Statyka płynów - teoria
Transkrypt
Statyka płynów - teoria
Statyka płynów - teoria Na płyn będący w stanie spoczynku mogą działać siły: - masowe, - powierzchniowe. Zależność między tymi siłami określa tzw. Równanie Eulera. Postać wektorowa tego równania przedstawiono poniżej: ∙ ⃗= ( ) Powyższe równanie można zapisać w postaci trzech równoważnych mu równań skalarnych: = = = gdzie: ⃗ - wektor wypadkowych sił masowych, X, Y, Z – współrzędne wektora ⃗ W przypadku, gdy na płyn nie działają siły masowe ( ⃗ = 0), Równanie Eulera przyjmuje postać: ( )=0 Powyższe równanie jest matematyczną postacią prawa Pascala. Jeżeli nie działają na płyn siły masowe, to ciśnienie jest stałe w całej masie płynu. Prawo Pascala często stosowane jest także do płynów, znajdujących się w polu sił masowych pomijalnie małych w stosunku do sił pochodzących od ciśnień. Płyn barotropowy (np.ciecz) znajduje się w równowadze w potencjalnym polu sił masowych: ⃗= ( ) Powierzchnie U(x,y,z) = const nazywane są powierzchniami ekwipotencjalnymi, ciśnienie na każdej z tych powierzchni ma wartość stałą. Równanie: = ∙ + ∙ + ∙ =0 jest więc równaniem różniczkowym powierzchni jednakowego ciśnienia. Rozkład ciśnień w płynie wyznacza rozwiązanie równania różniczkowego: = ∙ W zadaniach inżynierskich często spotyka się układy naczyń wzajemnie połączonych i wypełnionych płynem. Do wyznaczenia ciśnień w takich naczyniach stosuje się tzw. prawo naczyń połączonych. Cząstki cieczy należącej do tej samej i nieprzerwanej masy ciekłej i znajdującej się w tej samej płaszczyźnie poziomej, podlegają jednakowemu ciśnieniu nawet wtedy, gdy płaszczyzna ta wykracza poza obręb jednego naczynia. Elementy pola dowolnej powierzchni zanurzonej w cieczy są poddane działaniu sił powierzchniowych wywołanych panującym w cieczy ciśnieniem. Wypadkowa tych sił nazywana jest naporem Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń Statyka płynów - teoria hydrostatycznym. Napór hydrostatyczny na płaską powierzchnię o dowolnym konturze i dowolnie nachyloną określa zależność: = ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ gdzie: A – pole zwilżalnej części powierzchni, zS – głębokość zanurzenia środka geometrycznego powierzchni o polu A, ρ – gęstość płynu. Rysunek 1. Napór hydrostatyczny na płaską powierzchnię Kierunek wektora naporu ⃗ jest prostopadły do powierzchni przegrody. Współrzędne środka naporu (punkt zaczepienia wektora ⃗) określają wyrażenia: = = + = + + ∙ ∙ ∙ ∙ gdzie: Js – moment bezwładności powierzchni A względem osi przechodzącej przez środek geometryczny S i równoległej do osi x, DXsYs – moment odchylenia powierzchni A względem układu x, y od początku znajdującym się w środku geometrycznym S, zΣ – głębokość zanurzenia środka naporu. Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń Statyka płynów - teoria Rysunek 2. Napór hydrostatyczny na ściany zanurzone Napór hydrostatyczny na ściany zakrzywione wyznaczyć można z po obliczeniu składowej poziomej i pionowej tego naporu. - Składowa pozioma naporu ( ⃗) jest równa naporowi na ścianę płaską normalną do zwierciadła cieczy i będącą rzutem rozpatrywanej ściany zakrzywionej. - Składowa pozioma naporu ( ⃗) jest równa ciężarowi bryły cieczy, ograniczonej daną powierzchnia, tworzącymi pionowymi, przechodzącymi przez kontur tej powierzchni i zwierciadłem cieczy. Linia działania naporu pionowego ⃗ przechodzi przez środek ciężkości bryły ciekłej. Linia działania naporu pionowego ⃗ przechodzi natomiast przez punkt Σ, którego współrzędne wyznacza się podobnie jak w przypadku naporu na ścianę płaską. Na przecięciu obu linii leży punkt zaczepienia naporu wypadkowego ⃗ (rys.2). Moduł i kierunek wektora ⃗ określają wzory: = ′∙ ′∙ = ∙ ∙ = ∙ + = gdzie: A’ – pole rzutu powierzchni zakrzywionej, zs ’ – głębokość zanurzenia środka geometrycznego powierzchni A’, V – objętość bryły cieczy. Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń Statyka płynów - teoria Pływanie ciał Ciało pływa na powierzchni cieczy wówczas, gdy jest spełniony warunek: < ∙ ∙ gdzie: G – ciężar ciała, V – objętość ciała, ρ – gęstość cieczy Zgodnie z prawem Archimedesa, na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu ⃗, której wartość jest równa iloczynowi objętości części zanurzonej ciała Vz i ciężaru właściwego płynu: = ∙ ∙ W przypadku ciał pływających ciężar ciała ⃗ jest równoważony przez wypór ⃗. Stateczność pływania jest zapewniona wówczas, gdy odległość metacentryczna m (rys.3) jest dodatnia. Odległość meta centryczną uważa się za dodatnią wówczas, gdy punkt metacentryczny M leży powyżej środka ciężkości ciała. Rysunek 3. Stabilność pływania ciał Warunek stateczności można określić równaniem: = ± >0 -a, gdy Sc leży powyżej Sw +a, gdy Sc leży poniżej Sw w równaniu: Jmin – minimalny moment bezwładności przekroju pływania (przekroju ciała płaszczyzną styczną do zwierciadła cieczy), Vz – objętość części zanurzonej ciała, a – odległość między środkiem ciężkości Sc i środkiem wyporu Sw (Sw – środek geometryczny części zanurzonej ciała). Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń