09/2007 - str.46 Kącik matematyczny. Ach te Mikołaje w matematyce!

09/2007 - str.46 Kącik matematyczny. Ach te Mikołaje w matematyce!

46
PISMO PG
K¹cik matematyczny
Tak oto mamy wyjątkowy miesiąc w roku. Grudzień będzie dla mnie zawsze szcze−
gólnym miesiącem. Króluje w nim św. Mikołaj, a ja – jak wiadomo – darzę go niezwy−
kłym sentymentem. Pisałam już o tym dwa razy w „Piśmie PG”, ale jest to dla mnie
temat ciągle fascynujący.
Dlatego też, aby świat matematyczny w grudniu był radosny i twórczy, niech jesz−
cze raz zawitają w nim Mikołaje.
Ach, te Mikołaje w matematyce!
„Hej dorośli, spójrzcie czasem na dzieci!
Przyjmijcie oczy dziecka,
by inaczej patrzeć na życie.
Przyjmijcie dziecięce marzenia
i radość z małych rzeczy.
To takie wspaniałe bawić się, po prostu żyć!”
P. Bosmans
„Gdzieś na skraju drogi
gdzie kończą się gaje
wiosną hasają króliczki
i płyną ruczaje
były w swojej wiosce
liczne Mikołaje”
(cytat z pracy o Mikołajach Piotra M.)
Matematyka wbrew obiegowej opinii, która kojarzy ją z
rachunkami i tablicami wzorów, jest nauką pełną fantazji,
urody, a także zabawy. Mnóstwo jest faktów potwierdzają−
cych potrzebę niezwykłej wyobraźni w matematyce.
Matematycy muszą jednak często odwoływać się do pew−
nej symboliki, aby opisać swój świat – nawet między sobą.
Symbole nie są jednak tym światem, tak jak nuty nie są
muzyką.
Postanowiłam jednak ograniczyć użycie symboli i opi−
sać pewne zabawy z matematyką. Na początku przedsta−
wię, jak bawili się moi byli studenci informatyki (z ETI)
zadaniami o Mikołajach. Następnie zaś chciałabym zacyto−
wać pewne fragmenty (też zabawne) toastu wygłoszonego
przez śp. Romana Sikorskiego (wybitnego matematyka) na
jednym ze Zjazdów Polskiego Towarzystwa Matematycz−
nego. A więc, do dzieła!
Wśród zadań o Mikołajach było zadanie o następującej
treści:
Zadanie 1
Pewien Mikołaj niósł z miasta A do miasta B ciężki wór
z prezentami. Gdy był dokładnie w połowie drogi, spotkał
zaprzęg reniferów, który zabrał go do miasta B. Po rozda−
niu wszystkich prezentów, Mikołaj wrócił pieszo do mia−
sta A.
W którą stronę podróżował dłużej, jeżeli z pustym wor−
kiem szedł 2 razy szybciej niż z pełnym?
Niech to zadanie zilustruje rysunek z pracy Krzyszto−
fa S.
Nr 9/2007
A oto 2 sposoby rozwiązania tego zadania.
I. Metoda Marcina R.
Chcąc poprawnie rozwiązać to zadanie, należy uściślić,
co dzieje się z Mikołajem po spotkaniu zaprzęgu renife−
rów, a konkretnie, z jaką prędkością ów zaprzęg poru−
szał się. Moim zdaniem możliwe są 2 interpretacje:
1) Ponieważ nie jest to określone w treści zadania, to moż−
na przyjąć, że czas, jaki jest potrzebny zaprzęgowi do
pokonania połowy drogi dzielącej miasta A i B, jest po−
mijalnie mały. Ma to swoje uzasadnienie, gdyż w jaki
inny sposób Mikołaj byłby w stanie odwiedzić wszystkie
dzieci jednego wieczoru? Wyliczenie daje, że w obie stro−
ny podróżował jednakowo.
2) Można by również założyć, że czas podróży saniami nie
jest pomijalnie mały. W takim przypadku można wywnio−
skować, że Mikołaj podróżował krócej z pustym wor−
kiem. Oznacza to, że w drugim przypadku (jak łatwo
stwierdzić) zrobił to tsani szybciej.
II. Metoda Mateusza J.
Aby poprawnie rozwiązać zadanie, potrzebne są rozwa−
żania teoretyczne. Jak wiadomo, sanie św. Mikołaja po−
ruszają się z miejsca na miejsce praktycznie natychmia−
stowo. Fizycy od wieków głowią się, jak to się dzieje?
