1 Podziały symplicjalne. Lemat Spernera i jego
Transkrypt
1 Podziały symplicjalne. Lemat Spernera i jego
1 1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE. Podziały symplicjalne. Lemat Spernera i jego konsekwencje. 1.1 Pojęcia afiniczne Niech V będzie przestrzenią wektorową nad R Definicja 1.1 P P Niech F = {v1 , . . . , vn } ⊆ V i niech v = k tk vk przy czym k tk = 1 wtedy v nazywamy afiniczną kombinacją wektorów {vk }k i mówimy, że v jest geometrycznie zależny do F . Podzbiór V zamknięty za względu na afiniczne kombinacje nazyamy podprzestrzenią afiniczną. Fakt 1.2 Jeśli a ∈ A ⊆ V , to A jest podprzestrzenią afiniczną wtedy i tylko wtedy, gdy A−a jest podprzestrzenią liniową Niech S ⊆ V oznaczmy przez af f (S) najmniejszą podprzestrzeń afiniczną zawierającą S. Fakt 1.3 Dla a ∈ S ⊆ V mamy af f (S) − a = lin(S − a) oraz X af f (S) = tk vk 0≤k≤n X tk = 1, vk ∈ S, n ∈ N 0≤k≤n Definicja 1.4 Wektory v1 , . . . , vn ∈ V są geometrycznie niezależne, gdy dla dowolnego 1 ≤ k ≤ n wektory {vk −vj |j 6= k, 0 ≤ j ≤ n} są lniowo niezależne Fakt 1.5 Wektory v1 , . . . , vn ∈ V są geometrycznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy X X ∀t1 , . . . , tn ∈ R tk = 0, t k vk = 0 ⇒ t 1 = . . . = t n = 0 k k Powiemy, że S ⊆ V jest gormetrycznie niezależny, gdy każdy skończony podzbiór S taki jest. Fakt 1.6 Jeśli S ⊆ Rn jest geometrycznie niezależny, to |S| ≤ n + 1 Podprzestrzeń afiniczna w V ma wymiar m, gdy jest rozpinana przez m + 1 geometrycznie niezależnych wektorów. Fakt 1.7 Jeśli a0 , . . . , an ∈ V spełniają ak+1 ∈ / af f (a0 , . . . , ak ) k < n to wektory a0 , . . . , an są geometrycznie niezależne Definicja 1.8 Funkcja między przestrzeniami afinicznymi jest afiniczna, gdy zachowuje kombinacje afiniczne. 1 1.2 Sympleksy 1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE. Fakt 1.9 Każda funkcja afiniczna f jest złożeniem funkcji liniowej i translacji: f = ξF η, gdzie F jest liniowa a ξ i η są translacjami. Wniosek 1.10 Każda funkcja afiniczna między podprzestrzeniami afinicznymi w Rn jest ciągła. 1.2 Sympleksy Definicja 1.11 Niech a0 , . . . , am ∈ Rn będą geometrycznie niezależne. Zbiór X X λk = 1, λk ≥ 0 σ= λk ak 0≤k≤m 0≤k≤m nazywamy sympleksem m-wymiarowym w Rn z wierzchołkami a0 , . . . , am . Zapisujemy wtedy σ = a0 . . . am . Jeśli 0 ≤ j0 < . . . jk ≤ m, to sympleks aj0 . . . ajk nazywamy ścianą k-wymiarową sympleksu a0 . . . am Fakt 1.12 Jeśli x ∈ a0 . . . am , to x ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji wypukłek wektorów a0 , . . . , am . Funkcje λk = λk (x) (gdzie x ∈ a0 . . . am jest postaci x = barycentrycznymi punktu x P k λk (x)ak ) nazywamy współrzędnymi Twierdzenie 1.13 Mamy 1. Sympleks σ = a0 . . . am ⊆ Rn jest podprzestrzenią zwartą. 2. Współrzędne barycentryczne λk : σ → [0, 1] są subkcjami ciągłymi 3. Każde dwa m-wymiarowe sympleksy są homeomorficzne Lemat 1.14 diam(a0 . . . am ) = diam{a0 , . . . , am } Definicja 1.15 Podziałem symplicjalnym sympleksu σ ⊆ Rn nazywamy rodziną P = {σ1 , . . . , σk } sympleksów w Rn taką, że S (PS1) σ = P (PS2) σj ∩ σi = ∅ lub σj ∩ σi jest wspólną ścianą σj oraz σi (PS3) P zawiera wszystkie ściany każdego σk Definicja 1.16 Średnicą podziały P nazywamy mesh(P) = max (diam(σ)) σ∈P 2 1.3 Lemat Spernera* 1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE. Środkiem ciężkości (lub barycentrum) sympleksu σ = a0 . . . am nazywamy X 1 b(σ) = ak m+1 0≤k≤m Jeżeli sigma1 jest ścianą właściwą σ2 , to piszemy σ1 < σ2 Twierdzenie 1.17 Niech będzie dany sympleks σ = a0 . . . am oraz niech σ0 > σ1 > . . . > σk