7. Planimetria

7. Planimetria
Zadanie 1. (1 pkt.)
Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 500 (tak jak na rysunku).
Miara kąta α jest równa
A. 250
B. 300
Pokaż odpowiedź
C. 400
D. 500
Zadanie 2. (1 pkt.)
Jeżeli trójkąty ABC i A’B’C’ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2,
to skala podobieństwa
A. 2
jest równa
C. √2
B.
D.
√
Pokaż odpowiedź
Zadanie 3. (1 pkt.)
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 0 i ramieniu długości 2√3 jest równa
A.√3
B.3
C. 2√3
D. 2
Pokaż odpowiedź
Zadanie 4. (1 pkt.)
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa
0
A. 160
Pokaż odpowiedź
B. 80
0
C. 40
0
długości okręgu ma miarę
D. 200
Zadanie 5. (1 pkt.)
Jeżeli trójkąty ABC i A’B’C’ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 100cm2 i 200
cm2, to skala podobieństwa jest równa
A. 4
B.
C. √2
D. - 2
Pokaż odpowiedź
Zadanie 6. (1 pkt.)
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 30 0 i ramieniu długości 4 jest równa
A. 2,2
B. 3,5
C.2√3
D. 2
Pokaż odpowiedź
Zadanie 7 . (1 pkt.)
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa
A. 1200
Pokaż odpowiedź
B.
800
C.
2700
długości okręgu ma miarę
D.
1000
Zadanie 8. (1 pkt.)
Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 550 (tak jak na rysunku).
Miara kąta β jest równa
A. 1100
Pokaż odpowiedź
B.
27,50
C.
250
D.
550
Zadanie 9. (1 pkt.)
W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AC jest przeciwprostokątną i |AC|= 17, oraz
|BC| = 10. Wówczas sinus kąta ACB jest równy
Pokaż odpowiedź
Zadanie 10. (1 pkt.)
W trójkącie równoramiennym ABC długości boków są równe |AC|=|BC|=8 oraz wysokość
|CD| = 6. Podstawa AB tego trójkąta ma długość
A. 6
B. 2√7
C. 4√7
D. 28
Pokaż odpowiedź
Zadanie 11. (1 pkt.)
W trójkącie prostokątnym ABC, przyprostokątna BC ma długość 4, a przeciwprostokątna AC
ma długość 6. Obwód tego trójkąta jest równy.
A. 6+√5
B. 10+2√5
C. 14
D. 8+√5
Pokaż odpowiedź
Zadanie 12. (1 pkt.)
Odcinki AB i DE są równoległe i |AB| = 8, |DE| = 3, |BD| = 2 (zobacz rysunek). Długość
odcinka |CD| jest równa
A. 2,2
B. 3,2
C. 1,2
D. 4
Pokaż odpowiedź
Zadanie 13. (1 pkt.)
Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 jest równe
A. 31
B. 32
C. 33
Pokaż odpowiedź
D. 34
Zadanie 14. (1 pkt.)
Jeden kąt trójkąta ma miarę 300. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest cztery
razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów w trójkącie wynoszą:
A. 450, 1050 B. 400, 1100 C. 600, 900
D. 1200, 300
Pokaż odpowiedź
Zadanie 15. (1 pkt.)
Punkty ABCDEF dzielą okrąg na sześć łuków równej długości. Miara kąta α zaznaczonego na
rysunku jest równa
A. 300
B. 500
C. 600
D. 1200
Pokaż odpowiedź
Zadanie 16. (1 pkt.)
Dłuższy bok prostokąta ma długość 4. Kąt między przekątną prostokąta a jego krótszym
bokiem ma miarę 600. Krótszy bok prostokąta ma długość
A. 6
B. 8
C. 10
D.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 17. (1 pkt.)
Cięciwa okręgu ma długość 10 i jest oddalona od środka okręgu o 4. Promień okręgu ma
długość
A. 41
B.√41
C. 42
D. 40
Pokaż odpowiedź
Zadanie 18. (1 pkt.)
Punkt O jest środkiem okręgu (patrz rysunek). Kąt α ma miarę
A. 1200
B.1400
C. 1600
D. 1000
Pokaż odpowiedź
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 1. (2 pkt.)
Stosunek długości boków prostokąta wynosi 3:4. Jeżeli krótszy bok tego prostokąta
zwiększymy o 1 cm, a dłuższy zmniejszymy o 1 cm to otrzymujemy kwadrat. Oblicz pole
tego prostokąta.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 2. (2 pkt.)
Dane są długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równe 5 i 3. Podaj przybliżoną
miarę najmniejszego kąta w trójkącie.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 3. (2 pkt.)
Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość 6, a kąt między ramionami ma miarę 30 0.
Oblicz pole tego trójkąta równoramiennego.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 4. (2 pkt.)
W trójkącie równoramiennym ramiona mają długość b, a kąt między ramieniem trójkąta a
jego podstawą ma miarę α. Oblicz wysokość tego trójkąta.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 5. (2 pkt.)
Dany jest trójkąt ABC. Długość odcinka łączącego środki dwóch ramion trójkąta i
równoległego do podstawy trójkąta jest równa 4. Oblicz długość podstawy trójkąta oraz pole
trójkąta ABC wiedząc, że długość boku AB wynosi 7 a kąt α = 300 (rysunek).