Wszak sanie teoretycznie nie mogą poruszać się nawet z
prędkością światła. Najnowsze badania i eksperymenty
doprowadziły do powstania nowych teorii. Jedną z nich
jest teoria tuneli czasoprzestrzennych. Jej zwolennicy
twierdzą, że sanie potrafią w jakiś sposób połączyć 2
punkty czasoprzestrzeni, niejako je zaginając.
Jest też druga teoria mówiąca, że sanie św. Mikołaja mają
mniej energii, gdy poruszają się szybciej. Nie ma jednak
ona wielu zwolenników.
Obie teorie są przedmiotem intensywnych badań.
PISMO PG
A teraz może jeszcze zadanie nr 2.
Zadanie 2
W 2111 roku Mikołaj Starszy będzie miał 345 lat, a jego
syn Mikołaj Młodszy 111 lat. W którym roku Mikołaj Star−
szy będzie dwa razy starszy od Mikołaja Młodszego.
Tu także niech będzie pomocny rysunek Krzysztofa S.
47
– 300 = 1811 lat starzeje się o 345 lat, czyli dla niego 1
rok to 0,19 lat. Zrównanie nastąpi w 2111 + 1288 = 3339
roku.
A teraz na „deser” rozwiązanie w wersji wierszowanej –
oczywiście Ani P.
Bajka z przesłaniem historycznym
I. Rozwiązanie Piotra O.
Teoretycznie można by policzyć, że stanie się to w 2234
roku. Ale tylko teoretycznie. Po krótkim śledztwie do−
szedłem do wniosku, że
1) Mikołaj Starszy – to w rzeczywistości św. Mikołaj uro−
dzony w 270 r .n.e. (?) w Peterze w Azji Mniejszej (dane:
Watykan),
2) Mikołaj Młodszy – to jego konkurent Dziadek Mróz, o
którym legenda powstała już w XVII wieku; domniema−
na data urodzin to 1556 r.
Ponieważ Mikołaj Starszy, jak i Młodszy, żyją z niesa−
mowitą prędkością, to starzeją się wolniej niż otaczający
ich świat. Korzystamy tu z równań Lorentza dla zjawi−
ska dylatacji. (Tu następują długie wyliczenia autora).
Na podstawie wiedzy o wieku Mikołaja w roku 2111 oraz
ze znajomości daty narodzin obliczamy pewien współ−
czynnik „b” dla poszczególnych Mikołajów.
Na podstawie powyższych rozważań Mikołaj Starszy bę−
dzie miał 2 razy więcej lat około roku 2689.
II. Rozwiązanie Humanistyczno−Genealogiczne (jak napisał
autor) Tomasza P. na temat rodziny Mikołaja
Mikołaj urodził się w 2111 – 111 = 2000 roku. Jego tata
zaś w 211 – 345 = 1766 roku, czyli podczas narodzin młod−
szego miał 2000 – 1766 = 234 lata. To znaczy, że był o
tyle właściwie lat starszy. Teoretycznie za tyle lat urodzin
młodszego starszy będzie 2 razy starszy, czyli nastąpi to w
2000 + 234 = 2234 roku.
Tak jednak się nie stanie, gdyż z zadania 1 wiemy, że co
roku Mikołaj podróżuje swoimi saniami z prędkością
większą od prędkości światła, więc cofa się w czasie, co
zapewnia mu „wieczną młodość”, a poza tym Mikołaj uro−
dził się w 1766 roku, tylko około 300 r. n.e. Więc należa−
łoby rozważyć dwa przypadki: albo św. Mikołaj zdobył
swoje sanie w wieku 345 lat i od tego czasu jego wiek jako
funkcja czasu jest stały, tak jak jego syna (gdyż w czasie
wynalezienia sań miał już 111 lat). W tym przypadku ni−
gdy wiek ojca nie będzie dwukrotnym wiekiem syna.
Drugi przypadek to to, że Mikołaj w Wigilię i przez 2111
Kiedyś Mikołaj zapragnął Wnusi,
Lecz by tak było, sam dziecko mieć musi.
Tak oto w 234 roku życia doczekał się syna
I Mikołajów powiększyła się rodzina.
Mikołaj Młodszy, bo syn nazwany został tak,
W 2111 roku skończy 111 lat.
Lecz ród Mikołajów jest bardzo magiczny,
Gdyż wolno starzeją się Mikołaj i jego bliscy.
Tak oto Mikołaj M., stujedynastolatek,
Czuł się jak ośmioletni chłopaczek,
A jak to dzieci wszystkie, dobrze wiecie,
Wtedy prezentów pragnie jak najbardziej na świecie.
I choć w przyszłości to on nas podarkami obdarzy,
Teraz Mikołaj Młodszy sam o prezencie marzy
Ojciec jego ma wór prezentów zapchany
Tam też już czeka podarek dla syna przygotowany.
