przeksztalceniem
,
liniowym, to zachodzi wzór:
dim(Ker f ) + dim(Im f ) = dim(U ).
(5)
Twierdzenie 10.12. Niech A bedzie
macierza, wspólczynników jednorodnego ukladu m,
równań liniowych z n-niewiadomymi nad cialem K. Wówczas wymiar podprzestrzeni rozwiazań
,
tego ukladu jest równy n − r(A).
Twierdzenie 10.13. Każda podprzestrzeń k-wymiarowa przestrzeni K n jest zbiorem rozwiazań
pewnego ukladu jednorodnego co najmniej n − k równań liniowych z n-niewiadomymi.
,
Przyklad 10.14. Znajdziemy uklad jednorodny równań liniowych nad cialem R, którego
przestrzenia, rozwiazań
jest V = L([1, −1, 1], [1, 1, −1]). Najpierw znajdujemy baze, przestrzeni
,
3
V
"
#
":
#
"
#
1
·w2
1 −1
1
1 −1
1 w2 −w1
1 −1
1
2
≡
. Zatem baza, przestrzeni V jest
≡
0
1 −1
1
1 −1
0
2 −2
{[1, −1, 1], [0, 1, −1]}.
Nastepnie
uzupelniamy znaleziona, baze, przestrzeni V do bazy calej przestrzeni R3 przy po,
mocy wektora [0, 0, 1]. Istnieje przeksztalcenie liniowe f : R3 → R takie, że f ([1, −1, 1]) = 0,
f ([0, 1, −1]) = 0, f ([0, 0, 1]) = 1. Wtedy f ([0, 1, 0]) = f ([0, 1, −1]) + f ([0, 0, 1]) = 0 + 1 = 1 oraz
f ([1, 0, 0]) = f ([1, −1, 1]) − f ([0, 1, −1]) = 0 − 0 = 0. Zatem dla dowolnych x1 , x2 , x3 ∈ R mamy,
że f ([x1 , x2 , x3 ]) = x1 · f ([1, 0, 0]) + x2 · f ([0, 1, 0]) + x3 · f ([0, 0, 1]) = x2 + x3 . Ale dim(Im f ) = 1,
wiec
,
, dim(Ker f ) = 3 − 1 = 2. Ponadto V ⊆ Ker f oraz dim(V ) = 2, wiec
, V = Ker f . Stad
szukanym ukladem równań jest: x2 + x3 = 0.2
4
Macierz przeksztalcenia liniowego
Niech U i V bed
, a, przestrzeniami liniowymi nad tym samym cialem K. Niech (α1 , . . . , αn )
bedzie
uporzadkowan
a, baza, przestrzeni U i niech (β1 , . . . , βm ) bedzie
uporzadkowan
a, baza, prze,
,
,
,
strzeni V . Niech f : U → V bedzie
przeksztalceniem liniowym. Wówczas dla j = 1, . . . , n
,
istnieja, skalary a1j , a2j , . . . , amj ∈ K takie, że
f (αj ) = a1j ◦ β1 + a2j ◦ β2 + . . . + amj ◦ βm .
W ten sposób otrzymujemy m × n-macierz

a11 a12 . . . a1n

 a21 a22 . . . a2n
A=
..
..
..
 ..
.
.
.
 .
am1 am2 . . . amn
(6)



,


(7)
która, nazywamy macierza, przeksztalcenia f w tych bazach uporzadko-wanych.
Widzimy
,
wiec,
że j-ta kolumna macierzy A sklada sie, z kolejnych wspólczynników rozpisania wektora
,
f (αj ) w bazie (β1 , . . . , βm ).
Twierdzenie 10.15. Rzad
, macierzy przeksztalcenia liniowego jest równy wymiarowi obrazu
tego przeksztalcenia.
Przyklad 10.16. Znajdziemy macierz przeksztalcenia liniowego f : R2 → R2 danego wzorem
f ([x1 , x2 ]) = [2x1 + x2 , x1 − x2 ] w bazie (ε1 + ε2 , ε2 ). W tym celu obliczamy
f (ε1 + ε2 ) = f ([1, 1]) = [2 · 1 + 1, 1 − 1] = [3, 0] = 3 ◦ [1, 0] = 3 ◦ [1, 1] + (−3) ◦ [0, 1] oraz
f (ε2 ) = f ([0, 1]) = [2 · 0 + 1, 0 − 1] = [0, −1] = (−1) ◦ [0, 1] = 0 ◦ [1, 1] + (−1) ◦ [0, 1]. Stad
,
szukana, macierza, jest
"
#
3
0
A=
.2
−3 −1
4
Przyklad 10.17. Macierz przeksztalcenia liniowego f : U → V w bazie (α1 , α2 , α3 , α4 )
przestrzeni U oraz w bazie (β1 , β2 , β3 ) przestrzeni V ma postać


