STATYSTYKA STATYSTYKA

STATYSTYKA
Zbiór zadań do ćwiczeń
Maciej Wolny
Literatura:
[1] Aczel A.D.: Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000.
[2] Gajek L.: Kałuszka M., Wnioskowanie statystyczne, WNT, Warszawa 1993.
[3] Hellwig Z.: Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN,
Warszawa 1995.
[4] Ignatczyk W., Chromińska M.: Statystyka, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bankowej,
Poznań, 1999.
[5] Jóźwiak J.: Podgórski J., Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1992.
[ ] Kowalski J.:
[6] Krzysztofiak M., Urbanek D., Metody statystyczne, PWN, Warszawa 1977.
[7] Kukuła K.: Elementy statystyki w zadaniach, PWN, Warszawa 2002.
[8] Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U.: Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wyd. AE
we Wrocławiu, Wrocław 1999.
[9] Pawłowski Z.: Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1980;
[10] Rao C. R.: Statystyka i prawda, PWN, Warszawa 1994;
[11] Sobczyk M.: Statystyka, PWN, Warszawa 1995;
[12] Statystyka. Zbiór zadań, red. H. Kassyk-Rokicka, PWE, Warszawa 1997;
[13] Trybuła S.: Statystyka matematyczna z elementami teorii, Oficyna Wydawnicza
Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2001;
SPIS TREŚCI
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA............................................................................ 2
STATYSTYKA OPISOWA ...................................................................................................... 7
BADANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK....................................................................... 15
BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK ........................................................................................ 22
ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁADY ............................................................................. 24
BUDOWA PRZEDZIAŁÓW UFNOŚCI ................................................................................ 28
WERYFIKACJA HIPOTEZ .................................................................................................... 30
TABLICE ................................................................................................................................. 32
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Zadanie 1.
W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników
wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy z
uczestników zakupił jeden los. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnął:
a) los wygrywający,
b) los pusty,
c) los dający wygraną 100 zł?
Zadanie 2.
Jaka powinna być cena losu w zadaniu 1, aby organizatorzy loterii osiągnęli przychód z loterii
w wysokości:
a) 1000 zł,
b) przynajmniej 1000 zł.
Zakładamy, że wszystkie losy zostaną sprzedane.
Zadanie 3.
Jaka powinna być cena losu w zadaniu 2, aby organizatorzy loterii osiągnęli przychód z loterii
w wysokości przynajmniej 1000 zł, zakładając, że sprzedadzą tylko 30 % losów?
Zadanie 4.
Z talii złożonej z 32 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana
karta jest siódemką.
Zadanie 5.
Z talii złożonej z 52 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana
karta jest figurą (asem, królem, damą lub waletem)?
Zadanie 6.
Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie
uzyskamy liczbę oczek podzielną przez dwa lub trzy?
Zadanie 7.
Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba
oczek jest liczbą pierwszą?
Zadanie 8.
Na loterię przygotowano 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wśród czterech zakupionych losów jest:
-jeden wygrywający,
-są dwa wygrywające,
-jest przynajmniej jeden wygrywający,
-są przynajmniej dwa wygrywające?
Zadanie 9.
Dwaj strzelcy oddali po jednym strzale do tarczy. Pierwszy trafia w tarczę z
prawdopodobieństwem 0,7, drugi – 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj trafią w
tarczę.
Zadanie 10.
Trzej strzelcy oddali po trzy strzały do tarczy. Każdy z nich trafia w tarczę z
prawdopodobieństwem równym 0,6. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że:
-wszyscy trafili w tarczę,
-dwóch trafiło w tarczę,
-żaden nie trafił.
Zadanie 11.
Dwaj strzelcy wyborowi oddali po dwa strzały do ruchomego celu. Wiedząc, że
prawdopodobieństwo trafienie strzelca pierwszego wynosi 0,8, a drugiego – 0,9, oblicz
prawdopodobieństwo tego, że:
a) przynajmniej jeden trafi w cel,
b) żaden nie trafi w cel.
Zadanie 12.
W urnie znajdują się dwie kule czerwone i trzy kule białe. Wyciągamy losowo jedną kulę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie to kula biała?
Zadanie 13.
W urnie znajdują się dwie kule czerwone i trzy kule białe. Wyciągamy losowo jedną kulę i
odkładamy ją, a następnie losujemy następną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wyciągniemy dwie kule białe,
b) wyciągniemy dwie kule czerwone,
c) wyciągniemy jedną kule białą i jedną czerwoną.
Zadanie 14.
W urnie znajdują się dwie kule czerwone i trzy kule białe. Wyciągamy losowo jedną kulę i
zwracamy ją do urny, a następnie losujemy następną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wyciągniemy dwie kule białe,
b) wyciągniemy dwie kule czerwone,
c) wyciągniemy jedną kule białą i jedną czerwoną.
Zadanie 15.
Z talii liczącej 52 karty losujemy po kolei dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wylosowana po raz drugi karta nie jest asem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane
karty są figurami (asem, królem, damą lub waletem)?
Zadanie 16.
Z talii liczącej 52 karty losujemy jedną kartę i zwracamy ją do talii, tasujemy i losujemy
kolejną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana po raz drugi karta nie jest
asem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane karty są figurami (asem, królem, damą
lub waletem)?
Zadanie 17.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy losowo wybrane wierzchołki sześcianu tworzą trójkąt
równoboczny?
Zadanie 18.
Ruletka ma ponumerowane pola od 0 do 36. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygramy
stawiając na nieparzyste grając jednokrotnie?
Zadanie 19.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w zadaniu 18, przy założeniu, że zagramy:
a) dwa razy,
b) pięć razy?
Zadanie 20.
Grupę złożoną z 28 studentów, wśród których jest Zofia i Albert podzielono w sposób losowy
na dwie równoliczne grupy laboratoryjne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Zofia i Albert
będą w jednej grupie?
Zadanie 21.
W urnie są 4 kule białe i trzy czerwone. Losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że:
a) żadna z wylosowanych kul nie jest czerwona,
b) przynajmniej jedna jest czerwona,
c) obie są czerwone?
Zadanie 22.
W partii złożonej ze 150 żarówek kontrola wykazała, że 3 żarówki nie spełniają normy
jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród dwóch losowo wybranych żarówek
przynajmniej jedna nie spełnia normy jakości?
Zadanie 23.
W partii złożonej ze 250 żarówek kontrola wykazała, że 3% żarówek nie spełnia normy
jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu losowo wybranych żarówek:
a) przynajmniej jedna nie spełnia normy jakości,
b) dokładnie jedna nie spełnia normy jakości,
c) dokładnie trzy nie spełniają normy jakości,
d) wszystkie żarówki spełniają normy jakości?
Zadanie 24.
W urnie jest n kul, w tym 20 białych. Jakie musi być n, aby przy losowaniu z urny dwóch kul
bez zwracania prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było nie mniejsze niż
0,4?
Zadanie 25.
W urnie znajduje się 10 kul w tym pewna liczba kul czerwonych. Jaka najmniejsza liczba kul
czerwonych zapewnia w losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego
wylosowania kuli czerwonej przynajmniej 0,2?
Zadanie 26.
W urnie jest 115 losów, z których 16 wygrywa. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nabywca
trzech losów nabył:
a) przynajmniej jeden los wygrywający,
b) dokładnie jeden los wygrywający.
Zadanie 27.
Rzucono trzema symetrycznymi kostkami naraz. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a) suma oczek na trzech kostkach jest równa 12,
b) suma oczek na trzech kostkach jest równa przynajmniej 12,
c) suma oczek na trzech kostkach jest nie większa niż 12,
d) suma oczek na trzech kostkach wynosi co najwyżej 12.
Zadanie 28.
Student zna odpowiedzi na 20 spośród 50 pytań przygotowanych przez profesora. Na
egzaminie otrzymuje pięć pytań. Wiadomo, że liczba pytań, na które odpowie poprawnie jest
oceną z egzaminu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student zda egzamin.
Zadanie 29.
Student zna odpowiedzi na 20 spośród 50 pytań przygotowanych przez profesora. Na
egzaminie otrzymuje pięć pytań. Wiadomo, że liczba pytań, na które odpowie poprawnie jest
oceną z egzaminu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student zda egzamin na piątkę.
Zadanie 30.
Na egzaminie ze statystyki student otrzymuje pięć pytań spośród 50 przygotowanych przez
profesora. Wiadomo, że liczba pytań, na które odpowie poprawnie jest oceną z egzaminu. Ile
odpowiedzi powinien znać student przed egzaminem, aby zdać egzamin z
prawdopodobieństwem przynajmniej 0,5?
Zadanie 31.
Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia szóski w Dużego Lotka.
Zadanie 32.
Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej trójki w Dużego Lotka.
Zadanie 33.
Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia czwórki w Dużego Lotka.
Zadanie 34.
Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia trójki w Dużego Lotka.
Zadanie 35.
Rzucamy monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie orzeł. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że doświadczenie zakończy się po trzech rzutach.
Zadanie 36.
Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest równa 14?
Zadanie 37.
Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa niż 12?
Zadanie 38.
Z siedmiu odcinków o długościach: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 wybieramy losowo trzy. Jakie jest
prawdopodobieństwo, ze z wybranych odcinków można skonstruować trójkąt?
Zadanie 39.
W sklepie znajdują się żarówki wyprodukowane przez dwa zakłady Z1 i Z2. Wiadomo, że
zakład Z2 dostarcza dwa razy tyle żarówek co zakład Z1. W produkcji zakładu Z1 żarówki
wadliwe stanowią 6%, zaś w produkcji zakładu Z2 odsetek ten wynosi 4%. Zakłada się, ze w
magazynie w czasie pakowania żarówki wymieszano. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
kupujący jedną żarówkę kupi dobrą żarówkę?
Zadanie 40.
Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to:
a) as, b) trefl?
Zadanie 41.
W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Z urny wyjmujemy losowo jedną kulę. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała?
Zadanie 42.
Rzucamy 5 razy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że choć raz
wypadnie szóstka?
Zadanie 43.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania w totolotku a) szóstki b) piątki lub szóstki.
Zadanie 44.
W urnie jest 9 kul numerowanych cyframi od 1 do 9. Losujemy kolejno dwie kule, nie
zwracając ich do urny. Z cyfr na wylosowanych kulach tworzymy liczbę dwucyfrową: cyfra
wylosowana na pierwszej kuli jest cyfrą jedności, druga – cyfrą dziesiątek. Zakładamy, że
rezultaty losowania są jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
że a) otrzymana liczba jest parzysta, b) obie cyfry są nieparzyste.
Zadanie 45.
W urnie znajduje się 5 kul; 3 z nich są czarne, a 2 białe. Losujemy z urny kulę, zwracamy ją
do urny i dosypujemy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Następnie losujemy kulę z urny.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną?
Zadanie 46.
Trzy elementy można połączyć na trzy sposoby według poniższych schematów:
a)
b)
c)
Obliczyć prawdopodobieństwa awarii każdego z układów, jeśli prawdopodobieństwo
bezawaryjnej pracy każdego z elementów jest jednakowe i równe 0,2. Który z układów ma
największe prawdopodobieństwo awarii?