Lecz chłopiec musi się w przyszłym fachu ćwiczyć
Mikołaj Starszy kazał mu samemu wyliczyć
Numer swego prezentu i odnaleźć w worze tę zabawkę
Zadając mu taką oto zagadkę:
Numer taki doczepiłem do prezentu Twojego
Jak rok, w którym wiek ojca twego
Będzie dwukrotnością wieku jedynego syna jego.
Mikołaj Młodszy tę bajkę uważnie czytał,
Wszystkie dane skrupulatnie sobie wypisywał.
Do 234 swój wiek dodał
I wiek ojca – 345 lat otrzymał.
Jeśli do 345 – myśli – n by dodać,
To (swój wiek plus n) razy dwa muszę otrzymać.
I niewiadomej n poszukać.
Mikołaj Młodszy jest trochę zdziwiony.
Dobrze zna historię, więc w wynik jest zapatrzony,
Bo właśnie na tyle po zaborach lat
Polska zniknęła ze świata map!
Lecz od zadumy silniejszy prezentu głód.
Dodał więc 123 do 2111 najszybciej jak mógł
I pobiegł prędko do wora z prezentami
Szukać prezentu z numerem 2234 na nim.
Na tym zakończyłabym „Opowieści Mikołajowe”. Są−
dzę, że podane przykłady świadczą nie tylko o fantazji mo−
ich studentów, ale i ich radości w zabawie z matematyką.
A teraz zapowiadane fragmenty toastu prof. Romana Si−
korskiego. Treścią ich są związki matematyki ze sportem.
Kto wie, może przyda nam się to przed Euro 2012.
„Proszę Państwa, marzeniem matematyki polskiej było, by
została przeniesiona z resortu nauki do resortu sportu, bo za−
pewniłoby to liczne korzyści materialne i niematerialne.
... Przejście matematyki z resortu nauki do resortu sportu
napotkało na opór głównie ze strony władz wojskowych.
Nr 9/2007
48
PISMO PG
Wiadomo bowiem, że cała matematyka opiera się na do−
wodzeniu, a przecież wojsko też opiera się na dowodzeniu.
... Z drugiej strony wśród matematyków wyczynowców,
tych z pierwszej linii, pojawiła się modernistyczna tenden−
cja, by niczego nie dowodzić, by tylko formułować twier−
dzenia. No bo jeśli twierdzenie jest prawdziwe, to po co go
dowodzić, a jeśli jest fałszywe, to wiadomo – nie da się udo−
wodnić. Ale szczęśliwie udało się pokonać wszystkie trud−
ności związane z przejściem matematyki z nauki do sportu.
Zwyciężył argument, że matematyka to gimnastyka umy−
słu, a gimnastyka należy przecież do sportu, w to nikt nie
wątpi.
... Natomiast włączenie matematyki do sportu zmieni cał−
kowicie charakter niektórych konkurencji sportowych. Tak
na przykład zamiast zwykłego rzutu kulą wprowadza się
rzut kulą w przestrzeni Banacha. Dotychczasowy rzut
oszczepem zostanie zastąpiony przez rzut wektorem w prze−
strzeniach liniowych.
Poranną gimnastykę zastąpi się kwadransem gimnastyki
umysłu w postaci zadań z topologii różniczkowej dla przed−
szkolaków oraz najprostszych zadań z arytmetyki dla doro−
słych.
Wpływ środowiska sportowego na matematykę będzie
równie wielki.
Konkurencje sztafetowe niewątpliwie przyczynią się do no−
wych metod kompleksowego rozwiązania problemów mate−
matycznych, każdy uczestnik prowadzi badania na swoim od−
cinku i odda problem do rozwiązania następcy w sztafecie.
Nudne konferencje naukowe zastąpi się przez pasjonują−
ce mecze drużyn matematycznych w obecności tysięcy
widzów na trybunach. Sprawozdanie radiowe z przebiegu
takiego meczu będzie wyglądało mniej więcej tak:
„Wspaniały widok, proszę państwa, wspaniały widok.
Trybuny wypełnione; wszędzie gęsto siedzą faceci z trąb−
kami, jajkami i innymi przedmiotami do wyrażania swych
uczuć metodami geometrii rzutowej. Na boisku naprzeciw−
ko siebie dwie drużyny: czarno−biali kontra biało−czarni.
Wszyscy czekają na sędziego, który rzuci problem mate−
matyczny.
Czarno−biali będą usiłowali go rozwiązać, a biało−czarni
będą usiłowali go obalić. Wszyscy czekają w wielkim na−
pięciu. O, już jest, już pojawia się sędzia.