będą ścianami σ. Wówczas 1. b(σ0 ), . . . b(σk ) są geometrycznie niezależne 2. rodzina wszystkich sympleksów postaci b(σ0 ) . . . b(σk ) tworzy podział symplicjalny. Definicja 1.18 Podział wymplicjalny z twierdzenia (1.17) nazywamy podziałem barycentrzycznym sympleksu σ i oznaczamy go przez B(σ). Definicja 1.19 Określamy indukcyjnie k-ty podział barycentryczny sympleksu σ: • B 0 = {π | π ≤ σ} • B 1 = B(σ) S • B k+1 = π∈Bk B(π) Twierdzenie 1.20 Niech σ będzie sympleksem m-wymiarowym. Wówczas zachodzi 1. Jeżeli (m − 1)-wymiarowy sympleks τ z podziały barycentrycznego sympleksu σ leży na ścianie (m − 1)-wymiarowej sympleksu σ, to jest on ścianą tylko jednego sympleksu m-wymiarowego z podziału barycentrycznego podziału σ 2. Jeżeli (m − 1) wymiarowy sympleks τ z podziału barycentrycznego sympleksu σ nie leży na (m − 1)-wymiarowej ścianie ścianie σ, to jest on ścianą dokładnie dwóch sympleksów m-wymiarowych sympleksów z podziału barycentrycznego σ Lemat 1.21 Jeśli B jest podziałem barycentrycznym m-wymiarowego sympleksu σ, to m diam(σ) mesh(B) ≤ m+1 Wniosek 1.22 Jeżeli {B k k ∈ N} jest ciągiem kolejnych podziałów barycentrycznych sympleksu σ, to lim mesh(B k ) = 0 k→∞ 1.3 Lemat Spernera* Lemat 1.23 (Sperner 1928) Niech σ = a0 a1 . . . am będzie sympleksem i niech B k będzie jego k-tym podziałem barycentrycznym. Niech V będzie zbiorem wierzchołków sympleksów z B k . Niech h : V → {0, 1, . . . m} będzie taka, że h(v) ∈ {i0 , i1 , . . . , il } ⇔ v ∈ ai0 ai1 . . . ail 3 1.3 Lemat Spernera* 1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE. Wtedy liczba r sympleksów z B k pokolorowanych przez h wszystkimi liczbami {0, 1, . . . , m} jest nieparzysta. Uwaga 1.24 Zamiast podziału B k można w lemacie 1.23 wziąć dowolny podział symplicjalny sympleksu σ Twierdzenie 1.25 (o zamocowaniu) Niech dany będzie sympleks σ = a0 a1 . . . am oraz jego domknięte podzbiory F0 , F1 , . . . Fm ⊆ σ takie, że [ ai0 ai1 . . . aik ⊆ Fij 0≤j≤k Wtedy T k Fk 6= ∅ Definicja 1.26 Przestrzeń topologiczna X ma własność punktu stałego (FPP), gdy każda funkcja ciągła f : X → X ma punkt stały. Twierdzenie 1.27 (Brouwer) Każdy sympleks ma FFP. Uwaga 1.28 Własność punktu stałego jest własnością topologiczną. Definicja 1.29 Funkcję ciągłę r : X → Y ⊆ X nazywamy retrakcją, jeżeli r|Y = idY . Y nazywamy wtedy retraktem X. Uwaga 1.30 Jeżeli X ma FPP, to każdy retrakt X ma FPP. Twierdzenie 1.31 Niech (X, ρ) będzie zwarta. Załóżmy, że ∀ε > 0 ∃rε : Xε ⊆ X (retrakcja) ρ(rε , idX ) < ε (1) Jeżeli każdy Xε z (1) ma FPP, to X również ma FPP. Wniosek 1.32 Kostka Hilberta ma FPP. Definicja 1.33 Zwarta przestrzeń jest AR, jeżeli jest retraktem każdej przestrzeni metrycznej (zwartej), w której jest zawarta. Twierdzenie 1.34 Przestrzeń metryczna zwarta X jest AR wtedy i tylko wtedy, gdy ∀Y (metryczna) ∀A = cl(A) ⊆ X ∀f : A → X ∃f : X → X f |A = f Uwaga 1.35 Własność (2) jest własnością topologiczną. 4 (2) 1.3 Lemat Spernera* 1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE. Wniosek 1.36 S n ⊆ Rn+1 nie jest retraktem kuli B n+1 Definicja 1.37 Przestrzeń zwarta metryczna X jest ANR, gdy jest retraktem pewnego otoczenia w każdej przestrzeni metrycznej, w której X jest zawarta. Twierdzenie 1.38 (o przegródkach) Niech Ai = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [−1, 1]n | xi = −1} oraz Bi = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [−1, 1]n | xi = 1} n Niech dodatkowo Ci ⊆ [−1, 1]n będzie takie, Tn że [−1, 1] \ C1 = Ui ∪ Vi gdzie Ai ⊆ Ui , Bi ⊆ Vi oraz Vi n oraz Ui są otwarte w [−1, 1] . Wówczas i=1 Ci 6= ∅ 5