Zadanie 47.
Średnio 10% produkcji danego wydziału to braki. Każdy z detali przechodzi przez serię
stanowisk kontroli jakości pracujących niezależnie od siebie i przepuszczających wyrób
dobry z prawdopodobieństwem 0,9, a wyrób wadliwy z prawdopodobieństwem 0,2. Podać
najmniejszą liczbę stanowisk potrzebną do tego, by w partii, która przejdzie przez wszystkie
stanowiska kontroli z wynikiem pozytywnym, prawdopodobieństwo znalezienia braku było
mniejsze niż 5 ⋅ 10 −4
Zadanie 48.
Strzelec strzela do tarczy podzielonej na trzy pola. Prawdopodobieństwo trafienia w pierwsze
pole wynosi 0,45, a w drugie 0,40. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że strzelec w jednym
strzale trafi w pierwsze, albo drugie pole.
Zadanie 49.
Zakłady metalowe kooperują z trzema odlewniami. Z poszczególnych odlewni pochodzi
odpowiednio: 20%, 30% i 50% odlewów. Na podstawie obserwacji wiadomo, ze odlewy
dostarczane z pierwszej odlewni zawierają 2% odlewów z ukrytymi wadami, z drugiej – 9%,
a z trzeciej – 3%. Stwierdzono, że pewien odlew posiada ukrytą wadę. Z której odlewni
najprawdopodobniej pochodzi?
Zadanie 50.
Na 10 klockach są wyrzeźbione litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiące się nimi dziecko układa
je w rząd. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ułoży ono słowo „statystyka”?
Zadanie 51.
Zapotrzebowanie przemysłu na czółenka tkackie pokrywane jest w 40% przez zakład Z1, w
35% przez Z2 w 25% przez Z3. Wiadomo, że w produkcji Z1 braki stanowią 0,8%, w Z2 1,2%,
w Z3 1,5%. Zakupione jedno czółenko okazało się brakiem. Oblicz prawdopodobieństwo, że
zostało ono wyprodukowane przez Z2.
Zadanie 52.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany w sposób losowy punkt kwadratu
{( x , y ) :| x |≤ 1,| y |≤ 1 } jest punktem leżącym wewnątrz okręgu {( x , y ) : x 2 + y 2 = 1 } .
5⋅
STATYSTYKA OPISOWA
Zadanie 53.
Wzrost [cm] pewnej grupy dziewcząt przedstawia się następująco: 150, 151, 151, 151, 152,
152, 152, 152, 153, 153, 153, 153, , 155, 155, 155, 155, 155, 155, 156, 156, 156, 156, 156,
157, 157, 157, 157, 158, 158, 158, 159, 159, 160, 161. Na podstawie danych utworzyć szereg
rozdzielczy punktowy oraz szeregi rozdzielcze przedziałowe o interwale 1 cm oraz 2 cm, w
dwóch wersjach: gdy przedziały klasowe mają wspólne granice oraz gdy nie mają wspólnych
granic.
Zadanie 54.
Wzrost [cm] pewnej grupy chłopców przedstawia się następująco: 170, 171, 171, 171, 172,
172, 172, 172, 173, 173, 173, 173, , 175, 175, 175, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176,
177, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 180, 181, 217. Jaki jest przeciętny wzrost w
badanej grupie? Jaką miarę położenia powinniśmy zastosować i dlaczego?
Zadanie 55.
W czteroosobowej rodzinie średnia miesięczna płaca wynosi 1300 zł. Jakie wynagrodzenie
otrzymuje mama, jeżeli ojciec miesięcznie zarabia 1500 zł, syn 1300 zł, a córka 1200 zł?
Zadanie 56.
W małej prywatnej firmie zarobki pięciu zatrudnionych pracowników produkcyjnych
wyniosły po 500 zł, kierownik i księgowa dostali po 2 000 zł, natomiast właściciel: 10 000 zł.
Wyznacz średnią płacę w firmie. Ile osób zarabia poniżej średniej?
Zadanie 57.
Wysokość najważniejszych 11 szczytów w najwyższym pasmach górskich w Polsce
przedstawia się następująco: 1315, 1333, 1346, 1557, 1723, 1894, 1987, 2064, 2301, 2438,
2499. Jaka jest średnia wysokość wymienionych szczytów?
Zadanie 58.
Rozkład braków w 50 partiach samochodów dostarczonych w ciągu trzech kwartałów do
salonu Fiata przedstawiono w poniższej tabeli.
xi
2
3
4
5
6
ni
7
12
16
10
5
Obliczyć średnią, dominantę, medianę, kwartyle oraz zinterpretować otrzymane wyniki.
Zadanie 59.
Średni wiek w n-osobowej grupie uczniów wynosi 11 lat. Najstarszy członek grupy ma 17 lat,
a średnia wieku pozostałych wynosi 10 lat. Ilu uczniów liczy ta grupa?
Zadanie 60.
Przeprowadzone wśród 200 studentów badania ankietowe dotyczące ich sytuacji rodzinnej
dostarczyły informacji na temat liczby posiadanego przez nich rodzeństwa. Okazało się, że
30% studentów nie miało rodzeństwa, a 90% miało nie więcej niż jednego brata lub siostrę.
Natomiast 97% ogółu studentów posiadało nie więcej niż dwoje rodzeństwa oraz w badanej
grupie studentów nie było ani jednego, który miałby więcej niż troje rodzeństwa.
a) Na podstawie powyższych informacji ustalić postać rozkładu studentów według liczby
posiadanego rodzeństwa.
b) Określić i zinterpretować średnią, dominantę, kwartyle (oraz odpowiednio wybrane
kwantyle).
Zadanie 61.
Współczynnik zmienności rozkładu płac w pewnym przedsiębiorstwie wynosi 10%, najwięcej
pracowników otrzymuje pensję 1200 zł netto, połowa otrzymuje nie więcej niż 1300 zł.
Zakładając, że rozkład płac jest umiarkowanie asymetryczny, jak kształtuje się typowa pensja
(netto) w tym przedsiębiorstwie?
Zadanie 62.
W zakładzie produkującym obuwie sportowe zbadano pracowników pod względem wieku
rozpoczęcia pracy w tym zakładzie. Okazało się, że 25% rozpoczęło pracę przed
ukończeniem 20 roku życia. Połowa między 20. a 23. Zakładając, że wartości pozycyjnych
współczynników zmienności są identyczne, podaj w jakim wieku najczęściej rozpoczynał
pracę statystyczny pracownik, a jaki wiek rozpoczęcia pracy charakteryzuje przeciętnego
pracownika. Uzasadnić rozwiązanie.
Zadanie 63.
W punkcie skupu makulatury studenci wykonali projekt ze statystyki badając pewną losowo
wybraną próbę z populacji wagi oddawanej makulatury. Obliczono, że mediana wynosi 12 kg
i umiejscowiona jest w przedziale od 10 kg do 15 kg, którego liczebność wynosi 35. Jaka jest
liczebność badanej próby, jeśli 30 osób z tej próby oddało makulaturę o wadzę mniejszej niż
10 kg?
Zadanie 64.
Rozkład liczby spóźnień na zajęcia 100 losowo wybranych studentów w ostatnim roku
kształtował się w następujący sposób:
Liczba spóźnień
0
1
2
3
4
5 i więcej
Liczba pracowników
10
15
40
15
10
10
Wiedząc dodatkowo, że średnia liczba spóźnień w ostatnim przedziale wynosiła 6,2
scharakteryzować przeciętną liczbę spóźnień pracowników oraz jej zmienność w badanym
okresie.
Zadanie 65.
Zbadano zużycie wody w gospodarstwach domowych w pewnym wieżowcu i otrzymano
następujące dane:
Zużycie w m3/os
2,5 i mniej
2,5-2,7
2,7-2,9
2,9-3,1
3,1-3,3
3,3 i więcej
Liczba osób
3
12
30
42
10
4
Obliczyć:
a) przeciętne zużycie wody przez osobę w tym wieżowcu,
b) medianę,
c) dominantę,
d) kwartyle,
e) wyznaczyć typowy obszar zmienności,
f) określić stopień asymetrii,
g) czy rozkład jest lepto- czy platokurtyczny?
Zadanie 66.
Wzrost [w cm] 50 uczniów w pewnej szkole przedstawia się następująco: 160; 161; 161; 162;
162; 163; 163 163; 163; 163; 164; 164; 164; 164; 164; 165; 165; 165; 165; 166; 166; 166;
167; 167; 167; 168; 168; 168 169; 169; 170; 170; 170; 171; 171; 171; 172; 172; 173; 173;
174; 174; 175; 176; 176; 177; 178; 178; 179 180. Informacje o wadze [w kg] tych uczniów
zawarto w tabeli:
Waga
Odsetek uczennic
45-50
10
50-55
34
55-60
32
60-65
20
65-70
2
70-75
2
a) Utworzyć z szeregu szczegółowego szeregi rozdzielcze o rozpiętości równej 5, przyjmując
za dolną granicę pierwszego przedziału wartość 160.
b) Obliczyć średni wzrost uczennic wykorzystując dane z wszystkich szeregów. Uzasadnić
przyczynę różnic w otrzymanych wartościach.
c) Który z rozkładów cechuje większe zróżnicowanie, który większa asymetria, a który
większe skupienie wartości wokół średniej?
Zadanie 67.
Skoczek narciarski A uzyskał na obiekcie o punkcie konstrukcyjnym 120 następujące wyniki
(w metrach): 117; 117,5; 117,5; 118; 118; 119; 121,5; 121,5; 122; 123. Przeciętny skok
skoczka B na tym samym obiekcie wynosił 119,7 m. , natomiast suma kwadratów długości
skoków wyniosła 143320 (m. kw.). Obaj sportowcy oddali taką samą liczbę skoków. Który z
nich skakał „równiej”?
Zadanie 68.
Analiza długości dziennych rozmów telefonicznych przyjętych do realizacji w ciągu jednego
dnia w centrali pewnej firmy dostarczyła następujących informacji: [w min]
Czas trwania rozmów
Dystrybuanta empiryczna
Poniżej
3000
0,08
3400
0,21
3800
0,26
4200
0,31
4600
0,36
5000
0,48
5400
0,89
5800
1,00
Wiedząc, że najkrótszy czas trwania dziennych rozmów wynosił 2600 min, za pomocą
klasycznych miar określić przeciętny poziom i zróżnicowanie czasu trwania dziennych
rozmów.
Zadanie 69.
Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej struktury wzrostu uczniów w dwóch klasach
na podstawie danych zawartych w poniższej tablicy (wzrost w cm):
Od
Do
Liczba uczniów w klasie B
Liczba uczniów w klasie A
158
161
3
2
161
164
5
3
164
167
8
6
167
170
15
8
170
173
6
15
173
Zadanie 70.
