Model Ramseya

Model Ramseya
dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH
Szkoªa Gªówna Handlowa
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
1 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
2 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
3 / 36
Wst¦p
Autorzy: Frank Ramsey (1928), David Cass (1965), Tjalling
Koopmans (1965)
W skrócie: model Solowa z endogeniczn¡ stop¡ oszcz¦dno±ci
(optymalizacj¡ konsumenta)
Podstawowy model wspóªczesnej makroekonomii, punkt wyj±cia dla
bardziej zªo»onych modeli wzrostu i cyklu
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
4 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
5 / 36
Gªówne zaªo»enia
Zamkni¦ta gospodarka
Brak polityki skalnej
Ceny doskonale elastyczne - model realny
Brak roli dla polityki monetarnej
Jedno homogeniczne dobro, jego cena znormalizowana do jedno±ci
Dwa typy agentów:
Przedsi¦biorstwa
Gospodarstwa domowe
Brak heterogeniczno±ci w±ród rm i gospodarstw domowych:
reprezentatywni agenci, agregacja trywialna
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
6 / 36
Przedsi¦biorstwa
Produkuj¡ dobra nalne w warunkach doskonaªej konkurencji
Neoklasyczna funkcja produkcji z post¦pem technicznym wg Harroda
yt = F (kt , At lt )
(1)
Kapitaª i praca wynajmowane od gospodarstw domowych
Technologia ro±nie w staªym tempie g ≥ 0:
At+1 = (1 + g )At
Problem rm
max{F (kt , At lt ) − wt lt − rk,t kt }
lt ,kt
Firmy maksymalizuj¡ zysk traktuj¡c ceny jako dane
Warunki konieczne optimum:
wt =
M. Kolasa (SGH)
∂F
∂lt
rk,t =
Model Ramseya
∂F
= F 0 (kt )
∂kt
(2)
7 / 36
Gospodarstwa domowe I
S¡ wªa±cicielami czynników produkcji i wynajmuj¡ je rmom
Dostarczaj¡ pracy w sposób nieelastyczny wg równania (n ≥ 0):
lt+1 = (1 + n)lt
Akumuluj¡ kapitaª z inwestycji It , kapitaª deprecjonuje w tempie δ > 0:
kt+1 = (1 − δ)kt + it
(3)
Przeznaczaj¡ dochód na konsumpcj¦ lub oszcz¦dno±ci (inwestycje):
wt lt + rk,t kt = ct + st = ct + it
(4)
Dokonuj¡ optymalnych decyzji odno±nie konsumpcji/oszcz¦dno±ci
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
8 / 36
Gospodarstwa domowe II
Maksymalizuj¡ »yciow¡ u»yteczno±¢ swoich czªonków (obecnych i
przyszªych):
U0 =
∞
X
β t u(c˜t )lt
(5)
t=0
gdzie:
c˜t = cltt - konsumpcja per capita
β - czynnik dyskontuj¡cy (0 < β < 1)
u(c̃t ) - chwilowa funkcja u»yteczno±ci:
u(c˜t ) =
c˜t 1−θ
1−θ
(6)
gdzie:
θ>0
Je±li θ = 1,
M. Kolasa (SGH)
to
u(c˜t ) = ln c˜t
Model Ramseya
9 / 36
Gospodarstwa domowe III
Uwagi:
Dosªownie: niesko«czona dªugo±¢ »ycia
Interpretacja: dbaªo±¢ o u»yteczno±¢ przyszªych pokole«
Dyskontowanie: gospodarstwa domowe s¡ niecierpliwe
Uwagi do funkcji u»yteczno±ci u(c˜t ):
Staªa wzgl¦dna awersja do ryzyka (CRRA):
−
c˜t u 00 (c˜t )
=θ
u 0 (c˜t )
Staªa mi¦dzyokresowa elastyczno±¢ substytucji:
∂ ln cc˜˜21
1
0 =
−
u (c˜1 )
θ
∂ ln u0 (c˜2 )
Forma funkcyjna wymagana dla zrównowa»onego wzrostu
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
10 / 36
Gospodarstwa domowe IV
Problem: maksymalizacja (5) przy ograniczeniach:
Akumulacja kapitaªu (3) i ograniczenie bud»etowe (4)
Warunek transwersalno±ci:
lim
t→∞
kt+1
t
Y
s=1
1
1 + rs
!
