Matematyka dyskretna 1/14

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2012
[email protected]
1/14
Netografia i bibliografia
1. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków
✔ wazniak.mimuw.edu.pl
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1
oraz
✔ www.ibspan.waw.pl/~sikorski
http://www.ibspan.waw.pl/~sikorski/md/load_md.htm
✔ edu.pjwstk.edu.pl
http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/
2. podręczniki
✔ K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna,
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1996
✔ W.Lipski: Kombinatoryka dla programistów, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne 2004
oraz
✔ R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik: Matematyka
Konkretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1996
✔ J.Grygiel: Wprowadzenie do matematyki dyskretnej. EXIT,
Warszawa 2007
Ważne informacje
1. Dyżury: czwartki 14-15, piątki 8.45-9.30, pok. 450a
2. Wykłady rozpoczynamy o 8.10
3. Wykłady będą udostępnione na stronie Zakładu PiGK
w zakładce Dydaktyka/Materiały
4. Egzamin:
✗ po uzyskaniu zaliczenia ćwiczeń
✗ pisemny, w zakresie wiedzy teoretycznej i umiejętności
rozwiązywania zadań (studentów obowiązuje materiał
objęty wyróżnioną pozycją netografii i dwoma wyróżnionymi pozycjami bibliografii)
✗ egzamin poprawkowy we wrześniu
Uwaga
✗ duże partie materiału prezentowanego w tych wykładach
są fragmentami źródeł wymienionych w Netografii
zawartej w wykładzie 1/14
✗ zadania pochodzą z wszystkich cytowanych źródeł, a także
z książki S.Lipschutz, M.L.Lipson: 2000 Solved Problems in
Discrete Mathematics. McGraw-Hill 1992
✗ dobór i układ treści, a także wybór zadań są oryginalne
✗ niniejsze materiały są przeznaczony wyłącznie dla
uczestników zajęć z Matematyki dyskretnej na WFAiIS UJ
w roku akad. 2011/12
Konstruowanie i analiza algorytmów wymagają logicznego
myślenia, znajomości struktur nieciągłych (to znaczy zawierających zbiory dyskretne, czyli co najwyżej przeliczalne), narzędzi
do uzasadniania poprawności algorytmów, umiejętności
szacowania liczby operacji, obliczania prawdopodobieństwa,
rozwiązywania równań rekurencyjnych. Wszystkim tym zajmuje
się matematyka dyskretna łącząc i wykorzystując logikę, teorię
zbiorów, kombinatorykę, kryptografię, teorię grafów, teorie
liczb, funkcji, relacji, algebrę, rachunek prawdopodobieństwa …
Matematyka dyskretna kształtuje matematyczna dojrzałość
studentów informatyki i dostarcza im podstaw teoretycznych
oraz metod niezbędnych do konstruowania i analizy
algorytmów.
Zbiory
Gdy mówię o zbiorze monet w portmonetce, to najlepszą strukturą
danych może okazać się torba, czyli zbiór z powtórzeniami. Gdy myślę
o czasie, jaki upłynie od chwili, gdy to piszę, do końca dzisiejszego dnia,
to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbiór
mereologiczny. Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji, to
właściwym modelem tej oceny będzie zbiór, który nazywam zbiorem
dobrze rozmytym...
Według Jerzego Cantora (1883) zbiór, to każda wielość, która da się
pomyśleć jako jedność, tzn. każdy ogół określonych elementów, który
można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość.
Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogół liczb pierwszych, a
prawem, które wiąże w całość te liczby, jest definicja liczby pierwszej.
•
•
•
•
•
zbiór z powtórzeniami
zbiór mereologiczny (kolektywny)
zbiór przybliżony
zbiór rozmyty
i in.
Por.
A. Łachwa: „Który zbiór wybrać?”, Informatyka pod red. M. Pękali i Z. Chmielowskiego, KSW,
Kraków 2006, str. 35-49
A. Łachwa: Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji. EXIT 2001.
Dwa zbiory są równe jeśli mają te same elementy. Używamy
symboli =, ⊂ (czasami ⊆), ∈, ∅ (ten ostatni jest literą z alfabetu
norweskiego).
Zadanie domowe: Proszę nauczyć się alfabetu greckiego.
Np. {n∈N: n jest liczba parzystą} = {0, 2, 4, 6, 8, …}
{1, 2, 3} = {2, 2, 2, 1, 3, 3}
{(–1)n: n∈N} = {–1, 1}
{{1}, {1,2}} ≠ {1, 2}
Ćwiczenie: udowodnij, że jeśli S jest zbiorem to ∅⊂S.