176
3
6
Obliczyć średnią prędkość pociągu między stacjami A i F, jeżeli na trasie są stacje B, C, D i
E. Dane podane są w tabeli.
Odcinek trasy
Odległość między stacjami [w
km]
Średnia prędkość na odcinku [w km/h]
A–B
12
40
B–C
08
60
C–D
15
50
D–E
24
60
E–F
12
30
a) Czy większą część drogi pociąg jechał z prędkością większą od przeciętnej na trasie?
Odpowiedź uzasadnić.
b) Czy dłużej pociąg jechał z prędkością większą od średniej? Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 71.
Zbadano wiek pracowników cywilnych WKU na Śląsku. Okazało się, że 25% pracowników
ma mniej niż 30 lat. Połowa jest między 30. a 40. rokiem życia. Zakładając, że rozkład jest
symetryczny podaj jak kształtuje się typowy wiek pracownika, wiedząc, że współczynnik
zmienności wynosi 20%.
Zadanie 72.
W oddziale pewnego banku największa liczba klientów instytucjonalnych zaciągnęła kredyt
w wysokości 200 tys. złotych. Połowa zaciągnęła kredyt poniżej 500 tys. zł. Określ kierunek
asymetrii.
Zadanie 73.
W oddziale stat-Banku co czwarty klient instytucjonalny zaciągnął kredyt nie większy nić 150
tys. zł. Połowa klientów zaciągnęła więcej niż 150 tys. zł. i mniej niż 600 tys. zł, a co drugi
klient więcej niż 500 tys. zł. Natomiast w oddziale math-Banku połowa zaciągnęła kredyt
wysokości 450 tys. zł. Co czwarty zaciągnął więcej niż 200 tys. zł., a trzech klientów z
czterech zaciągnęło kredyt mniejszy niż 550 tys. zł. Który z rozkładów udzielonych kredytów
cechuje silniejsza asymetria?
Zadanie 74.
Dane są rozkłady wieku dzieci w dwóch wieżowcach przedstawione w poniższych tabelach.
Wiek dzieci w
latach
Liczba dzieci w
wieżowcu A
0–4
7
4–8
13
8 – 12
15
12 i więcej
5
Wiek dzieci w
latach
Liczba dzieci w
wieżowcu B
0–3
6
3–6
7
a) Czy można porównać siłę asymetrii tych
rozkładów? Uzasadnić odpowiedź jeśli nie
6–9
9
można, a w przeciwnym przypadku podać,
9 – 12
14
który rozkład cechuje silniejsza asymetria.
b) W którym wieżowcu jest większe
12 i więcej
4
zróżnicowanie wieku dzieci? Odpowiedź
uzasadnić.
Zadanie 75.
W oddziale math-Banku najwięcej pracowników zarabia netto 1800 zł. Połowa zarabia
przynajmniej 1900 zł. Jeżeli współczynnik zmienności pensji w tym oddziale banku wynosi
10% oraz asymetria jest umiarkowana, podaj jak kształtuje się typowa pensja netto w tym
oddziale math-Banku.
Zadanie 76.
Oblicz średnią prędkość samochodu, jeśli wiadomo, że:
a) samochód jechał 30 minut z prędkością 100 km/h i 45 minut z prędkością 60 km/h.
b) samochód jechał 50 km z prędkością 100 km/h i 45 km z prędkością 60 km/h.
Jakie średnie należy zastosować i dlaczego?
Zadanie 77.
Gęstość zaludnienia w dwóch pięćdziesięciotysięcznych miastach wynosiła: w pierwszym
1500 os./km2, a w drugim: 500 os./km2. Oblicz średnią gęstość zaludnienia obu tych miast.
Zadanie 78.
W Statlandii wyprodukowano pewien materiał w trakcie kilku procesów. W pierwszym
procesie otrzymano 2 kg materii o gęstości 10 g/cm3, w drugim 3 kg materii o gęstości 20
g/cm3, a w trzecim 1 kg materii o gęstości 15 g/cm3. W ostatnim procesie zmieszano tak
otrzymaną matrię i uzyskano 6kg gotowego materiału. Jaka jest średnia gęstość otrzymanego
matriału? Jaką ma objetość uzyskany materiał?
Zadanie 79.
Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas
zmiany kształtuje się następująco:
18 15 14 13 17 19 17 21 17 17 12 18 15 16 17 17 17 17 16 14 15 16 16 12 19 20 19 12 20 18
Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielczy punktowy i rozdzielczy przedziałowy (o
interwale równym 2) i na ich podstawie określić średnia arytmetyczną, dominantę i kwartyle.
Zadanie 80.
Zbadano 50 wyrobów pewnej firmy pod względem ilości braków i otrzymano następujące
dane:
xi
0
1
2
3
4
5
ni
15
20
9
3
2
1
Jakie wyroby przeważają w badanej produkcji: o ilości braków wyższej czy niższej od
średniej?
Zadanie 81.
Płace pewnej firmy podlegają następującemu rozkładowi:
Płace w setkach zł
Liczba osób
1–3
4
3–5
10
5–7
30
7–9
40
9 – 11
10
11 – 13
6
Wokół jakiej kwoty skupiają się płace najliczniejszej grupy pracowników? Jakie osoby
przeważają: z płacą niższą, czy wyższą od średniej?
Zadanie 82.
Zbadano staż pracy w pewnym zakładzie, dane przedstawiono w tabeli:
Grupa wiekowa
Staż w latach
Liczba pracowników
Najstarsi
10 – 20
30
Średni
5 10
40
Najmłodsi
2 5
30
Przyjmuje się, że należy zwolnić 25% pracowników, jako kryterium przyjęto staż pracy i
zwalniani są pracownicy o najniższym stażu pracy. Wyznacz staż pracy, do którego należy
zwolnić pracownika.
Zadanie 83.
W pewnej prywatnej firmie wypłacono miesięczne premie uznaniowe wg następującego
klucza: 5% ogółu zatrudnionych pracowników otrzymało po 200 zł, 60% dostało po 300 zł,
25% po 400 zł i 10% po 500 zł Obliczyć średnią premię przypadającą na jednego
zatrudnionego w firmie.
Zadanie 84.
Dany jest uporządkowany zbiór wartości zmiennej X={21, 35, 49, 63, 77, 93, 100}. Które z
hipotetycznych wartości średniej należy od razu (bez liczenia) wykluczyć? Hipotetyczne
wartości średniej: 14, 15, 19, 25, 34, 54, 60, 100, 104, 105. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 85.
W firmie pracuje 25 osób. Cztery osoby zarabiają nie więcej niż 400 zł, osiem zarabia nie
więcej niż 800 zł, piętnaście otrzymuje nie więcej niż 1200 zł oraz dwadzieścia jeden dostaje
nie więcej niż 1600 zł. Pozostałe osoby stanowią ścisłe kierownictwo firmy, jednak żadna z
nich nie zarabia więcej niż 3000 zł. Jaka jest wysokość przeciętnej płacy miesięcznej w
przedsiębiorstwie?
Zadanie 86.
Zbadano rozkład średnich ocen ze statystyki na przestrzeni 10 lat na pewnym wydziale jednej
z polskich uczelni. Wyniki przedstawiono w tabeli:
Lata
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
Średnia ocena
3,1
3,2
3,2
3,5
3,4
3,4
3,0
3,2
3,3
3,3
Liczba
studentów
150
150
100
100
100
75
75
75
50
50
Jaka jest średnia ocen ze statystyki z 10 lat? Jaka jest średnia ze statystyki z ostatnich 5 lat?
Zadanie 87.
W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników „fizycznych” i 25 „umysłowych”.
Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia
wieku pracowników umysłowych wynosi 25 lat. Typowy wiek wszystkich pracowników
kształtuje się od 27 do 39 lat. Co można powiedzieć o wieku pana Heńka, który jest
pracownikiem umysłowym?
Zadanie 88.
Uzupełnić dane dotyczące wzrostu (w cm) w dwóch klasach.
Średnia
160
Typowy obszar zmienności
(157;165)
Współczynnik zmienności
Dominanta
160
Współczynnik asymetrii
-0,2
Wariancja
25
Zadanie 89.
Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod
względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij
pozostałe.
Wiek
Średnia
Staż
40
Typowy obszar zmienności
15-25
Wariancja
49
Zadanie 90.
W punkcie skupu zwierząt rzeźnych przeprowadzono badania próbne wagi cieląt. Wiadomo,
że mediana wagi cieląt wynosi 46 kg i jest umiejscowiona w przedziale [40 kg, 50 kg], do
którego należy 30 cieląt. Ponadto wiadomo, że w badanej zbiorowości jest 40 cieląt o wadze
poniżej 40 kg. Ile liczy cała zbiorowość próbna?
Zadanie 91.
Czternastoosobowa grupa studentów pisała pracę kontrolną z matematyki. Wyniki
sprawdzianu przedstawiają się następująco: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5.
Podaj średnią ocenę ze sprawdzianu ora wskaż dominantę.
Oceń stopień zróżnicowania wyników sprawdzianu.
Zadanie 92.
Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas
zmiany kształtuje się następująco:
19
15
14
13
17
19
17
20
17
17
13
18
15
16
17
17
17
17
16
14
15
16
16
12
19
20
19
12
20
18
Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielcze punktowy i przedziałowy (o interwale
równym 2) i na ich podstawie określić średnią arytmetyczną, dominantę i kwartyle. Przy
obliczaniu przeciętnych pozycyjnych wykorzystać również metodę graficzną.
Zadanie 93.
Czas rozwiązania pewnego zadania (w minutach) przez grupę 220 uczniów charakteryzuje
poniższy rozkład:
Czas rozwiązania zadania
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
Liczba uczniów
1
15
53
87
51
12
1
Wyznaczyć liczbowe granice obszaru zmienności dla typowych jednostek badanej
zbiorowości.
Zadanie 94.
Zbadano 100 małżeństw pod względem liczby dzieci (cecha X) i czasu trwania małżeństwa
(cecha Y). Wiedząc, że średnia arytmetyczna wartości kwadratów cechy Y wynosi 116 oraz
x = 2, y = 10, Sx = 1. Ocenić pod względem, której cechy badane małżeństwa są bardziej
zróżnicowane.
Zadanie 95.
W pewnym sklepie dokonano obserwacji wielkości zakupów dokonywanych przez
poszczególnych klientów. Okazało się, że każdy zakup był wyższy od 5 zł, 25% ogółu
zakupów nie przekraczało sumy 50 zł, a 75% było niższe od 150 zł, na klienta. Jednocześnie
wiadomo, że żaden zakup nie przekraczał sumy 300 zł. Wyznaczyć pozycyjny współczynnik
zmienności.
Zadanie 96.
W dwóch przedsiębiorstwach przeprowadzono badanie robotników pod względem stażu
pracy w zakładzie. Otrzymano następujące dane:
Przedsiębiorstwo I x1 = 15 lat V1 = 20%
Przedsiębiorstwo II x 2 = 10 lat V2 = 25%
Obliczyć x , S i V dla całej zbiorowości pracowników wiedząc, że liczba robotników w
przedsiębiorstwie I wynosiła 120 osób a w drugim 80 osób.
Zadanie 97.
Określ kierunek skośności (asymetrii) rozkładu zmiennej X, której obserwacje przedstawia
szereg:
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8,
8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11.