Pokaż odpowiedź
Zadanie 6. (2 pkt.)
Dany jest trójkąt o bokach 2 i 6 oraz kącie między tymi bokami równym 600. Oblicz pole tego
trójkąta oraz długość trzeciego boku trójkąta.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 7. (2 pkt.)
Dany jest trójkąt prostokątny o polu równym 6. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie
ma długość 2,5. Oblicz długości wszystkich boków trójkąta oraz promień okręgu wpisanego
w ten trójkąt.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 8. (2 pkt.)
Okrąg opisany na kwadracie ma promień długości R. Oblicz długość boku kwadratu oraz pole
kwadratu.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 9. (2 pkt.)
Oblicz pole zaznaczonego wycinka koła i długość zaznaczonego łuku, jeżeli promień koła ma
długość 4√3.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 10. (2 pkt.)
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 3 i 7. Zaznacz na rysunku
najmniejszy kąt w trójkącie i oznacz jako α. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 11. (2 pkt.)
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 3 i 7. Oblicz cosinus
najmniejszego kąta α w trójkącie.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 12. ( 2pkt.)
Odcinek AB został podzielony w stosunku 2 : 5. Jedna część jest o trzy większa od drugiej.
Podaj długość odcinka AB.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 13. (2 pkt.)
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna |AC| = 6, kąt α znajduje się przy wierzchołku
C. Oblicz długości boków trójkąta i jego pole wiedząc, że sinα = 0,75.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 14. (3 pkt.)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 8 i 12. Tangens kąta ostrego trapezu jest
równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 15. (3 pkt.)
Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 300, a jego pole jest równe 32√2. Oblicz
wysokość tego rombu.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 16. (3 pkt.)
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i C. Dwusieczne te przecinają się w
punkcie Q. Uzasadnij, że kąt AQC jest rozwarty.
Zadanie 17. (3 pkt.)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 i 7, a kąt ostry naprzeciwko boku
o długości 5 ma miarę α. Oblicz tgα ∙ sinα - 1.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 18. (3 pkt.)
Obwód czworokąta ABCD jest równy 40 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 32 cm, a
obwód trójkąta BCD jest równy 26 cm. Oblicz długość przekątnej BD.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 19. (4 pkt.)
Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest
równoległobokiem jest równa 900. Ramię trapezu jest równe 6, a jego krótsza podstawa ma
długość 14. Oblicz miarę kąta przy krótszej podstawie trapezu oraz pole trapezu.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 20. (4 pkt.)
Kąt ostry trapezu równoramiennego ma miarę 450. Wysokość trapezu jest równa 3, a jego
krótsza podstawa ma długość 14. Oblicz długość przekątnej trapezu.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 21. (4 pkt.)
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa
600. Krótszy bok równoległoboku jest równy 4, a jego krótsza przekątna ma długość 8. Oblicz
miarę kąta rozwartego tego równoległoboku, długość jego drugiego boku oraz pole
równoległoboku.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 22. (5 pkt.)
Dany jest romb o kącie ostrym 600 i wysokości 8. Oblicz pole rombu oraz długości jego
przekątnych.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 23. (5 pkt.)
Dany jest romb o kącie rozwartym równym 1500 i boku równym 3√6. Oblicz pole rombu
oraz długości jego przekątnych.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 24. (5 pkt.)
Obwód trójkąta jest równy 22 m, a miary dwóch kątów są równe 1350 oraz 300. Długość boku
naprzeciwko kąta 300 wynosi 3√2 m. Oblicz długości boków tego trójkąta i jego pole.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 25. (5 pkt.)
Dany jest równoległobok o kącie ostrym 450 , polu równym 10 oraz jednym boku równym 4.
Oblicz długość drugiego boku równoległoboku, długość jego krótszej przekątnej oraz
długości obu jego wysokości.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 26. (5 pkt.)
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt
równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz pole i obwód tego trapezu.
Pokaż odpowiedź
Zadanie 27. (5 pkt.)
W trójkącie prostokątnym wysokość wychodząca z wierzchołka kąta prostego podzieliła
przeciwprostokątną na odcinki długości 2 i 3. Oblicz długość wysokości tego trójkąta
wychodzącej z wierzchołka kąta prostego, jego pole i długości wszystkich boków.
Zadanie 28. (6 pkt.)
Wykaż, że jeśli dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu ABCD wyznaczają czworokąt
(zacieniowany na rysunku), to można na nim opisać okrąg.
Zadanie 29. (6 pkt.)
Odcinek AB jest przeciwprostokątną w dwóch trójkątach prostokątnych ACB i ADB, przy
czym trójkąt ADB jest równoramienny (zobacz rysunek obok). Wykaż, że odcinek CD
zawiera się w dwusiecznej kąta prostego ACB.
Zadanie 30. (6 pkt.)
Wykaż, że jeśli dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu ABCD wyznaczają czworokąt
MNOP (zacieniowany na rysunku), to suma miar kątów wewnętrznych O i P zacieniowanego
czworokąta jest równa 1800.