Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu

Transkrypt

Samouczek
przygotowujący
do
Kuratoryjnego
Konkursu
Matematycznego
(na podstawie zadań z roku 2009)
Szkoły podstawowe
Wzorcowe rozwiązania
Wzorcowe
rozwiązania zadań
Zestaw I
Zadanie nr 1
Treść zadania
Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego
wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice
Arka i wujek mieszkają w bliźniaku..
Arek własny płot malował w piątek od 13:00 do
19:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o
13:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy
dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia
do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem.
O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli
pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy
szybciej od Arka?
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Dzielimy cały płot na 6 części. Jedną część Arek
maluje w godzinę (całość od 13:00 do 19:00).
W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek
pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych
czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż
wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im
2
to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu
w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie
15,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o
16:00
Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w
sobotę o 16:00.
Zadanie nr 2
Treść zadania
Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej
rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca
zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut.
W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra
Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej
od Kazika.
Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła
nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób,
od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do
zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje
rodzeństwa minęło tylko 11 minut!
Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków
przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy?
Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi:
51 minut – 11 minut = 40 minut
3
Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi,
Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała 4x
ziemniaków.
Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał 4x
ziemniaków przez 40 minut czyli Kazik obiera x
ziemniaków w 10 minut.
Zatem w ciągu 11 minut Kazik obierał ziemniaki:
10 minut z Lusią
1 minutę sam
Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po 1
minucie samotnej pracy Kazika.
Zadanie nr 3
zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę
rozpoczął o godzinie 6:00 rano. Gdyby pracował
bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby
zakończyć dopiero o godzinie 13:30. W trakcie
pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy
kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o
godzinie 11:00 pracowali razem. Działkowicz i
młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie,
a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie
większe.
Do której godziny od 6:00 działkowicz pracował
sam? Odpowiedź uzasadnij.
4
Skład ma 8 elementów.
Pierwszy element składu to lokomotywa.
Drugi i ósmy element składu to wagon klasy 2.
Możliwe składy pociągu:
Wagon Wars na 3 pozycji:
L2W1 122 2
L2W1 212 2
L2W1 221 2
L2 122 1W2
L2 212 1W2
L2 221 1W2
L21W2 12 2
L21W2 21 2
L22W1 12 2
L22W1 21 2
L2 1 1W2 2 2
L2 2 1W2 1 2
L2 1 2W1 2 2
L2 2 2W1 1 2
L2 12 1W2 2
L2 21 1W2 2
L2 12 2W1 2
L2 21 2W1 2
37
Powyższe 4 sytuacje zawierają wszystkie możliwe
pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem
liczba możliwości powieszenia ubrań to suma
możliwości rozpatrywanych przypadków:
4 + 7 + 7 + 4 = 11 + 11 = 22
Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania
na 22 sposoby.
Zadanie nr 14
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu
w postaci kodu L2W12122, gdzie kolejne znaki
oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem",
1 - wagon z miejscami klasy "1", 2 - wagon z
miejscami klasy "2".
Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery
L, wszystkie możliwe składy tego pociągu,
zakładając, że wagon z "Warsem" musi być
bezpośrednio połączony z wagonem klasy "1" z
jednej strony oraz z wagonem klasy "2" z drugiej
strony,
w
dowolnej
kolejności.
Liczba
poszczególnych rodzajów wagonów w składzie
musi być zachowana, każdy skład wagonów musi
rozpoczynać i kończyć wagon klasy "2"
36
Od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego
kolegę działkowicz wykonał pracę x, zaś młodszy
kolega 2x. Gdyby nie młodszy kolega to
działkowicz musiałby wykonać pracę 2x między
11:00 a 13:30, czyli w ciągu 2h 30min (150 minut)
.
Skoro pracę 2x działkowicz wykonuje w 150 minut
to pracę x wykonuje w 75 minut czyli 1h 15minut.
Otrzymujemy, że od momentu rozpoczęcia pracy
przez młodszego kolegę do zakończenia pracy przez
nich obydwu, działkowicz wykonał pracę x w ciągu
1h 15minut.