Zadanie 98.
Na podstawie poniższych danych dotyczących pensji otrzymywanych w dwóch
przedsiębiorstwach A i B oceń który rozkład cechuje silniejsza asymetria.
Pensja w j.p.
Przedsiębiorstwo A
Przedsiębiorstwo B
1-2
19
16
2-3
21
24
3-4
25
30
5-6
30
28
7-8
15
2
Zadanie 99.
Stu pracowników pewnego przedsiębiorstwa (60 mężczyzn i 40 kobiet) zbadano pod
względem wieku, otrzymując następujące informacje:
mężczyźni: x = 40 lat, D=35 lat AS = + 0,5
kobiety: x = 30 lat, D=33 lata AS = - 0,5
Obliczyć x ,S i V dla całej zbiorowości 100 pracowników.
Zadanie 100.
Dokonać analizy porównawczej rozkładu wieku studentów studiów dziennych i zaocznych
mając następujące dane:
studia dzienne D = 19 lat, x = 20 lat , V = 10%
studia wieczorowe Me = D = 25 lat, S = 2 lata
Zadanie 101.
W dwóch grupach pracowników liczących po 50 osób każda, zbadano przeciętne miesięczne
wydatki na papierosy. Otrzymano następujące dane:
grupa I: Me = 2800 zł. VQ= 24% Q1 = 1500 zł
grupa II: Q3 = 3100 zł VQ = 25% Me = 2300 zł.
Porównać dyspersję wydatków w obu grupach. Porównać siłę i kierunek asymetrii.
Zadanie 102.
Badano w zakładzie staż zatrudnionych pracowników. Całą społeczność podzielono na dwie
grupy pracowników: umysłowych i fizycznych. Pracowników umysłowych było 50 a
fizycznych 4 razy tyle, co umysłowych. Średni staż pracy pracowników umysłowych wyniósł
15 lat, a fizycznych 12. Odchylenie standardowe dla staży pracowników fizycznych wynosi 4
lata, a dla umysłowych 5 lat. Obliczyć średni staż pracy i odchylenie standardowe dla ogółu
pracowników.
Zadanie 103.
W przedsiębiorstwie A ma miejsce następujący rozkład płac:
Płace z zł
Fundusz płac w zł
590 – 650
2480
650 – 710
6800
710 – 770
11100
770 – 830
16000
830 – 890
5160
W przedsiębiorstwie B płaca przeciętna wynosi 755 zł, bezwzględne zróżnicowanie płac
wynosi ±99,50 zł. Najliczniejsza grupa pracowników ma płacę 730,50 zł. W którym
przedsiębiorstwie chciałbyś pracować w A czy B? Odpowiedź uzasadnić.
BADANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK
Zadanie 104.
W celu zbadania zależności stażu pracy, a wydajnością pracownika w dużym
przedsiębiorstwie wylosowano w sposób niezależny stu pracowników. Wyniki podaje tabela:
Liczba sztuk na godzinę
Staż
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
0–2
15
5
-
-
2–4
10
10
5
-
4–6
-
10
10
5
6–8
-
-
10
5
8 – 10
-
-
5
10
Wyznaczyć równanie regresji II rodzaju. Wykreślić empiryczną linie regresji I i funkcję
regresji II rodzaju.
Czy zasadne jest przyjęcie liniowej zależności między badanymi cechami.
Zadanie 105.
Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod
względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij
pozostałe.
Wiek
Średnia
Staż
40
Typowy obszar zmienności
15-25
Wariancja
49
Wiedząc, że średnia iloczynu wieku i stażu pracy wynosi 807 oblicz współczynnik korelacji
liniowej Pearsona oraz napisz równanie regresji stażu pracy do wieku
pracowników.
Zadanie 106.
Typowa płaca w pewnym przedsiębiorstwie kształtuje się między 1800 zł a 2200 zł. Typowy
miesięczny przychód firmy kształtuje się między 780 tys. zł. a 1780 tys. zł. 81% informacji o
miesięcznej pensji pracownika jest wyjaśnianych przez zmienną opisującą miesięczny
przychód firmy. Ile wynosi kowariancja między płacą w firmie, a jej przychodem?
Zadanie 107.
Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę artykułów
spożywczych ( w kg): ziemniaki A i buraki B. Otrzymano następujące wyniki:
Spożycie A
10
20
25
30
40
45
60
Spożycie B
20
25
35
30
45
50
60
a) Wyznaczyć proste regresji spożycia wymienionych artykułów metoda najmniejszych
kwadratów.
b) Obliczyć współczynnik korelacji między tymi zmiennymi.
Zadanie 108.
8 studentów rozwiązywało 2 testy ze statystyki. Wyniki testów (w punktach) kształtowały się
następująco:
Test A
20
18
18
17
15
10
10
8
Test B
15
15
14
14
14
12
12
10
Czy istnieje silna zależność między wynikami testów?
Zadanie 109.
Dana jest tablica korelacyjna stażu pracy (Y) pracowników w pewnym zakładzie oraz liczby
pobranych przez nich pożyczek (X) z kasy zapomogowo-pożyczkowej.
Liczba
pożyczek
Staż pracy w latach
0–4
4-8
8 - 12
1–2
30
3
-
3–4
4
18
12
5–6
-
1
8
a) Porównać zmienność cechy X ze zmiennością cechy Y.
b) Obliczyć współczynnik korelacji między stażem pracy pracowników a liczbą pobranych
pożyczek.
c) Wyznaczyć empiryczne linie regresji i przedstawić je na wykresie.
d) Wyznaczyć parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i ocenić
dokładność dopasowania danych do linii regresji.
Zadanie 110.
Związek korelacyjny dwóch zmiennych określają następujące wielkości:
rxy = 0,8 exy2 = 0,82 S2(x) = 81 S2 ( j) = 60
Czy korelacja miedzy zmiennymi ma charakter prostoliniowy czy krzywoliniowy?
Zadanie 111.
W fabryce zbadano, jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu
nieprzerwanej pracy
Czas pracy w godz.
1
2
3
4
5
6
7
Wydajność w szt./godz.
20
22
20
18
15
13
12
a) Określić rodzaj zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i obliczyć
współczynnik korelacji.
b) Oszacować, ile sztuk na godziną może przeciętnie wyprodukować robotnik pracujący
nieprzerwanie osiem godzin.
Zadanie 112.
Dana jest tablica korelacyjna:
Waga ucznia
[kg]
Wzrost ucznia [cm]
140 – 150
150 – 160
160 – 170
170 i więcej
40 – 45
18
-
-
-
45 – 50
30
6
-
-
50 – 55
15
18
3
-
55 – 60
1
7
4
1
60 i więcej
-
-
1
2
a) Jaka jest średnia waga, a jaki średni wzrost uczniów? Wyznaczyć równanie regresji II
rodzaju.
b) Czy zasadne jest przyjęcie liniowego modelu regresji? Wykreślić linię regresji I rodzaju.
Zadanie 113.
W fabryce zbadano jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu
nieprzerwanej pracy.
Czas pracy [h]
Wydajność [szt/h]
1
2
3
4
5
6
7
19 22 19 17 15 13 14
a) określ rodzaj badanej zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i oblicz
współczynnik korelacji
b) jakiej wydajności należy oczekiwać od pracownika pracującego nieprzerwanie 9 godzin?
w jakim stopniu wydajność pracownika zależy od czasu nieprzerwanej pracy a w jakim od
innych czynników?
Zadanie 114.
Przeprowadzono w wybranej grupie studenckiej badania statystyczne dotyczące wyniku
egzaminu końcowego ze statystyki (Y- w punktach), ilorazu inteligencji (X- w jednostkach
IQ) i liczby godzin poświęconych na naukę przedmiotu (Z- w godzinach). Uzyskane dane
przedstawia tablica
Y 83
77
95
49
63
80
91
79
36
58
93
84
X 112 115 129 103 117 115 124 113 106 114 136 127
Z
9
6
14
4
8
12
10
9
5
7
8
3
a) ustal, które z cech wykazują największą wewnętrzną zmienność
b) oblicz współczynniki korelacji liniowej Pearsona między cechami X i Y, X i Z oraz Y i Z
zbadaj współzależność cech za pomocą współczynnika Spearmana
Zadanie 115.
Zbadano wykształcenie małżonków w 9 rodzinach. Otrzymano następujące wyniki (Wwykształcenie wyższe, S-średnie, N- niższe)
Żona
W
W
Ś
Ś
W
Ś
Ś
Ś
W
Mąż
Ś
W
Ś
Ś
Ś
Ś
W
Ś
W
Jak silna jest zależność między poziomem wykształcenia męża i żony?
Zadanie 116.
Porównaj współczynnik korelacji wyznaczony wg miary Pearsona ze współczynnikiem
korelacji Spearmana dla następujących danych:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
9
10
7
8
6
1
2
5
4
3
Zadanie 117.
Jeżeli współczynnik determinacji liczby łóżek i liczby pokoi w 22 hotelach warszawskich
wyniósł 94,5%, to na jakim poziomie oszacowano współczynnik korelacji tych zmiennych?
Zadanie 118.
Badając zależność korelacyjną pomiędzy liczbą godzin spędzonych na oglądaniu kreskówek
(X) i liczbą godzin poświęconą na oglądanie „Wiadomości” (Y) Bolek i Lolek stwierdzili, że
cov(x,y)=-2, Sx=1, y =4, Sy=1. Tola przyjaciółka chłopców jest zdania, że popełnili oni błąd.
Kto ma rację i dlaczego?
Zadanie 119.
Producent napojów chłodzących zgromadził dane o ilości zamówień (tys. l] i średniej
temperaturze dobowej (w oC) w ciągu 10 wybranych dni. Wyniki przedstawia tabelka
Średnie temperatury dobowe
18
24
29
20
35
18 14
27
30
22
Wielkość zamówienia
50
93
119
60
160
52 35
105
120
71
a) czy istnieje zależność między ilością zamówień i temperaturą dobową. Jeśli tak jaka jest jej
siła i kierunek?
b) zbudować odpowiedni model regresji liniowej i ocenić poziom jego dopasowania do
danych
c) określić w jakim stopniu ilość zamówienia zależy od temperatury
w jakim stopniu wzrośnie ilość zamówień, gdy temperatura wzrośnie o 1 oC?
Zadanie 120.
Wyznacz reszty równania x*=-2y+8. Czy może to być równanie oszacowane KMNK?
xi
1
3
5
7
9
12
yj
5
4
3
4
2
1
Zadanie 121.
Zbadano zależność między ilością reklam pewnego wyrobu emitowanych dziennie w TV (X),
a wysokością obrotu [10 tys. zł] ze sprzedaży rozważanego wyrobu (Y). Dane przedstawia
poniższa tablica
X\Y
10-14 14-18 18-22 22-26
0-4
8
4-8
4
8
6
8-12
8
5
4
12-16
4
4
3
a) wyznacz rachunkowo i graficznie funkcje regresji I-go rodzaju dla obu zmiennych
b) oceń siłę związków korelacyjnych między zmiennymi i zinterpretuj otrzymane wyniki
Zadanie 122.