≥0
(7)
gdzie: rt ≡ rk,t − δ = F 0 (kt ) − δ jest rynkow¡ stop¡ zwrotu z kapitaªu
(realna stopa procentowa)
Interpretacja warunku transwersalno±ci:
Analogia z warunkiem ko«cowym w sko«czonym horyzoncie
Warto±¢ bie»¡ca netto aktywów na koniec horyzontu planowania musi
by¢ nieujemna
Wykluczenie piramid nansowych (no-Ponzi games)
Optymalizacja gospodarstw domowych implikuje równanie (7)
speªnione jako równo±¢
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
11 / 36
Równowaga ogólna
Czyszczenie si¦ rynków:
Produkcja rm musi by¢ równa wydatkom gospodarstw domowych:
yt = ct + it
(8)
Poda» pracy gospodarstw domowych musi by¢ równa popytowi na ni¡
ze strony rm
Poda» kapitaªu gospodarstw domowych musi by¢ równa popytowi na
niego ze strony rm
Denicja równowagi konkurencyjnej
∞
Sekwencja {kt , yt , ct , it , wt , rk,t }∞
t=0 dla zadanej sekwencji {lt , At }t=0 oraz
pocz¡tkowego zasobu kapitaªu k0 , takie »e: (i) gospodarstwa domowe
maksymalizuj¡ u»yteczno±¢ traktuj¡c ceny czynników produkcji
{wt , rk,t }∞
t=0 jako dane; (ii) przedsi¦biorstwa maksymalizuj¡ zyski traktuj¡c
ceny czynników produkcji jako dane; (iii) ceny czynników produkcji
zapewniaj¡ czyszczenie si¦ rynków.
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
12 / 36
Charakterystyka równowagi
Zaªó»my dla uproszczenia brak post¦pu technicznego i staª¡ populacj¦
(n = g = 0) i znormalizujmy poda» pracy do jedno±ci (lt = 1), tak »e
c̃t = ct
Funkcja Lagrange'a:
L=
∞
X
βt
t=0
!
ct1−θ
+ λt (1 − δ)kt + wt + rk,t kt − ct − kt+1
1−θ
Warunki konieczne optimum:
M. Kolasa (SGH)
∂L
= 0 =⇒ ct−θ = λt
∂ct
(9)
∂L
= 0 =⇒ βλt+1 (1 − δ + rk,t+1 ) = λt
∂kt+1
(10)
Model Ramseya
13 / 36
Równanie Eulera
Równania (9) i (10) implikuj¡:
ct+1
ct
θ
= β (1 − δ + rk,t+1 ) = β (1 + rt+1 )
(11)
Interpretacja:
Dla θ > 0: ct+1 > ct ⇐⇒ 1 + rt+1 > β −1
Aby konsumpcja byªa wy»sza jutro ni» dzi±, (rynkowa) stopa
procentowa musi przekracza¢ subiektywn¡ stop¦ dyskonta stosowan¡
przez gospodarstwa domowe
Gospodarstwom domowym opªaca si¦ odkªada¢ konsumpcj¦ na
przyszªo±¢ je±li zwi¡zana z tym utrata u»yteczno±ci jest wi¦cej ni»
skompensowana stop¡ zwrotu z oszcz¦dno±ci
Rola θ:
Im wy»sze θ tym mniej wra»liwa konsumpcja na stop¦ procentow¡,
czyli tym silniejszy motyw wygªadzania konsumpcji (ni»sza
mi¦dzyokresowa elastyczno±¢ substytucji)
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
14 / 36
Charakterystyka równowagi - podsumowanie
W równowadze dynamika modelu mo»e by¢ opisana nast¦puj¡cymi
trzema równaniam:
ct+1
ct
θ
= β(F 0 (kt+1 ) + 1 − δ)
kt+1
F (kt ) − ct
= (1 − δ) +
kt
kt
!
t
Y
1
lim kt+1
=0
t→∞
F 0 (kt+1 ) + 1 − δ
(12)
(13)
(14)
s=1
W chwili t = 0 kapitaª jest dany. Dla danego k0 i c0 , równania (12) i
(13) determinuj¡ ±cie»ki kt i ct w kolejnych okresach. Warunek
transwersalno±ci (14) determinuje c0 .