1 0 −2 1


0 2 .
 3 1
4 1
5 0
Wówczas f (5 ◦ α1 − 3 ◦ α2 + 4 ◦ α3 − α4 ) = 5 ◦ f (α1 ) − 3 ◦ f (α2 ) + 4 ◦ f (α3 ) − f (α4 ). Ale
f (α1 ) = 1 ◦ β1 + 3 ◦ β2 + 4 ◦ β3 , f (α2 ) = 0 ◦ β1 + 1 ◦ β2 + 1 ◦ β3 , f (α3 ) = (−2) ◦ β1 + 0 ◦ β2 + 5 ◦ β3 ,
f (α4 ) = 1 ◦ β1 + 2 ◦ β2 + 0 ◦ β3 , wiec
, f (5 ◦ α1 − 3 ◦ α2 + 4 ◦ α3 − α4 ) = (−4) ◦ β1 + 10 ◦ β2 + 37 ◦ β3 .2
5
Zadania do samodzielnego rozwiazania
,
Zadanie 10.18. Znajdź przeksztalcenie liniowe f przestrzeni R3 na przestrzeń R2 takie, że
[1, 1, −1] ∈ Ker(f ).
Odp. Ogólna postać takich przeksztalceń f :
f ([x1 , x2 , x3 ]) = [(c − a)x1 + ax2 + cx3 , (d − b)x1 + bx2 + dx3 ], gdzie a, b, c, d ∈ R oraz ad 6= bc.
Zadanie 10.19. Znajdź przeksztalcenie liniowe f : R3 → R4 takie, że Ker(f ) = L([1, −1, 2])
oraz Im(f ) = L([1, 2, 1, −1], [3, 1, 2, 0]).
Odp. Ogólna postać takich przeksztalceń f :
f ([x1 , x2 , x3 ]) = [(a − 2c + 3b − 6d)x1 + (a + 3b)x2 + (c + 3d)x3 , (2a − 4c + b − 2d)x1 + (2a +
b)x2 + (2c + d)x3 , (a − 2c + 2b − 4d)x1 + (a + 2b)x2 + (c − 4d)x3 , (2c − a)x1 − ax2 − cx3 ], gdzie
a, b, c, d ∈ R oraz ad 6= bc.
Zadanie 10.20. Znajdź uklad jednorodny równań liniowych nad cialem R, którego przestrzeń rozwiazań
jest generowana przez wektory: [1, −1, 1, −1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, −1, 7],
,
[0, 2, −1, 1, 2].
Odp. Szukanym ukladem jest

1
1

= 0
 − 2 x1 + 2 x2 + x3
1
1
+ x4
= 0 .
2 x1 − 2 x2

 −2x −
x2
+ x5 = 0
1
Zadanie 10.21. Znajdź uklad jednorodny równań liniowych,
jest podprzestrzeń V przestrzeni R5 generowana przez wektory:
[1, 2, 3, 2, 1], [3, −5, −1, −3, −1], [3, 0, 1, 0, 0].
Odp. Szukanym ukladem jest
(
x1 − 3x2 − 3x3 + 7x4
3x1 − 2x2 − 9x3 +
+ 28x5
5
którego zbiorem rozwiazań
,
[−3, 1, 5, 3, 2], [2, 3, 0, 1, 0],
= 0
.
= 0
Zadanie 10.22. Znajdź bazy obrazu i jadra
przeksztalcenia liniowego f : R3 → R3 określone,
go wzorem:
f ([x1 , x2 , x3 ]) = [2x1 − x2 − x3 , x1 − 2x2 + x3 , x1 + x2 − 2x3 ].
Odp. Baza Ker(f ): {[1, 1, 1]}. Baza Im(f ): {[1, 0, 1], [0, 1, −1]}.
6