Tablica przedstawia średnie dzienne wydatki [zł]na słodycze i inne przekąski 80 dzieci w
wieku od 11 do 16 lat.
Wiek\wydatki
0-4
4-8
10-12
34
3
12-14
4
18
12
1
8
14-16
8-12
a) oblicz współczynnik korelacji pomiędzy zbadanymi wielkościami
b) wyznacz parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i oceń
dokładność dopasowania danych do linii regresji
Zadanie 123.
Analiza spożycia artykułu C zależnie od dochodu w losowej próbie gospodarstw domowych
dostarczyła następujących informacji:
– średnie spożycie artykułu C na jedną osobę wynosi 2,5 [kg]
– średni miesięczny dochód na 1 osobę wynosi 540 [tys. zł]
– współczynnik zmienności dochodu wynosi 15%, a spożycia 20%
– poziom kowariancji równa się 27
a) wypowiedzieć się na temat siły i kierunku zależności
b) oszacować parametry funkcji regresji spożycia względem wielkości dochodów
c) obliczyć poziom spożycia dla rodzin o dochodach średnich wynoszących 600[tys. zł]
d) czy wysokość dochodu wpływa na poziom spożycia silniej niż inne czynniki?
Zadanie 124.
W badaniu zależności między wielkością opłat za zużycie energii elektrycznej (Y) a
wielkością gospodarstw domowych (X) dla 80 wylosowanych wynika, ze cov(x,y)=32, x =4
[osoby], Sx=0,8, y =300 [zł], Sy=150 [zł].
a) oszacować parametry liniowej funkcji regresji wysokości opłat za zużycie energii
elektryczne j względem wielkości gospodarstw domowych.
b) jaka jest siła tej zależności?
Zadanie 125.
W pewnym zakładzie pracy przeprowadzono badanie zależności między stażem pracy (X) i
odsetkiem braków w produkcji (Y) wykonywanej przez 135 robotników i otrzymano
następujące wyniki:
x =8 [lat], y =10
Vx=30%, Vy=25%
Współczynnik regresji odsetka braków względem stażu pracy wynosi -0,62
Co można powiedzieć o kierunku i sile korelacji między tymi zmiennymi
Zadanie 126.
Właściciel zakładu badał zależność między płacą (X), a liczbą braków (Y). W styczniu na
podstawie losowo wybranej próby 20 pracowników, u których zaobserwowano liczbę
elementów wadliwych od 20 do 60 i zarobki od 1,5 [mln. zł] do 4,2 [mln. zł] wyznaczono
równania regresji:
y=-12,79x-62,19 i x=-0,059y+4,28
a) wykreślić przedstawione linie regresji
b) obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji oraz określić jakiego poziomu braków
można się spodziewać u pracowników mających wynagrodzenie na poziomie 5 [mln. zł]
c) w jakim stopniu liczba braków jest zależna od wysokości wynagrodzenia?
d) jak zmieni się wynagrodzenia jeśli liczba braków wzrośnie o 1
e) jak zmieni się liczba braków, gdy wynagrodzenia wzrosną o 1 [mln. zł]
Zadanie 127.
Liczba dzieci (X) oraz wysokość wydatków [w 100 zł] (Y) dla 20 wybranych rodzin
kształtowały się następująco:
X\Y
100-300
300-700
0
1
1
1
2
2
3
700-1100
2
5
4
1100-1900
3
2
a) Na podstawie diagramu korelacyjnego dokonaj wzrokowej oceny charakteru zależności X i
Y.
b) Zbadaj siłę zależności krzywoliniowej zmiennych
Zadanie 128.
Dwa zakłady produkują identyczny wyrób. Modele kosztów miesięcznych są następujące (Xwielkość produkcji [tys. sztuk], Y- koszty [tys. zł])
I: y=0,4x+15,5
II: y=0,58x+15,5
Który z tych zakładów produkuje oszczędniej? Uzasadnij odpowiedź.
Zadanie 129.
W zakładach odzieżowych przeprowadzono badania w celu ustalenia zależności między
długością serii produkcji [tys. sztuk] (X), a jednostkowym kosztem produkcji wyrobu [tys. zł]
(Y). W rezultacie otrzymano następujące równania regresji: x=-0,003y+1,7, y=-270x+5160
a) podać interpretację współczynników regresji a1, b1
b) co można powiedzieć o kierunku i sile zależności pomiędzy tymi cechami?
c) jaki jest teoretyczny poziom kosztu jednostkowego przy długości serii 10 [tys. sztuk]
d) jak zmieni się koszt jednostkowy jeśli długość serii wydłużymy o 1 [tys. sztuk]
Zadanie 130.
Mamy dane : a1=1,6, Sx=6, Sy=10. Oblicz współczynnik determinacji.
Zadanie 131.
Które z poniższych wyników są niewiarygodne i dlaczego?
a1=-0,2, rxy=0,8
a1=0,75, b1=2,5
rxy=-0,75, b1=-0,23
Zadanie 132.
Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę maki i
tłuszczów [kg]. Otrzymano następujące wyniki:
Spożycie mąki [kg]
10
20
25
30
40
45
60
Spożycie tłuszczów [kg]
20
25
35
30
45
50
60
a) wyznacz proste regresji spożycia wymienionych artykułów metodą najmniejszych
kwadratów
b) oblicz współczynnik korelacji między tymi zmiennymi
Zadanie 133.
Dane są zmienne: X- koszt produkcji detalu [tys. zł], Y- liczba produkowanych detali [tys.
sztuk]. Wiadomo, że : x =10, Sx=3, y =12, Vy=30%, a1=720 [sztuk/tys. zł]
a) ustalić siłę i kierunek współzależności cech
b) oszacować koszt przy produkcji 10 [tys. sztuk]
c) jak dużej produkcji należy się spodziewać przy założonym koszcie produkcji 12 [tys.
sztuk]?
d) określić poziom niedopasowania zmiennych
Zadanie 134.
Na podstawie przeprowadzonych badań dotyczących absencji chorobowej pracowników i ich
wieku wiadomo, że: rxy=0,53, Sx=15 [lat], cov(x,y)=12,24, Sy2=12,24. czy przedstawiona
sytuacja jest możliwa?
Zadanie 135.
Badając zależność pomiędzy powierzchnią użytkową mieszkania [m2] a liczbą osób w
gospodarstwie rodzinnym dla losowo wybranej grupy 15 mieszkań otrzymano następujące
rezultaty:
- średnia liczba osób 3,6; odchylenie standardowe liczby osób 1,4
- średnia powierzchnia 50,7 [m2]; odchylenie standardowe powierzchni 10,6 [m2]
- kowariancja powierzchni i liczby osób wynosi 1,21.
Gospodarstwo rodzinne pana Kowalskiego liczy 4 osoby i zajmuje powierzchnię 52,3 [m2].
Czy pan Kowalski może być zadowolony ze swojego mieszkania w stosunku do badanej
grupy?
Zadanie 136.
Radzieccy uczeni stwierdzili, że równanie regresji opisujące zależność pomiędzy liczbą
kupionych karpi (X), a liczbą otrzymanych prezentów (Y) wygląda następująco: y=-2x+10
(dla odpowiednich dodatnich wartości Y). Pozostałe parametry: cov(x,y)=2, x =2, y =6.
Święty Mikołaj nie zgadza się z tymi wyliczeniami. Kto ma rację i dlaczego?
Zadanie 137.
Dla poniższych danych wyznacz linie regresji I-go i II-go rodzaju
X\Y
2
1
10
2
5
3
4
5
20
5
10
Zadanie 138.
W wyniku pewnego badania statystycznego otrzymano następujące wyniki rxy=0,25,
cov(x,y)=15, Sx=10, a wariancja wewnątrzgrupowa zmiennej X wyniosła 33,75. Oblicz exy.
Co można powiedzieć o otrzymanych wynikach?
Zadanie 139.
W wyniku pewnego doświadczenia otrzymano następujące obserwacje zmiennych X i Y.
X\Y
0
2
0
0,15
0,4
2
0,25
0,2
Określić zależność korelacyjną pomiędzy tymi zmiennymi.
Zadanie 140.
Zbadaj niezależność zmiennych X i Y jeśli ich rozkłady są następujące:
X\Y
<1;3)
<3;5)
1
0,2
0,1
2
0,1
0,3
<5;7)
<7;10)
0,1
3
0,2
BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK
Zadanie 141.
Przeciętne zatrudnienie w pewnym przedsiębiorstwie w ostatnich czterech latach
przedstawiało się się następująco:
Kolejne lata
1
2
3
4
Przeciętne zatrudnienie
12153
11375
10405
9575
a) Obliczyć przyrosty absolutne i względne: jednopodstawowe (dla t=1) i łańcuchowe
b) Dokonać zamiany przyrostów na indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe
c) Ocenić dynamikę zatrudnienia i ustalić przeciętne tempo zmian zatrudnienia w badanym
okresie
d) Obliczyć wielkość zatrudnienia w bieżącym roku (t=5) wiedząc, że indeks dynamiki
zatrudnienia w bieżącym roku wyniósł 75%
Zadanie 142.
Indeksy dynamiki produkcji (jednopodstawowe) w kolejnych kwartałach ubiegłego roku
przedstawiały się następująco: (pierwszy kwartał = 100): 100%, 116%, 102%, 119%. O ile
procent wzrosła produkcja w IV kwartale w stosunku do III, a o ile procent w stosunku do II?
Zadanie 143.
Dynamika dostaw odtwarzaczy mp3 do sklepów w pewnym mieście w ostatnich latach
mierzona indeksami jednopodstawowymi kształtowała się następująco: 100%, 104%, 117%,
135%, 156%, 174%. Obliczyć indeksy łańcuchowe dostaw oraz wyznaczyć średnie roczne
tempo wzrostu sprzedaży odtwarzaczy mp3 w badanym okresie.
Zadanie 144.
W jednym z punktów gastronomicznych objętych badaniem utarg w grudniu ubiegłego roku
stanowił 220% utargu z grudnia roku poprzedniego, przy czym indeks mierzący zmiany w
strukturze ilości sprzedawanych tam artykułów wyniósł 130%.O ile procent zmienił się utarg
z tytułu zmian cen?
Zadanie 145.
Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyresa wyniósł 90%, indeks cen zaś według
formuły Paaschego 130%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w badanym okresie.
Zadanie 146.
W fabryce opon samochodowych indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 180%, a
indeks wartości wynosił 90%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki.
Zadanie 147.
Średnie roczne tempo wzrostu produkcji odtwarzaczy mp3 w pewnym zakładzie w ostatnich
3 latach wynosiło 4%. Wyznaczyć wielkość produkcji odtwarzaczy w kolejnym roku, jeżeli
wiadomo, że w drugim roku zakład produkował 10000 odtwarzaczy.
Zadanie 148.
