1 + z2, y
Transkrypt
1 + z2, y
Analiza II ∗ Egzamin 20 stycznia 2003r. 1. Dla (x, y, z) ∈ R3 przyjmijmy √ √ F (x, y, z) = x/ 1 + z 2 , y/ 1 + z 2 oraz V (x, y, z) = (xz, yz, 1 + z 2 ). Niech f : R3 −→ R bedzie funkcja klasy C ∞ . Udowodnić równoważność nastepujacych ‘ ‘ ‘ ‘ warunków: (1) Istnieje taka funkcja g : R2 −→ R klasy C ∞ , że f = g ◦ F . (2) Dla każdego p ∈ R3 mamy ∇f (p)⊥V (p). 2. Dana jest skończona miara µ określona na σ-ciele M podzbiorów przestrzeni Ω. Atomem nazwiemy taki zbiór A ∈ M, że µ(A) > 0 oraz M 3 B ⊆ A =⇒ µ(B) ∈ {µ(A), 0}. Udowodnić istnienie rozbicia Ω = Ω1 ∪ Ω2 spelniajacego nastepujace warunki: ‘ ‘ ‘ (1) Zbiór Ω1 jest skończona lub przeliczalna suma parami rozlacznych atomów (lub jest ‘ ‘ ‘ ‘ pusty). (2) Zbiór Ω2 nie zawiera atomów. 3. Zbiór M (t) ⊆ R3 dla t ∈ R jest dany nastepujacym ukladem równań: ‘ ‘ ( x2 + y 2 + z 2 = 1 x2 − y 2 + tz 3 = 0. Dla jakich wartości t zbiór M (t) jest rozmaitościa klasy C ∞ , dyfeomorficzna z okregiem? ‘ ‘ ‘ 4. Niech X = C[0, 1] = (przestrzeń funkcji rzeczywistych, ciaglych na odcinku [0, 1], z ‘ norma supremum). Określmy zbiór ‘ S = {f ∈ X : 1 Z f 4 (x)dx = 1/5} 0 i weźmy funkcje p ∈ S, p(x) = x. Udowodnić, że stożek styczny Tp S jest domknieta ‘ ‘ ‘ podprzestrzenia liniowa nastepujacej postaci: ‘ ‘ ‘ ‘ Tp S = {h ∈ X : Z 1 h(x1/4 )dx = 0}. 0 5. Niech n ∈ N \ {0} i T = S 1 ≈ R/Z, tak wiec T n ⊆ Cn jest n-wymiarowym torusem. ‘ Opisać wszystkie izometrie τ : T n −→ T n zachowujace orientacje. ‘ ‘ 1