Ponieważ pracę zakończyli o godzinie 11:00, więc
młodszy kolega przyszedł o:
11:00 – 1h 15min = 9:45
Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z
pomocą działkowiczowi o godzinie 9:45.
5
Zestaw II
Zadanie nr 4
Treść zadania
Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w
grę o następujących zasadach:
1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna
liczbę
2. Kartki oddaje się do sędziego
3. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci
4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko
wypisuje wielokrotności liczby którą
zapisało na kartce w zakresie od 1 do 200
5. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują
na tablicy wielokrotności liczb zapisanych
przez siebie na kartce w przedziale od 1 do
200 według następujących zasad:
a. Jeśli danej wielokrotności nie było
na tablicy, to ta liczba jest
dopisywana.
b. Jeśli dana wielokrotność już jest na
tablicy
(powtarza
się
z
wielokrotnością
któregoś
poprzedniego dziecka) to nie jest
dopisywana.
Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na
tablicy.
Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby:
Basia:
15
6
G – granatowy sweter
C – czerwona spódnica
Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 2 i 3 to
mamy cztery następujące możliwe ustawienia
pozostałych ubrań:
GCCZ G ZGZZ
GCCZ G ZZGZ
GCCZ G ZZZG
ZCCZ G ZGAG
mamy siedem następujących możliwych ustawień
pozostałych ubrań:
GZCC G ZGZZ
GZCC G ZZGZ
GZCC G ZZZG
ZGCC G ZGZZ
ZGCC G ZZGZ
ZGCC G ZZZG
ZZCC G ZGAG
mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji
czerwonych spódnic 3 i 4 czyli siedem możliwych
ustawień pozostałych ubrań.
mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji
czerwonych spódnic 2 i 3 czyli cztery możliwe
ustawienia pozostałych ubrań.
35
Czerwony żołnierz może być na pozycjach od 1 do
6. Każda z nich daje 10 ustawień pozostałych
żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem
wszystkich ustawień żołnierzy jest 6 * 10 = 60.
Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich
żołnierzy na 60 sposobów.
Zadanie nr 13
Treść zadania
Zosia przechowuje
na odpowiednio długim
wieszaku w szafie następujące ubrania:
• cztery takie same zielone bluzki
• trzy takie same granatowe swetry
• dwie takie same czerwone spódnice
Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak – ma
określone zasady:
• czerwone spódnice muszą zawsze wisieć
razem – jedna obok drugiej przy czym żadna
czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu
• grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują
przy czym na środkowej pozycji (piątej od
lewej) zawsze wisi granatowy sweter
Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje
ubrania w szafie?
Z – zielona bluzka
34
Adrian:
25
Cyprian:
10
Sędzia
wylosował
następującą
wypisywania liczb na tablicy:
1. Adrian
2. Basia
3. Cyprian
kolejność
Które z dzieci wygrało grę?
Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by
wygrać tę grę?