Przedsiębiorstwo produkujące meble kuchenne, na podstawie oceny własnych możliwości
(zmiany cen surowców i energii) i badań marketingowych (oceny możliwości popytowych
nabywców), zaplanowało zmiany w strukturze produkcji i cen. Strukturę i asortyment
produkowanych mebli oraz prognozy przedstawia tabela:
Okres podstawowy
Asortyment
Okres prognozowany
Liczba sztuk
Cena jedn. (w zł)
Liczba sztuk
Cena jedn. (w zł)
Stoły okrągłe
800
1200
500
1600
Stoły
prostokątne
500
870
1200
900
Krzesła typu A
2000
440
1000
600
Krzesła typu B
1000
690
1000
720
Krzesła typu C
300
240
500
300
a) Wykorzystując agregatowe indeksy wartości cen i ilości dokonać oceny proponowanych
zmian.
b) Wyznaczyć średnie ceny jednostkowe krzesła i stołu w okresach: badanym i
prognozowanym.
c) Wyznaczyć dynamikę cen przeciętnych.
d) Podać interpretację wszystkich wyznaczonych indeksów.
Zadanie 149.
Spożycie chleba w ostatnich 5 latach (1997-2002) w miejscowości A kształtowało się
następująco: 200, 220, 190, 215, 240 ton w miejscowości B relacja zmian z roku na rok
kształtowała się: 1.2, 1.5, 0.9, 1.1. W miejscowości C relacja zmian w porównaniu z rokiem
1997 kształtowała się: 1.1, 1.8, 0.9, 1.3. Oblicz i porównaj średnie tempo zmian w
poszczególnych miastach.
Zadanie 150.
Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyersa wyniósł 90%, indeks cen zaś według
formuły Paaschego 130%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w dwóch badanych
okresach.
Zadanie 151.
Tabela przedstawia ceny oraz wielkości produkcji towarów A i B w latach 2000 i 2002.
Ustalić dynamikę wzrostu łącznej wartości wyrobów A i B.
Wyrób
Produkcja
Ceny
2000
2002
2000
2002
A
10
20
5
1
B
12
24
5
0,5
Zadanie 152.
Pewna spółka składa 3 rodzaje komputerów A, B , C, tabela przedstawia wielkość produkcji
poszczególnych komputerów w tys. szt. oraz koszty jednostkowe produkcji w PLN. Jak
zmieniły się koszty produkowanych komputerów w porównywanych okresach? Jaki wpływ
na zmianę miała dynamika kosztów, a jaki dynamika ilości produkowanych komputerów?
Wyrób
Produkcja
Koszty
2001
2002
2001
2002
A
0.8
1.2
24
29
B
1.0
1.4
18
29
C
1.5
1.3
30
35
Zadanie 153.
W fabryce obuwia indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 190%, a indeks wartości
wynosił 80%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki.
Zadanie 154.
Dwa zakłady obuwnicze Z1 i Z2 produkują te same asortymenty obuwia. Zakłady dokonały
zmian ilościowych w wielkości produkcji poszczególnych asortymentów obuwia w roku 2002
w stosunku do roku poprzedniego. Zmiany te przedstawione zostały w tabeli.
Wartość produkcji rocznej w tys. PLN
Asortyment
obuwia
Zakład Z1
Zakład Z2
2001
2002
2001
2002
I
100
400
50
100
II
200
100
100
50
III
400
300
200
300
IV
300
250
150
100
Który z zakładów dokonał głębszych zmian w strukturze asortymentowej swojej produkcji?
Zadanie 155.
Dysponujemy informacjami o wielkościach sprzedaży badanej firmy w 2001 i 2002 roku.
Artykuł
Wartość obrotów w tys. Zł
Zmiana ilości sprzedaży w roku 2002 w
stosunku do 2001
2001 r.
2002 r.
A
220
250
Wzrost o 15%
B
200
100
Bez zmian
C
180
50
Spadek o 10%
Dokonać analizy agregatowej wartości obrotów, cen badanych artykułów i ilości sprzedaży.
ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁADY
Zadanie 156.
 1
0≤ y<2
 4y
 x
0≤ x<1
 1
1
1
1
f(x)=  x−
3≤ x≤a
f( y)=  y−
2≤ x≤b
9
3
4
2


poza tym
poza tym
 0
 0

a) Znaleźć wartości a i b tak, aby funkcje f(x) oraz f(y) były funkcjami gęstości
prawdopodobieństwa zmiennych losowych x i y.
b) Który rozkład cechuje silniejsza asymetria?
Zadanie 157.
W urnie znajduje się 100 losów, a wśród nich jedna wygrana za 250 zł, dwie po 150 zł, dwie
po 100 zł, pięć po 50 zł oraz dziesięć po 20 złotych. Zmienną losową X jest wartość
wygranej.
a) Zapisać rozkład zmiennej losowej X,
b) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
c) znaleźć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej X,
d) określić stopień zmienności tej zmiennej,
e) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie 158.
Dany jest rozkład zmiennej losowej X:
X=xi
-2
-1
0
4
6
P(X=xi)
1
9
2
9
1
3
5
18
1
18
a) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
b) znaleźć wartość wariancji oraz odchylenia standardowego zmiennej losowej X,
c) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie 159.
Uzupełnij dane wiedząc, że
X=xi
-5
-2
0
P(X=xi)
1
5
1
2
1
5
Zadanie 160.
Na podstawie danych z poprzedniego zadania oblicz wariancję i odchylenie standardowe
zmiennej losowej X.
Zadanie 161.
Na podstawie poniższych danych znaleźć rozkład zmiennej losowej Y=X2
X=xi
-2
-1
0
1
2
P(X=xi)
1
9
2
9
1
3
5
18
1
18
Zadanie 162.
Na podstawie danych z poprzedniego zadania znaleźć rozkład zmiennej losowej:
1
U= X 2 − 2
X
Zadanie 163.
Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest postaci:
 0
x≤0
1 3
F ( x) =  x 0 < x ≤ 3 ,
 27
x>3
 1
a) znaleźć funkcję gęstości zmiennej losowej X,
2
1
b) obliczyć prawdopodobieństwo P < x <  .
3
3
Zadanie 164.
Obliczyć wartości parametrów: E(X) oraz D2(X) dla funkcji gęstości otrzymanej w
poprzednim zadaniu.
Zadanie 165.
Masa ciała w populacji studentów Politechniki Śląskiej ma rozkład normalny N(75, 12).
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowo napotkanego studenta należy
do przedziału:
a) (60; 65),
b) (78; 85),
c) (74; 76),
d) (108; 120).
Zadanie 166.
Masa jabłek w pewnym sadzie ma rozkład normalny N(150, 25). Obliczyć
prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150.
Zadanie 167.
Zmienna losowa X ma w populacji rozkład N(m,30). Znajdź m wiedząc, ze P(X<80)=0,6915
Zadanie 168.
Jaki procent produkcji zakładów obuwniczych powinno stanowić obuwie o rozmiarach od
27do 33, jeżeli wiadomo, ze długość stopy u dorosłego człowieka jest zmienną losową o
rozkładzie N(29,3).
Zadanie 169.
Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
xi
-3
-2
0
1
3
5
pi
0,1
0,2
0,1
C
0,3
0,1
Wyznaczyć:
a) stałą c
b) wykres funkcji prawdopodobieństwa i jej histogram
c) dystrybuantę i jej wykres
d) prawdopodobieństwa: P(x=3), P(x=5), P(-2≤x≤1) dwoma sposobami: z funkcji
prawdopodobieństwa oraz z dystrybuanty
e) podane prawdopodobieństwa zilustrować na wykresie
Zadanie 170.
1
 x dla 0 ≤ x ≤ c
Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: f ( x ) =  4
 0
poza tym
Wyznaczyć:
a) stałą c,
b) wartość oczekiwaną,
c) medianę
d) modę.
Zadanie 171.
6 x( 1 − x ) dla 0 ≤ x ≤ 1
Zmienna losowa ma rozkład o gęstości: f ( x ) = 
0
poza tym

a) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X ,
b) zmiennej Y=2X-1
c) zmiennej Y=2X-1.
Zadanie 172.
 x
0≤ x≤k
 k2
 x − k
Znaleźć taką liczbę a, aby funkcja: f ( x ) =  2
k<x≤a
 k
poza tym
 0

była funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej x.
Zadanie 173.
Pociągi kolejki miejskiej odjeżdżają ze stacji co 6 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na stację jest jednostajny, obliczyć oczekiwaną wartość czasu oczekiwania
na pociąg oraz wariancję czasu oczekiwania na pociąg.
Zadanie 174.
Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer
będzie czekał co najmniej 2 minuty.
Zadanie 175.
Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na przystanek jest wykładniczy z wartością oczekiwaną wynoszącą 2,5
minuty, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 2 minuty.
Zadanie 176.
Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia energetycznego ma rozkład wykładniczy o
wartości oczekiwanej 100 godzin. Obliczyć:
a) medianę,
b) prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy urządzenia wynosi co najmniej 100
godzin.
Zadanie 177.
Czas obsługi pojedynczego klienta przez kasjerkę pewnego hipermarketu ma rozkład
wykładniczy. Ustalono, że obsługa jednego klienta trwa średnio przez 3 minuty. Wyznaczyć
prawdopodobieństwo, że klient zostanie obsłużony krócej niż w 4 minuty.
Zadanie 178.
Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną
losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale <20;40> minut.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut,
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i
nie krócej niż 25 min.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?
d) Jakie będą dane prawdopodobieństwa, gdy czas mycia będzie zmienną losową o rozkładzie
normalnym z wartości oczekiwaną i odchyleniem standardowym takimi samymi jak przy
rozkładzie jednostajnym?
Zadanie 179.
Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym -(30 minut, 10 minut).
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut,
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i
nie krócej niż 25 min.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?
d) Jak zmienią się odpowiednie prawdopodobieństwa, gdy czas mycia samochodu będzie
zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale < m − 3σ ; m + 3σ > , gdzie m oraz σ
są parametrami rozpatrywanego w zadaniu rozkładu normalnego?
BUDOWA PRZEDZIAŁÓW UFNOŚCI
Zadanie 180.
Zakładając, że czas dotarcia studentów na uczelnię [min] jest zgodny z rozkładem N(30,10)
określ prawdopodobieństwo, że:
a) średni czas dojazdu w 25-elementowej próbie losowej będzie krótszy niż 20 minut
w grupie 16 wylosowanych studentów średni czas przekroczy 40 [min]
b) średni czas będzie dłuższy od 18, a krótszy od 20 [min] w grupach o podanej powyżej
liczebności
Zadanie 181.
Zakłada się, że prędkość pociągu na trasie Katowice – Zabrze można opisać rozkładem
N(m.,10km/h). Zbadano prędkość 26 pociągów na tej trasie i otrzymano średnią prędkość 55
km/h.
a) Jaki jest przedział ufności dla α=0,02?
b) Jaki będzie przedział ufności, gdy zrezygnujemy z założenia o normalności rozkładu?
Zadanie 182.