Ćwiczenie: czy to prawda, że dla dowolnego zbioru S zbiór P(S) ma co najmniej 2 elementy?
Ćwiczenie: udowodnij, że ∅⊂{∅}, ∅≠{∅}.
Ćwiczenie: czy to prawda, że [0, 1] \ (0, 1) = {0, 1}?
Ćwiczenie: ile elementów ma zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych?
Pytanie: co to jest hipoteza continuum?
Przez Σ oznaczać będzie niepusty i skończony zbiór (w pewnym sensie odróżnialnych) liter czy
symboli, zwany dalej alfabetem, Wtedy dowolny skończony ciąg liter tego alfabetu nazwiemy
słowem (słowo puste oznaczać będziemy przez λ), Σ* oznaczać będzie zbiór wszystkich słów
zbudowanych z tego alfabetu, a dowolny podzbiór Σ* nazwiemy językiem.
Ćwiczenie: czy {0, 1, 10, 11, 100, 101, 111, 1000, 1001, …} jest językiem nad alfabetem {0, 1}?
Ćwiczenie: czy {a, b, c, ad} może być alfabetem?
Ćwiczenie: czy {a, b, c, Ad} może być alfabetem?
Hipoteza continuum to postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości
dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Posługując się
rozumowaniem przekątniowym Cantor wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są
równe. W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie:
„czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a
zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie
okazała się być daleko nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie
hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił on jej
udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii
mnogości.
W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza
continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości
Zermelo-Fraenkela. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy
continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w
sprzeczność można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość
hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.
W nowoczesnym sformułowaniu (pod założeniem aksjomatu wyboru) hipotezą
continuum nazywa się następujące zdanie:
gdzie po lewej stronie równości znajduje się pierwsza nieprzeliczalna liczba
kardynalna, a po prawej – liczba kardynalna continuum.
Uogólniona hipoteza continuum to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru
nieskończonego A nie istnieje zbiór B, którego moc byłaby większa od mocy zbioru
A, ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A.
[Wikipedia, 20.02.2012]
κ
λ µ
ν ξ ο
π
Często wygodnie jest ustalić pewien zbiór U, zwany uniwersum, i rozpatrywać jego elementy i jego
podzbiory. Wtedy zbiór A ma dopełnienie A' do uniwersum U, równe U\A.
Prawa algebry zbiorów
przemienność sumy zbiorów
przemienność iloczynu zbiorów
łączność sumy zbiorów
łączność iloczynu zbiorów
rozdzielność iloczynu względem
sumy zbiorów
rozdzielność sumy względem
iloczynu zbiorów
prawa idempotentności
prawa identyczności
prawo podwójnego dopełnienia
prawa de Morgana dla zbiorów
AUB=BUA
A∩B=B∩A
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A U A = A, A ∩ A = A
A U ∅ = A, A ∩ ∅ = A
A U U = U, A ∩ U = A
(A')' = A
A U A' = U, A ∩ A' = ∅
U' = ∅, ∅' = U
(A ∩ B)' = A' U B'
(A U B)' = A' ∩ B'
Poprawność możemy sprawdzić metodą diagramów Venna.
Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów wymienionych zbiorów,
które nie należą do nich jednocześnie. Operator ten oznaczamy przez ⊕.
Ćwiczenie: udowodnij, że A ∩ (B⊕C) = (A∩B) ⊕ (A∩C) za pomocą diagramów Venna.
Ćwiczenie: udowodnij formalnie, że A⊂B i A⊂C ⇒ A⊂B∩C
Ćwiczenie: sprawdź zdania: A∩B = A∩C ⇒ B=C
A⊕B = A⊕C ⇒ B=C
AUB = AUC ⇒ B=C.
Jeżeli A1, A2, … są zbiorami, to przez Ui=1,2,... A1 oznaczamy sumę tych zbiorów. Podobnie dla
iloczynu. Indeksy mogą być wyrażone inaczej, np. „i∈I” albo „5<i<12”.