Ilość liczb wypisanych przez Adriana
200 : 25 = 8
Liczby dopisane przez Basię
Ilość wielokrotności 15:
200 : 15 = 13 reszty 5
Liczby których Basia nie dopisała to liczby
podzielne przez 15 i 25:
15 3
25 5
5 5
5 5
1
1
NWW(15,25) = 3 * 5 * 5 = 3 * 25 = 75
Ilość wielokrotności 75
200 : 75 = 2 reszty 50
Ilość liczb dopisanych przez Basię:
13 – 2 = 11
Liczby dopisane przez Cypriana
7
200 : 10 = 20
Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je
Adrian to liczby podzielne przez 10 i 25:
10 2
2 5
1
25 5
5 5
1
NWW(10,25) = 2* 5 * 5 = 2 * 25 = 50
200 : 50 = 4
Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała
je Basia to liczby podzielne przez 10 i 15:
10 2
15 3
2 5
5 5
1
1
NWW(10,15) = 2* 5 * 3 = 2 * 15 = 30
200 : 30 = 6 reszty 20
Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane
przez Cypriana – jako wypisane przez Adriana i
wypisane przez Basię:
10 2
2 5
1
15 3
5 5
1
25 5
5 5
1
NWW(10,15,25) = 2* 5 * 3 * 5 = 10 * 15 = 150
Ilość wielokrotności 150 (policzone podwójnie jako
wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię):
200 : 150 = 1 reszty 50
Ilość liczb wypisanych przez Cypriana:
8
Zestaw V
Zadanie nr 12
Treść zadania
Mateusz robi musztrę swoim 6 żołnierzykom
ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów
Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli
żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami:
• jeden żołnierz ma kolor czerwony
• dwóch żołnierzy ma kolor granatowy
• trzech żołnierzy ma kolor zielony
Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer 1 to na
pozostałych
pozycjach
możemy
ustawić
granatowych i zielonych żołnierzy na 4 + 3 + 2 + 1
= 5 + 5 = 10 sposobów:
CNNZZZ
CNZNZZ
CNZZNZ
CNZZZN
CZNNZZ
CZNZNZ
CZNZZN
CZZNNZ
CZZNZN
CZZZNN
33
Wymiary prostokąta obliczamy jako:
Szerokość: 5 + 4 = 9
Wysokość: 5 + 6 = 11
20 – 4 – 6 + 1 = 20 – 10 + 1 = 10 +1 = 11
Otrzymujemy, że:
Adrian wypisał 8 liczb.
Basia dopisała 11 liczb.
Cyprian dopisał 11 liczb.
9
4
5
5
5
4
4
4
5
11
6
6
6
1
1
1
1 11 11 1
1
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
6 1 1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i
Cyprian.
Optymalna strategia polega na wypisaniu na
kartce
jedynki
która
ma
najwięcej
wielokrotności w dowolnym przedziale
Pole prostokąta:
P = 11 * 9 = 99
Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest
prostokąt mają boki o długościach:
1, 4, 5 oraz 6.
Pole prostokąta wynosi 99.
32
9
Zadanie nr 5
Bok lewego górnego kwadratu to 4+1 = 5:
1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą
liczby podzielne przez 6 w zakresie 10 000.
2. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym
kolorem liczby podzielne przez 10 w
zakresie 10 000 pisząc tylko te liczby
których nie ma jeszcze na tablicy.
3. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby
podzielne przez 8 w zakresie 10 000.
Również i w tym przypadku nie wypisywał
liczb jeśli były już na tablicy.
Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel?
4
5
Treść zadania
5
5
10
4
4
5
6
6
Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez 6
w zakresie 1 do 10 000:
10 000 : 6 = 1 666 reszty 4
Zielonych liczb jest 1 666.
Ilość czerwonych liczb.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 w
zakresie 1 do 10 000:
10 000 : 10 = 10 00
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 i 6 w
zakresie od 1 do 10 000:
NWW(6,10) = 30
10 000 : 30 = 333 reszty 10.
Liczb podzielnych przez 30 w zakresie od 1 do 10
000 jest 333.
4
6
1
1
1
1 11 11 1
1
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
6
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
31
Z sumy długości boków małych kwadratów
jednostkowych otrzymujemy długości boków
kwadratów: lewego dolnego i prawego górnego.
4
4
4
4
1
6
6
6
6
30
1
1
1
11 11 1
1
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Liczb podzielnych przez 10 a niepodzielnych przez
6 w zakresie od 1 do 10 000 jest
1 000 – 333 = 667
Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 667
Ilość granatowych liczb.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w
zakresie 1 do 10 000:
10 000 : 8 = 125
NWW(6,8) = 24
10 000 : 24 = 416 reszty 16
000 jest 416.
NWW(8,10) = 40
10 000 : 40 = 250
000 jest 250.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 6, 8 i 10 w
NWW(6,8,10) = 120
10 000 : 120 = 83 reszty 40
000 jest 83.
Granatowych liczb nauczyciel dopisał:
1 250 – 416 – 250 + 83 = 1 250 – 666 + 83
= 584 + 83 = 67.