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
15 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
16 / 36
Stan ustalony I
W stanie ustalonym kt i ct s¡ staªe.
Dªugookresowa rozwi¡zanie wykorzystuj¡c (12) i (13):
F 0 (k ∗ ) =
1
β
−1+δ
c ∗ = F (k ∗ ) − δk ∗
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
(15)
(16)
17 / 36
Stan ustalony II
Ilustracja (15) i (16) w przestrzeni (k, c):
ct
ct+1=ct
c*
kt+1=kt
k* kG
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
kt
18 / 36
Zmodykowana zªota reguªa I
Sk¡d wiemy »e k ∗ < kG ?
Równanie (16) implikuje:
F 0 (kG ) = δ
Warunek transwersalno±ci (14) w stanie ustalonym:
lim k ∗
t→∞
Co implikuje:
1
F 0 (k ∗ ) + 1 − δ
t
=0
F 0 (k ∗ ) > δ
Poniewa» F 00 (k) < 0 dla dowolnego k > 0 (neoklasyczna funkcja
produkcji) mamy
F 0 (k ∗ ) > F 0 (kG ) =⇒ k ∗ < kG
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
(17)
19 / 36
Zmodykowana zªota reguªa II
Równowa»nie mo»na pokaza¢, »e stopa oszcz¦dno±ci w stanie
ustalonym s ∗ jest ni»sza od tej implikowanej przez (niezmodykowan¡)
zªot¡ reguª¦ (czyli maksymalizuj¡cej konsumpcj¦ w stanie ustalonym):
Równanie (16) implikuje, »e stopa oszcz¦dno±ci w stanie ustalonym
wynosi:
s∗ = 1 −
c∗
k∗
=
δ
F (k ∗ )
F (k ∗ )
Wykorzystuj¡c równanie (17) otrzymujemy:
s ∗ < F 0 (k ∗ )
k∗
= α(k ∗ )
F (k ∗ )
Intuicja: gospodarstwa domowe s¡ niecierpliwe (β < 1).
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
20 / 36
Rola czynnika dyskontuj¡cego
Wy»sza β oznacza wi¦ksz¡ cierpliwo±¢ gospodarstw domowych
Z równania (15): Je±li β ro±nie, F 0 (k ∗ ) spada, co oznacza wzrost k ∗
Warunek ct+1 = ct przesuwa si¦ w prawo w przestrzeni (k, c)
W efekcie mamy wzrost konsumpcji w stanie ustalonym
Intuicja: bardziej cierpliwe gospodarstwa domowe oszcz¦dzaj¡ wi¦cej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
21 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
22 / 36
Diagram fazowy
Z (12) mamy: k ≶ k ∗ =⇒ ∆c ≷ 0
Z (13) mamy: c ≶ F (k) − δk =⇒ ∆k ≷ 0
ct
ct+1=ct
c*
kt+1=kt
k*
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
kt
23 / 36
‘cie»ka siodªowa (stabilne rami¦)
Warunek transwersalno±ci (14) determinuje c0 dla dowolnego k0 tak
by gospodarka zmierzaªa do stanu ustalonego:
ct+1=ct
ct
c*
kt+1=kt
c0
k0
M. Kolasa (SGH)
k*
Model Ramseya
kt
24 / 36
Unikalno±¢ równowagi
Sk¡d wiemy »e ±cie»ka siodªowa jest jedyn¡ równowag¡?
Je±li c0 byªoby poni»ej zgodnego ze ±cie»k¡ siodªow¡:
Kapitaª ostatecznie osi¡gn¡ªby swój maksymalny poziom
oznacza
k̄ > kG ,
co
F 0 (k̄) < F 0 (kG ) = δ
co jest niezgodne z warunkiem transwersalno±ci (14) gdy»:
lim
k̄
t→∞
1
F 0 (k̄) + 1 − δ
t
=∞
Nieformalnie (ale intuicyjnie): na koniec horyzontu planowania
gospodarstwa domowe posiadaj¡ warto±ciowe aktywa, co nie mo»e by¢
optymalne
Je±li c0 byªoby powy»ej ±cie»ki siodªowej:
Kapitaª ostatecznie osi¡gn¡ªby poziom 0, co oznaczaªoby drastyczny
spadek konsumpcji do zera, co jest niezgodne z równaniem Eulera
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
25 / 36
Konwergencja
W porównaniu z modelem Solowa, tempo zbie»no±ci do stanu
ustalonego zale»y dodatkowo od zachowania stopy oszcz¦dno±ci
Kluczowym parametrem jest θ ( Barro and Sala-i-Martin, 2004, ch.
2.6.4):
1
θ
1
θ
1
θ
< s ∗ =⇒ st − s ∗ zale»y dodatnio od kt − k ∗
= s ∗ =⇒ st = s ∗
> s ∗ =⇒ st − s ∗ zale»y ujemnie od kt − k ∗
Intuicja (przypadek k0 < k ∗ , wi¦c c0 < c ∗ ):
Je±li gospodarstwa domowe maj¡ siln¡ skªonno±¢ do wygªadzania
konsumpcji (θ wysoka), staraj¡ si¦ j¡ przyspieszy¢ wiedz¡c, »e dochód
b¦dzie wy»szy w przyszªo±ci
Je±li gospodarstwa domowe maj¡ nisk¡ skªonno±¢ do wygªadzania
konsumpcji (θ niska), godz¡ si¦ na jej odroczenie, dzi¦ki czemu
gospodarka oszcz¦dza wi¦cej i szybciej zbiega do stanu ustalonego
Dla standardowej parametryzacji 1θ > s ∗ , wi¦c model Ramseya
implikuje relatywnie szybkie tempo zbie»no±ci do stanu ustalonego
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
26 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
27 / 36
Wªadze skalne
Wydatki rz¡du: zakup dóbr i usªug gt (egzogeniczne, bez
bezpo±redniego wpªywu na u»yteczno±¢ gospodarstw domowych)
Dochody rz¡du: podatki proporcjonalne τ (kilka typów, staªe stawki
dla uproszczenia) i zryczaªtowane vt , wszystkie nakªadane na
gospodarstwa domowe
Emisja dªugu bt po stopie rtg
Ograniczenie bud»etowe rz¡du
gt + (1 + rtg )bt−1 = τw wt lt + τk rk,t kt + τc ct + τi it + vt + bt
(18)
Rz¡d prowadzi odpowiedzialn¡ polityk¦, tzn. jest wypªacalny:
lim
t→∞
bt+1
t
Y
s=1
1
1 + rsg
!
≤0
(19)
Wypªacalno±¢ oznacza, »e warto±¢ bie»¡ca netto wydatków rz¡dowych
jest równa warto±ci bie»¡cej netto dochodów
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
28 / 36
Zmodykowane problemy agentów
Problem rm bez zmian
Brak bezpo±redniego wpªywu rz¡du na u»yteczno±¢ gospodarstw
domowy oznacza, »e cel maksymalizacji jest ci¡gle zadany przez (5)
Zmodykowane ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych
(1−τw )wt lt +(1−τk )rk,t kt +(1+rtg )bt−1 = (1+τc )ct +(1+τi )it +vt +bt
(20)
Zmodykowany warunek transwersalno±ci:
lim
t→∞
M. Kolasa (SGH)
kt+1
t
Y
s=1
1
(1 − τk )rk,s + 1 − δ
Model Ramseya
!
≥0
(21)
29 / 36
Charakterysytka równowagi
Równowaga w przestrzeni (c, k) opisana jest nast¦puj¡cymi 3
równaniami:
Równanie Eulera:
ct+1
ct
θ
=β
1 + (1 − τk )F 0 (kt+1 ) − δ
(1 + τi )
(22)
Akumulacja kapitaªu:
kt+1 = (1 − δ)kt + F (kt ) − ct − gt
(23)
Warunek transwersalno±ci:
lim
t→∞
M. Kolasa (SGH)
kt+1
t
Y
s=1
1
(1 − τk )F 0 (kt+1 ) + 1 − δ
Model Ramseya
!