Sędzia rzuca problem, chwyta go prawoskrzydłowy czar−
no−białych, usiłując go rozwiązać, ale nic mu nie wychodzi,
nie jego specjalność, oddaje więc go lewoskrzydłowemu ze
swej drużyny. Ten oddaje go główką do centrum, piękne
odbicie, proszę państwa, wspaniałe odbicie, bardzo elastycz−
ne, widać główka jego jest pusta, a nieprzeładowana wiedzą
matematyczną. Centrowy ruszył, tak, ruszył naprzód, pro−
szę państwa, to znaczy rozwiązuje, to znaczy zaczyna roz−
wiązywać, pomaga mu prawy pomocnik, już, już wydaje
się, że rozwiąże, wspaniała sytuacja podbramkowa, już, już,
szkoda, że niczego nie widać z mego stanowiska sprawoz−
dawczego, zaraz spróbuję się gdzieś dowiedzieć, co się sta−
ło. Aha, już wiem, kontrprzykład. Tak, proszę państwa,
kontrprzykład. W ostatniej chwili obrońca biało−czarnych
zaanonsował, że widzi kontrprzykład na dotychczasową
metodę czarno−białych. Teraz problem przejęli biało−czar−
ni, konstruują kontrprzykład, wspaniały kontrprzykład.
Szkoda, że go państwo nie widzą, bo ja także niczego nie
Nr 9/2007
widzę z mego stanowiska, ale słyszę, że już, już są blisko
mety, zaraz padnie gol...
Niestety, sędzia gwiżdże, okazało się bowiem, że w kon−
strukcji kontrprzykładu lewy strzelec biało−czarnych sfaulo−
wał. Skorzystał z twierdzenia, którego założenia nie są nigdy
prawdziwe. I znów prowadzą czarno−biali, znów zbliżają się
do bramki i znów kontratak biało−czarnych, znów udany
kontrprzykład i czarno−biali muszą zmienić ideę dowodu,
wspaniale zmieniają, zamiast twierdzenia Banacha−Steinhausa
stosują najpierw twierdzenie Banacha, a dopiero potem twier−
dzenie Steinhausa, już, już są bliscy celu, już strzelają bram−
kę, ale bramkarz biało−czarnych odparł ich strzał, bo strzelili
kulą jednostkową z przestrzeni l2 zamiast z L2 duże. Gra na−
biera tempa. Co czarno−biali sformułują jakiś interesujący
lemat, to biało−czarni kontrują, wspaniale kontrują, albo lewy
obrońca znajduje lukę w dowodzie, albo prawy obrońca znaj−
duje niespełnione założenia.
A czarno−biali wciąż atakują, wspaniale atakują, co raz
to chwytają się nowej idei. I tak płynie gra... no właśnie o
co? O co walczą obie drużyny? Może się kogoś spytamy, o
co i po co walczą? Pytam się, ale nikt nie wie o co i po co,
po prostu urzeka ich piękno abstrakcji i brak zastosowań,
walka dla samej walki, jeszcze jedno twierdzenie, jeszcze
bardziej abstrakcyjne od poprzedniego, jeszcze jedno uogól−
nienie.
Przepraszam, zagadałem się, a tu sędzia odgwizduje ko−
niec meczu, była to wspaniała walka, aha, wreszcie dowie−
działem się o co, o co ta walka była, to była walka o puchar
Fermata. Mecz jest nierozegrany, czarno−biali nie zdołali
obalić tej słynnej hipotezy, ale to jeszcze nie koniec, proszę
państwa, będzie dogrywka o hipotezę Riemanna. To ja już
się wyłączę do ponownego spotkania.
Kończąc, wznoszę okrzyk: Niech żyje matematyka. Nowa
wspaniała dyscyplina sportowa.”
No i czy nie są wspaniałe te fragmenty toastu profesora
Sikorskiego? Mam nadzieję, że podobał się taki rodzaj wie−
dzy matematycznej.
Krystyna Nowicka
Studium Nauczania Matematyki
PS. Mili Czytelnicy „Pisma
PG”, z powodów osobistych
być może zakończę opo−
wiastki ze świata matematy−
ki. Dziękuję za wyrozumia−
łość i życzliwość ...
Z okazji zbliżających się Świąt
chciałabym podarować takie oto
przemyślenia:
„Boże Narodzenie sprawia,
że na naszej planecie znów robi
się ciepło. Nadchodzi powoli
ogromna Miłość. Zatrzymaj
upływający czas we wspomnie−
niach, a przede wszystkim pa−
miętaj o pięknych chwilach, by
nigdy nie poszły w zapomnie−
nie.”