Odpowiedź: Nauczyciel wypisał 166 zielonych
liczb, 67 czerwonych liczb, 67 granatowych liczb
11
Zadanie nr 6
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby
naturalne od 1 do 120 włącznie. Potem Ania,
Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb
według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła
Ania – wszystkie liczby podzielne przez 5, drugi w
kolejności Wojtek – skreślił spośród pozostałych
nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4,
ostatni Antek – skreślił spośród pozostałych
nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 3.
Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile
liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek?
Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania
całego procesu skreślania kolejnych liczb.
Obliczam ilość liczb które skreśliła Ania:
120 : 5 = 24
Obliczam ilość liczb które, skreślił Wojtek:
120 : 4 = 30
Od wyniku odejmuję liczby skreślone przez Anię:
NWW(4,5) = 20
120 : 20 = 6
Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb:
30 – 6 = 24
12
Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi 1 więc
bok tego kwadratu również wynosi 1, gdyż:
1*1=1
Wszystkie małe kwadraciki zaznaczone na szaro
poniżej są przystające gdyż mają przynajmniej
jeden bok wspólny. Zatem ich boki mają również
długość 1.
1
1
1
1
11 11 1
1
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1 11 11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
29
Zadanie nr 11
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej
wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku
obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym
kolorem kwadratu wynosi 1. Oblicz długości boków
wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz
podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób
rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku
zależności
pomiędzy
długościami
boków
przylegających kwadratów.
Obliczam ilość liczb które, skreślił Antek:
120 : 3 = 40
Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale
już skreśliła Ania:
NWW(3,5) = 15
120 : 15 = 8
Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale
już skreśliła Wojtek:
NWW(3,4) = 12
120 : 12 = 10
Obliczam ilość liczb które policzyłem dwukrotnie
jako skreślone przez Anię i Wojtka:
NWW(3,4,5) = 60
120 : 60 = 2
Ilość liczb skreślonych przez Antka:
40 – 8 – 10 + 2 = 30 – 8 + 2 = 22 + 2 = 24
Obliczam ile liczb pozostało na tablicy:
120 – 24 – 24 – 24 = 96 – 24 – 24 = 72 – 24
= 48
Odpowiedź: Ania skreśliła 24 liczby,
Wojtek skreślił 24 liczb,
Antek skreślił 24 liczby.
Pozostało 48 nieokreślonych liczb.
28
13
Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego
prostokąta:
Zestaw III
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
Zadanie nr 7
9
Treść zadania
9
Składając 3 jednakowe małe prostopadłościany
możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 864
cm2.
Jakie pole powierzchni uzyskamy składając 3 małe
prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan
nie będący sześcianem?
9
9
9
9
6
6
12
9
12
21
6
6
24
6
3
3
3 33 3
3
3
9
12
9
6
9
9 9
12
9
9
42
9
9
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6 24
24
6
9
9
9
24
9
18
21
21
18
18
18 18
18
18
21
Rysunek
18
57
3x
3x
3x
x
x
x
x
3x
3x
3x
3x
9x
3x
x
14
27
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
9
9
9
9 9
9
12
6
12
9
9
9
12
21
6
6
6
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6 24
24
6
9
9
21
Ps = 3x ⋅ 3x = 9 x 2
Pole powierzchni całego sześcianu:
Pp = Ps = 6 ⋅ 9 x 2 = 54 x 2
9
24
9
18
21
Obliczam pole powierzchni sześcianu
Pole powierzchni pojedynczej ściany:
24
6
3
3
3 33 3
3
3
9
12
9
9
6
9
18
18
18
18
Obliczam x.
18
Pp = 54 x 2 = 864cm 2
54 x 2 = 864cm 2 |: 54
21
18
18
Teraz obliczamy długości boków prostokąta:
Długość:
21 + 18 + 18 = 39 + 18 = 57
Wysokość:
21 + 9 + 9 + 3 = 30 + 12 = 42
864 2
cm
54
432 2
=
cm
27
48
= cm 2
3
x2 =
x2
x2
x 2 = 16cm 2
x = 4cm lub x = −4cm
Odrzucam,
długość
boku
liczbą
dodatnią
Zatem x = 4 cm.