=0
(24)
30 / 36
Ekwiwalencja Ricardia«ska
Brak ryzyka niewypªacalno±ci rz¡du oraz doskonale funkcjonuj¡ce rynki
nansowe implikuj¡ rt = rtg , gdzie rt ≡ (1 − τk )F 0 (kt ) − δ
Wówczas, po uwzgl¦dnieniu ograniczenia bud»etowego rz¡du,
ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych mo»na zapisa¢ jako:
wt lt + rk,t kt = ct + it + gt
(25)
A wi¦c, je±li proporcjonalne stawki podatkowe s¡ staªe, nie ma
znaczenia czy wzrost wydatków rz¡dowych nansujemy emisj¡ dªugu,
czy te» wzrostem podatków zryczaªtowanych
Inne kluczowe zaªo»enie modelu dla ekwiwalencji: niesko«czony
horyzont optymalizacji gospodarstw domowych (brak mo»liwo±ci
przerzucenia ci¦»aru skalnego na przyszªe pokolenia)
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
31 / 36
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Stan ustalony
4
Dynamika
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Przypadek gospodarki otwartej
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
32 / 36
Zaªo»enia
Rozpatrujemy maª¡ otwart¡ gospodark¦, która nie ma wpªywu na
reszt¦ ±wiata
Kraj mo»e po»ycza¢ od / inwestowa¢ w gospodark¦ zagraniczn¡ po
stopie r ∗
Kraj jest bardziej niecierpliwy ni» zagranica: 1 + r ∗ < β1
W przeciwnym wypadku kraj zakumulowaªby tyle aktywów
zagranicznych, »e zªamane zostaªoby zaªo»enie o maªej gospodarce
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
33 / 36
Zmodykowane problemy agentów
Przedsi¦biorstwa bez zmian
Gospodarstwa domowe mog¡ handlowa¢ z zagranic¡ obligacj¡ bt∗ ,
daj¡c¡ stop¦ zwrotu r ∗
Ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych
∗
∗
wt lt + rk,t kt + (1 + r ∗ )bt−
1 = ct + it + bt
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
(26)
34 / 36
Charakterystyka równowagi
Warunki optymalno±ci gospodarstw domowych i rm implikuj¡:
F 0 (kt ) = rk,t = r ∗ + δ
ct+1 θ
= β(1 + r ∗ )
ct
∗
bt+
1
lim
≥0
t→∞ (1 + r ∗ )t
(27)
(28)
(29)
Wnioski:
Brak dynamiki przej±ciowej - kapitaª natychmiast osi¡ga swój poziom w
stanie ustalonym
Oznacza to silny napªyw kapitaªu zagranicznego w momencie otwarcia
gospodarki
Je±li kraj jest mniej cierpliwy ni» zagranica (1+r ∗ < β1 ), konsumpcja
pocz¡tkowo skokowo ro±nie, a nast¦pnie maleje w staªym tempie,
ostatecznie zbiegaj¡c do zera
Rachunek obrotów bie»¡cych: pocz¡tkowo du»y decyt (napªyw
kapitaªu), nast¦pnie nadwy»ki
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
35 / 36
Ograniczenie kredytowe
Gospodarka krajowa po otwarciu zadªu»a si¦ za granic¡
Zadªu»enie zagraniczne ostatecznie osi¡ga warto±¢ równ¡ sumie
kapitaªu oraz warto±ci bie»¡cej netto dochodów z pracy
Spadaj¡cy prol konsumpcji po otwarciu oznacza, »e w pewnym
momencie spada ona poni»ej poziomu sprzed otwarcia
To stanowi silny bodziec do bankructwa, które si¦ opªaca, zwªaszcza
je±li nie mo»na w praktyce wyegzekwowa¢ zabezpieczenia w postaci
przyszªych dochodów z pracy
Rozwi¡zanie: puªap dªugu zagranicznego na poziomie (cz¦±ci)
zycznego kapitaªu
−bt∗ ≤ akt
(30)
gdzie 0 < a ≤ 1
M. Kolasa (SGH)
Model Ramseya
36 / 36