Na 10 poletkach doświadczalnych o powierzchni 4 m2 zasiano eksperymentalne warzywo. Po
przeliczeniu przeciętnego plonu na kwintal z hektara otrzymano X = 7 q/ha oraz
Ŝ 2 ( X ) = 0 ,64 . Zakładając, że plony warzywa mają rozkład normalny, oszacować przedział
ufności dla nieznanego parametru m (przeciętny plon warzywa) na poziomie ufności
1 − α = 0 ,98 . Określić względny stopień precyzji szacunku parametru m.
Zadanie 183.
Zbadano wydajność pewnej odmiany ogórków na 90 poletkach doświadczalnych. Otrzymano
przeciętną wydajność w tonach na hektar 25 oraz wariancję wydajności 6,25. Przyjmując, że
rozkład plonów ogórka jest normalny, oszacować metodą przedziałową jego przeciętne plony
na poziomie ufności 1 − α = 0 ,95 .
Zadanie 184.
Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzewostanu,
jeśli w 10 wylosowanych kwadratach o powierzchni jednego ara, średnia liczba drzew wynosi
7, zaś wariacja 1. Zakłada się, że rozkład drzew w lesie jest rozkładem normalnym. Przyjąć
współczynnik ufności 1 − α = 0 ,90 .
Zadanie 185.
W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia pewnej
reakcji. Dokonano 60 niezależnych doświadczeń i otrzymano z nich średnią i odchylenie
standardowe równe odpowiednio: 60 i 13 sekund. Przyjmując współczynnik ufności równy
0,99 oszacować metodą przedziałową średni czas potrzebny na całkowite zakończenie reakcji
w tym doświadczeniu.
Zadanie 186.
W celu oszacowania odsetka inżynierów pewnej branży znających języki obce wylosowano
niezależnie 200 osób i zapytano je o znajomość języków obcych. Okazało się, że 32 osoby
znają dwa języki obce. Metodą przedziałową oszacować nieznany odsetek inżynierów
znających dwa języki obce przyjmując poziom ufności 0,95.
Zadanie 187.
Wiadomo, że czas potrzebny na rozwiązanie zadania ma rozkład normalny. Chcąc ustalić
średni czas potrzebny na rozwiązanie zadania zmierzono czas rozwiązania zadania w losowo
wybranej grupie 10 studentów. Średni czas w tej grupie wynosił 50 [min], a odchylenie
standardowe 15 [min]. Ile wynosi średni czas rozwiązania zadania przy współczynniku
ufności 0,97. Jaka jest dokładność oszacowania?
Zadanie 188.
Zakłada się, ze kwartalne wydatki na reklamę mają rozkład normalny. Na podstawie
zebranych danych ze 150 wydatków otrzymano: X =45 [tys. zł], Sx=8 [tys. zł]. Na poziomie
ufności 0,95 wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na
reklamę.
Zadanie 189.
Na podstawi danych z poprzedniego zadania oszacować metodą przedziałową odchylenie
standardowe wydatków na reklamę.
Zadanie 190.
W losowo wybranej próbie 200 studentów pewnej uczelni 70 osób wydaje miesięcznie na
gazety i czasopisma ponad 10 [zł].
a) Wyznacz przedział ufności dla odsetka studentów, którzy wydają miesięcznie na ten cel co
najwyżej 10 [zł] na poziomie istotności 0,01. Jaka jest dokładność tego oszacowania?
b) Jak zmieni się długość przedziału ufności, gdy poziom istotności wzrośnie do 0,1?
c) Jaka powinna być liczebność próby aby oszacować badany odsetek z maksymalnym
błędem nie wyższym niż 2%, przy poziomie ufności 0,98?
Zadanie 191.
Przy wprowadzaniu na rynek nowej pastylki odchudzającej przeprowadzono testy kliniczne.
Grupa 500 ochotników w zbliżonych warunkach przez miesiąc zażywała preparat i stosowała
tą samą dietę. Okazało się, że odchylenie standardowe ilości zrzuconych kilogramów w
badanej grupie wynosiło 1,5 [kg]. Zakładając, że rozkład ilości zrzuconych kilogramów ma
rozkład normalny wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego ilości
zrzuconych kilogramów oraz wyznaczyć dokładność oszacowania. Przyjąć współczynnik
ufności 0,98.
Zadanie 192.
Zakładamy, że waga detali ma rozkład normalny. Na podstawie 10 losowo wybranych detali
wyznaczono odchylenie standardowe wagi tych detali Sx=0,5 [kg]
a) na poziomie ufności 0,98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji detali
jaki to będzie przedział gdy (1-α)=0,9?
b) ile elementów należałoby dolosować do próby aby oszacować średnią wagę detalu z
dokładnością do 0,1 [kg] na poziomie ufności 0,95
Zadanie 193.
Na podstawie 64 losowo wybranych wyrobów z bieżącej produkcji otrzymano średnią liczbę
usterek równą 3 oraz współczynnik zmienności 57%
a) Oszacować metodą przedziałową przeciętną liczbę usterek w produkowanych wyrobach na
poziomie ufności 0,98
b) Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek przyjmując poziom ufności 0,95 i
rozkład normalny
Zadanie 194.
W celu oszacowania średniej miesięcznej kwoty wydatków na cele rozrywkowe studentów
Poznania wybrano losowo próbę złożoną z 200 osób. Uzyskano następujące informacje:
X =120 {zł], Sx=11 [zł]. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95 zbudować przedział
ufności dla średniej tych wydatków.
Zadanie 195.
W celu ustalenia siły kiełkowania ziaren grochu pewnej odmiany w Instytucie Hodowli
Roślin wykonano doświadczenie polegające na zasadzeniu 800 ziaren grochu. Zakiełkowało
728 ziaren spośród nich. Przyjmując poziom istotności 0,01 ustalić siłę kiełkowania grochu
badanej odmiany (w %).
Zadanie 196.
Ilu studentów należy wziąć do próby, aby przy współczynniku ufności 0,9 oszacować średni
wynik ogółu studentów tej uczelni w skoku wzwyż za pomocą przedziału ufności o
rozpiętości 2 [cm]? Rozkład skoków studentów jest rozkładem N(m,5)
Zadanie 197.
Oszacuj z wiarygodnością 0,95 jaka część młodzieży licealnej pali papierosy, jeśli wśród
1000 losowo wybranych licealistów do palenia przyznało się 350 osób.
1
Czy z prawdopodobieństwem równym 0,99 możemy twierdzić, że ponad młodzieży w
3
wieku licealnym pali papierosy?
Zadanie 198.
Zbadano w sposób losowy grupę 625 sportowców pod względem czasu poświęconego na
trening w ciągu określonego miesiąca, otrzymując: X =70 [h] i Sx=10 [h]
a) Oszacuj przedziałowo średni miesięczny czas treningu dla wszystkich sportowców na
poziomach ufności: 0,9; 0,95; 0,99. Porównaj otrzymane wyniki i uzasadnij różnice.
b) Wykonaj analogiczne obliczenia zakładając, że próba liczyła 17 osób. Porównaj nowe
wyniki z poprzednimi i uzasadnij różnice.
WERYFIKACJA HIPOTEZ
Zadanie 199.
W fabryce produkującej cement każdy worek tego produktu ma określony na opakowaniu
ciężar 50 kg z tolerancją ± 0,5 . Postanowiono zbadać normy wagowe. Pobrano próbę złożoną
ze 100 opakowań, zważono je, po czym wyznaczono średnią masę worka 49,4 kg. Na
poziomie istotności α = 0,05 zbadać czy przestrzegane są normy wagowe.
Zadanie 200.
Sklep otrzymał dostawę mąki w opakowaniach, z których każde powinno ważyć 0,5 kg.
Względnie częste reklamacje powodowały, że przeprowadzono kontrolę wagi. Podczas
kontroli wylosowano, a następnie zważono 18 opakowań uzyskując wyniki: 0,500; 0,495;
0,480; 0,505; 0,490; 0,450; 0,500; 0,465; 0,510; 0,475; 0,500; 0,465; 0,495; 0,490; 0,485;
0,505; 0,490; 495. Zakłada się normalność rozkładu wagi opakowania. Przy poziomie
istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że masa opakowania jest zgodna z masą
nominalną.
Zadanie 201.
Na podstawie 12-elementowej próby prostej oszacowany średni czas toczenia pewnego detalu
na tokarce, który wynosił 26 min. Odchylenie standardowe wynosi 5 min. Zweryfikować
hipotezę, że przeciętny czas toczenia na tej tokarce wynosi 30 min. Przy założeniu, ze czas
toczenia detalu ma rozkład normalny. Przyjąć poziom istotności równy 0,05.
Zadanie 202.
Dla próby liczącej 18 gospodarstw chłopskich zaciągających kredyt w pewnym oddziale GBP
zbadano poziom kwartalnych spłat otrzymując: X =2613 [zł] oraz Sx=415 [zł]. Dyrekcja
banku twierdzi, z\ze oszacowana średnia jest zbyt niska, gdyż w rzeczywistości wynosi 2783
[zł]. Na poziomie istotności 0,05 zbadać, czy różnica pomiędzy wynikiem badania a opinią
dyrekcji banku jest statystycznie istotna.
Zadanie 203.
Zakłada się, że „długość życia” opon samochodowych ma rozkład normalny. Producent
twierdzi, ze wartość przeciętna tej charakterystyki jest równa 50 [tys. km]. Na podstawie 140
losowo wybranych opon otrzymano X =45 [tys. km], Sx=8 [tys. km]. Czy na poziomie
istotności 0,05 można uznać, że producent ma rację?
Zadanie 204.
Czas oczekiwania na frytki ma rozkład N(m,2). Zbadano czas oczekiwania w przypadku 25
zamówień i otrzymano średni czas równy 12 [min.]. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj
hipotezę, że czas oczekiwania nie różni się istotnie od 10 [min.].
Zadanie 205.
Jacek i Placek hodują pchły. Jacek twierdzi, że długość skoku (w cm) można opisać
rozkładem N(25,σ). Placek twierdzi, że jest ona istotnie wyższa. Zbadali 10 skoków
otrzymując wynik X =27 [cm], Sx=2 [cm]. Na poziomie istotności 0,02 rozstrzygnąć, kto ma
rację. Czy po zmniejszeniu poziomu istotności do 0,01 racja będzie ciągle po stronie tej samej
osoby?
Zadanie 206.
Tygodniowe wydatki na żywność mają rozkład normalny. Uważa się, ze wartość przeciętna
tych wydatków jest wyższa niż 40 [zł]
a) Zweryfikować prawdziwość tego sądu na poziomie istotności 0,01, jeśli dla 10 losowo
wybranych rodzin otrzymano X =48 [zł], i Sx=10,8 [zł]
b) Czy na poziomie istotności 0,05 można uważać, ze odchylenie standardowe wydatków
wynosi 9 [zł]?
Zadanie 207.
Badano zawartość nikotyny w dwóch gatunkach papierosów. W próbie liczącej 50
papierosów gatunku A zaobserwowano średnią arytmetyczną X 1 =23,8 [mg] przy odchyleniu
standardowym Sx1=1,2 [mg]. W próbie liczącej 40 papierosów gatunku B zaobserwowano
X 2 =24,1 [mg], Sx2=1,4 [mg].
a) Czy można uważać, na poziomie istotności 0,05, że przeciętna zawartość nikotyny w
papierosach gatunku A jest niższa niż w papierosach gatunku B?
b) Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, ze wariancje zawartości nikotyny w
obydwu papierosach są jednakowe.
Zadanie 208.
Wysunięto przypuszczenie, że obecnie ca najmniej jedną książkę miesięcznie czyta 30%
społeczeństwa. Dla zweryfikowania tej hipotezy zbadano 100 losowo wybranych osób i
okazało się, że co najmniej jedną książkę miesięcznie czytało 40 osób. Zweryfikuj postawioną
hipotezę.
Zadanie 209.
W pewnym roku na egzaminie wstępnym na wyższą uczelnię spośród 560 absolwentów
techników 240 nie rozwiązało pewnego zadania z matematyki, na 1040 zaś absolwentów
liceów ogólnokształcących nie rozwiązało tego zadania 380 kandydatów. Na poziomie
istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowym stopniu opanowania tej partii
matematyki, której dotyczyło zadanie w obu szkołach.
Zadanie 210.
Tygodniowe wydatki na żywność rodzin polskich mają rozkład normalny. Jeden z
ekonomistów stawia hipotezę, że dla rodzin warszawskich wydatki te są przeciętnie niższe niż
w rodzinach wrocławskich. Zweryfikować tę hipotezę na poziomie istotności 0,05, jeśli w
próbie 12 rodzin warszawskich zaobserwowano: X 1 =48,2 [zł] i Sx1=10,3 [zł], natomiast w
próbie 15 rodzin wrocławskich otrzymano X 2 =45 [zł], Sx2=8,6 [zł]. Jakie założenie należy
przyjąć, aby można było zweryfikować tę hipotezę? Czy na zadanym poziomie istotności jest
to założenie prawdziwe?
TABLICE
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego F(x)
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279
0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675
0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064
0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443
0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808
0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157
0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486
0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794
0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078
0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340
0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577
0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790
0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980
0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147
0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292
0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418
0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525
0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616
0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693
0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
m\α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,5
1,0000
0,8165
0,7649
0,7407
0,7267
0,7176
0,7111
0,7064
0,7027
0,6998
0,6974
0,6955
0,6938
0,6924
0,6912
0,6901
0,6892
0,6884
0,6876
0,6870
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
Wartości krytyczne rozkładu t-Studenta
0,3
0,25
0,2
0,1
0,05
0,025
1,9626 2,4142 3,0777 6,3137 12,7062 25,4519
1,3862 1,6036 1,8856 2,9200 4,3027 6,2054
1,2498 1,4226 1,6377 2,3534 3,1824 4,1765
1,1896 1,3444 1,5332 2,1318 2,7765 3,4954
1,1558 1,3009 1,4759 2,0150 2,5706 3,1634
1,1342 1,2733 1,4398 1,9432 2,4469 2,9687
1,1192 1,2543 1,4149 1,8946 2,3646 2,8412
1,1081 1,2403 1,3968 1,8595 2,3060 2,7515
1,0997 1,2297 1,3830 1,8331 2,2622 2,6850
1,0931 1,2213 1,3722 1,8125 2,2281 2,6338
1,0877 1,2145 1,3634 1,7959 2,2010 2,5931
1,0832 1,2089 1,3562 1,7823 2,1788 2,5600
1,0795 1,2041 1,3502 1,7709 2,1604 2,5326
1,0763 1,2001 1,3450 1,7613 2,1448 2,5096
1,0735 1,1967 1,3406 1,7531 2,1315 2,4899
1,0711 1,1937 1,3368 1,7459 2,1199 2,4729
1,0690 1,1910 1,3334 1,7396 2,1098 2,4581
1,0672 1,1887 1,3304 1,7341 2,1009 2,4450
1,0655 1,1866 1,3277 1,7291 2,0930 2,4334
1,0640 1,1848 1,3253 1,7247 2,0860 2,4231
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,6864
0,6858
0,6853
0,6848
0,6844
0,6840
0,6837
0,6834
0,6830
0,6828
c.d. rozkładu t-Studenta
0,02
m/α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1,0627
1,0614
1,0603
1,0593
1,0584
1,0575
1,0567
1,0560
1,0553
1,0547
1,1831
1,1815
1,1802
1,1789
1,1777
1,1766
1,1756
1,1747
1,1739
1,1731
0,01
1,3232
1,3212
1,3195
1,3178
1,3163
1,3150
1,3137
1,3125
1,3114
1,3104
0,005
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
0,0025
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,4138
2,4055
2,3979
2,3910
2,3846
2,3788
2,3734
2,3685
2,3638
2,3596
0,002
0,001
31,8210 63,6559 127,3211 254,6608 318,2888 636,5776
6,9645 9,9250 14,0892 19,9629 22,3285 31,5998
4,5407 5,8408 7,4532 9,4646 10,2143 12,9244
3,7469 4,6041 5,5975 6,7582 7,1729 8,6101
3,3649 4,0321 4,7733 5,6042 5,8935 6,8685
3,1427 3,7074 4,3168 4,9807 5,2075 5,9587
2,9979 3,4995 4,0294 4,5946 4,7853 5,4081
2,8965 3,3554 3,8325 4,3336 4,5008 5,0414
2,8214 3,2498 3,6896 4,1458 4,2969 4,7809
2,7638 3,1693 3,5814 4,0045 4,1437 4,5868
2,7181 3,1058 3,4966 3,8945 4,0248 4,4369
2,6810 3,0545 3,4284 3,8065 3,9296 4,3178
2,6503 3,0123 3,3725 3,7345 3,8520 4,2209
2,6245 2,9768 3,3257 3,6746 3,7874 4,1403
2,6025 2,9467 3,2860 3,6239 3,7329 4,0728
2,5835 2,9208 3,2520 3,5805 3,6861 4,0149
2,5669 2,8982 3,2224 3,5430 3,6458 3,9651
2,5524 2,8784 3,1966 3,5101 3,6105 3,9217
2,5395 2,8609 3,1737 3,4811 3,5793 3,8833
2,5280 2,8453 3,1534 3,4554 3,5518 3,8496
2,5176 2,8314 3,1352 3,4324 3,5271 3,8193
2,5083 2,8188 3,1188 3,4118 3,5050 3,7922
2,4999 2,8073 3,1040 3,3931 3,4850 3,7676
2,4922 2,7970 3,0905 3,3761 3,4668 3,7454
25
26
27
28
29
30
2,4851
2,4786
2,4727
2,4671
2,4620
2,4573
2,7874
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
3,0782
3,0669
3,0565
3,0470
3,0380
3,0298
3,3606
3,3464
3,3334
3,3213
3,3103
3,2999
3,4502
3,4350
3,4210
3,4082
3,3963
3,3852
3,7251
3,7067
3,6895
3,6739
3,6595
3,6460
Wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat
m/a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0,025
5,02389
7,37776
9,3484
11,1433
12,8325
14,4494
16,0128
17,5345
19,0228
20,4832
21,92
23,3367
24,7356
26,1189
27,4884
28,8454
30,191
31,5264
32,8523
34,1696
35,4789
36,7807
0,05
3,84146
5,99146
7,81473
9,48773
11,0705
12,5916
14,0671
15,5073
16,919
18,307
19,6751
21,0261
22,362
23,6848
24,9958
26,2962
27,5871
28,8693
30,1435
31,4104
32,6706
33,9244
0,1
2,70554
4,60517
6,25139
7,77944
9,23636
10,6446
12,017
13,3616
14,6837
15,9872
17,275
18,5493
19,8119
21,0641
22,3071
23,5418
24,769
25,9894
27,2036
28,412
29,6151
30,8133
0,2
1,64238
3,21888
4,64163
5,98862
7,28928
8,55806
9,80325
11,0301
12,2421
13,442
14,6314
15,812
16,9848
18,1508
19,3107
20,4651
21,6146
22,7595
23,9004
25,0375
26,1711
27,3015
0,8
0,06418
0,44629
1,00517
1,64878
2,34253
3,07009
3,82232
4,59357
5,38005
6,17908
6,98867
7,80733
8,63386
9,46733
10,307
11,1521
12,0023
12,857
13,7158
14,5784
15,4446
16,314
0,9
0,01579
0,21072
0,58437
1,06362
1,61031
2,20413
2,83311
3,48954
4,16816
4,86518
5,57778
6,3038
7,0415
7,78953
8,54676
9,31224
10,0852
10,8649
11,6509
12,4426
13,2396
14,0415
0,95
0,00393
0,10259
0,35185
0,71072
1,14548
1,63538
2,16735
2,73264
3,32511
3,9403
4,57481
5,22603
5,89186
6,57063
7,26094
7,96165
8,67176
9,39046
10,117
10,8508
11,5913
12,338
0,975
0,00098
0,05064
0,2158
0,48442
0,83121
1,23734
1,68987
2,17973
2,70039
3,24697
3,81575
4,40379
5,00875
5,62873
6,26214
6,90766
7,56419
8,23075
8,90652
9,59078
10,2829
10,9823
23
24
25
26
27
28
29
30
60
90
120
38,0756
39,3641
40,6465
41,9232
43,1945
44,4608
45,7223
46,9792
83,2977
118,136
152,211
35,1725
36,415
37,6525
38,8851
40,1133
41,3371
42,557
43,773
79,0819
113,145
146,567
32,0069
33,1962
34,3816
35,5632
36,7412
37,9159
39,0875
40,256
74,397
107,565
140,233
28,4288
29,5533
30,6752
31,7946
32,9117
34,0266
35,1394
36,2502
68,9721
101,054
132,806
17,1865
18,0618
18,9398
19,8202
20,703
21,588
22,4751
23,3641
50,6406
78,5584
106,806
14,848
15,6587
16,4734
17,2919
18,1139
18,9392
19,7677
20,5992
46,4589
73,2911
100,624
Wyniki:
Zadanie 59: Grupa liczy 7 osób.
Zadanie 77: 750 os./km2
Zadanie 82: Należy zwolnić pracowników do stażu 4,5 lat
Zadanie 99: x = 36 lat, s=9,91, V=27,53%
Zadane 103: Dla przedsiębiorstwa A: x = 755,27 , D=785,79, s=65,97
1 2
7
 x
0< x≤3
Zadanie 163: a) f ( x) =  9
, b)
729
 0
x ≤ 0∧ x >3
Zadanie 164: E ( X ) = 2,25; S 2 = 0,3375
Zadanie 165: a) 0,0977 b) 0,1980 c) d)
Zadanie 167: m=65
Zadanie 169: a) c=0,2
Zadanie 170: c= 2 2 , Me=2, D= 2 2
Zadanie 173: E ( X ) = 3; S 2 = 3
Zadanie 178: a) F(25)=0,25
13,0905
13,8484
14,6114
15,3792
16,1514
16,9279
17,7084
18,4927
43,188
69,126
95,7046
11,6886
12,4012
13,1197
13,8439
14,5734
15,3079
16,0471
16,7908
40,4817
65,6466
91,5726