Produkt kartezjański zbiorów A i B oznaczamy przez A×B, A×A oznaczamy przez A2 i podobnie
dla większej liczby zbiorów.Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementów oznaczamy
przez |A|.
|A×B| = |A| · |B|, |P(A)| = 2|A|
A
(i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2 )
Ćwiczenie: wyznacz zbiór [0, 3] \ [2, 6]
Ćwiczenie: wyznacz zbiór [0, 3]'
Ćwiczenie: sprawdź, czy prawdą jest, że A∪B ⊂ A∩B ⇒ A=B
Ćwiczenie: sprawdź, czy prawdą jest, że A∩B = A'∪B'
Ćwiczenie: udowodnij (A ∩ B ∩ C)' = A' U B' U C'
(nie stosuj metody elementów zbiorów)
Ćwiczenie: wypisz elementy P(P(A)), gdzie A={a, b}
Ćwiczenie: wypisz elementy P(A×B), gdzie A={a, b}, B={0,1}
Funkcje
Funkcja o dziedzinie
i przeciwdziedzinie
to dowolna relacja
taka, że:
•
•
lub krócej
gdzie kwantyfikator oznacza istnieje dokładnie jeden.
Dziedzinę funkcjo oznaczamy przez Dom(f), przeciwdziedzinę (obraz) przez Im(f).
Przykłady:
długość słowa
Surjekcja to funkcja
Piszemy wtedy
spełniająca warunek
.
, czytamy „X na Y”.
Injekcja to funkcja
spełniająca warunek
Injekcje często są nazywane funkcjami różnowartościowymi. Piszemy
.
Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją.
jako relację
Traktując funkcję
relację
odwrotną do
(zbiór par), możemy rozważać
.
Kiedy ta relacja jest funkcją? Funkcja posiada funkcję odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest
bijekcją.
Przykład konstrukcji funkcji odwrotnej:
,
Wartość bezwzględna to funkcja ||: R → R; |x|=x dla x≥0, -x wpp
własności: |x y| = |x| |y|, |x+y| ≤ |x| + |y|
Wykresem funkcji liczbowej jednoargumentowej nazywamy zbiór punktów na układzie
współrzędnych, gdzie argument jest odciętą punktu, a wartość funkcji jest rzędną. Na rysunkach
pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący).
Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to
χA: S → {0, 1}; χA(x)=1 dla x∈A, 0 wpp
Złożenie f○g funkcji
i funkcji
określona dla wszystkich argumentów
Gdy
jako
.
jest bijekcją, to istnieje funkcja odwrotna
Oznaczamy:
.
idX = f○f-1
Zwykle nie zachodzi
.
Dla funkcji
Dla
to funkcja
zachodzi
.
mamy:
•
•
•
•
jeśli f, g są surjekcjami, to gf jest surjekcją,
jeśli f, g są injekcjami to gf jest injekcją,
jeśli f, g są bijekcjami to gf jest bijekcją,
pierwsza i trzecia z powyższych własności nie zachodzą, jeśli dziedzina funkcji g jest
większa niż przeciwdziedzina funkcji f.
Funkcja dwóch zmiennych to funkcja, której dziedziną jest zbiór par (zamiast pojedynczych
elementów). Piszemy np.
więcej zmiennych.
. Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i
Przykład:
, gdzie
słowa
na końcu słowa
oznacza słowo (krotkę) powstałe z doklejenia
.
Obcięciem funkcji f:A → B do zbioru C nazywamy funkcję f|C: C → B; f|C(x)=f(x) dla x∈C.
Przeciwobrazy
f: X → Y, A⊂X, B⊂Y
f(A) nazywamy obrazem zbioru A
f ¯ (B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B względem f
f ¯ (y) nazywamy przeciwobrazem elementu y względem f i jest to f ¯ ({y})
Ćwiczenie: czy f ¯ (y) to f -1(y) ?
Oznaczenia niektórych funkcji:
o
o
- to logarytm z liczby
- to logarytm z liczby
przy podstawie
przy podstawie
,
,
o
- to największa liczba całkowita nie większa od
o
- to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od
,
.
Przykłady
1. Funkcji
w połączeniu z funkcją logarytmu można użyć do wyliczania liczby cyfr liczby
.
naturalnej zapisanej w układzie dziesiętnym. Jest to mianowicie
2. Podobnie
jest liczbą bitów potrzebnych do zapisania liczby naturalnej .
Ćwiczenie: Jak wygląda funkcja podłogi funkcji f(x)=x?
Zadanie domowe: proszę poświęcić chwilę na przyglądnięcie się poniższym tabelom (str. 60,
61 podręcznika K.R. Ross i C. R. B. Wright)
Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π