Obliczam pole powierzchni dużego
prostopadłościanu
Pole ściany 9x na 3x:
P1 = 9 x ⋅ 3 x = 27 x 2
26
15
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
Pole ściany 9x na x:
P2 = 9 x ⋅ x = 9 x
2
9
9
P3 = 3x ⋅ x = 3x
9
9
Pole powierzchni dużego prostopadłościanu:
2
9
9
12
6
12
9
12
2
Pd = 2 ⋅ P1 + 2 ⋅ P2 + 2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 27 x + 2 ⋅ 9 x + 2 ⋅ 3 x =
6
6
6
24
3
3
3 33 3
3
3
9
12
9
2
6
9
9
9
9
9
2
9
9
6
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6 24
24
6
9
9
9
24
9
= 54 x 2 + 18 x 2 + 6 x 2 = 72 x 2 + 6 x 2 = 78 x 2
Podstawiam x = 4 cm:
Pd = 78 x 2 = 78 ⋅ (4cm) 2 = 78 ⋅16cm 2 = 1248cm 2
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
Odpowiedź: Pole powierzchni dużego
prostopadłościanu wynosi 1248 cm2.
9
9
9
9
9 9
9
12
6
12
9
9
9
12
21
6
6
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
21
6
6
24
3
3
3 33 3
3
3
9
12
9
9
6
9
9
3
3
3
6 24
24
6
9
9
9
9
24
21
21
16
25
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
6
6 6 6
Zadanie nr 8
3
3
3 33 3
3
3
2008/2009, etap III, SP
9
6 6 6
6
9
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
9
Treść zadania
Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można
otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni
całkowitej 252 lub sześcian. Jaka jest objętość
sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania.
9
9
Rysunek
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
9
9
9
9
6
9
9
9
6
9
6
24
9
3
3
3 33 3
3
3
6
6 6
6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6
6
x
2x
24
9
24
2x
2x
2x
24
9
9
2x
2x
6
9
2x
6
4x
x
Obliczam pole powierzchni
prostopadłościanu:
Pole ściany 4x na 2x:
x
x
2x
( Pd )
dużego
P1 = 4 x ⋅ 2 x = 8 x 2
P2 = 4 x ⋅ x = 4 x 2
P3 = 2 x ⋅ x = 2 x 2
24
17
Pole powierzchni dużego prostopadłościanu:
2
2
Pd = 2 ⋅ P1 + 2 ⋅ P2 + 2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 8 x + 2 ⋅ 4 x +
+ 2 ⋅ 2 x 2 = 16 x 2 + 8 x 2 + 4 x 2 = 24 x 2 + 4 x 2 =
= 28 x 2
Pd = 28 x 2 = 252
Ponieważ pole kwadracika wynosi 9, więc bok
kwadracika wynosi 3. Z przystawania kwadratów,
wynika,
że
boki
wszystkich
poniższych
kwadracików wynoszą 3:
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
3
3
3 33 3
3
3
28 x 2 = 252 |: 28
252
28
63
x2 =
7
x2 =
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
x2 = 9
x = 3 lub x = −3
Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią
Zatem x = 3 .
Objętość sześcianu:
V = (2 x ) 3 = 23 ⋅ x 3 = 8 x 3
Ponieważ x = 3 więc otrzymujemy:
Z sumy odcinków i przystawania kwadratów
wnioskujemy w kolejnych krokach następujące
długości boków:
V = 8 x 3 = 8 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216
Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi 216.
18
23
Zatem pole niebieskiego kwadratu to:
11 * 11 = 121
Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się
ze 121 kwadracików.
Zestaw IV
Zadanie nr 9
Treść zadania
Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich
zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o
niebieskim obwodzie?
Zadanie nr 10
Treść zadania
Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży
prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego
kwadracika wynosi 9, oblicz długości boków
każdego kwadratu jak również długości boków
dużego prostokąta.
9
9
9
22
Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa
mają wspólny bok) zatem maja równe pola:
19
Bok pogrubionego kwadratu składa się z 6
kwadracików:
6
Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z
dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się
z 4 kwadracików:
Bok niebieskiego kwadratu to 11 kwadracików:
2
2
11
2
20
21

Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu

Transkrypt

Podobne dokumenty