ANL1 1. Wykazać, że nie istnieją granice podwójne (a) lim sin(x2 +

ANL1
Z12
1. Wykazać, że nie istnieją granice podwójne
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
sin(x2 + 2y 2 )
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
|x + y − 2|
lim
(x,y)→(0,2) |x| + |y − 2|
x3 + 1
lim
(x,y)→(−1,−1) x3 − y 3
sin x
lim
(x,y)→(π,π/2) cos y
lim xy
lim
(x,y)→(0,0)
2. Wykazać, że
x3 + y 3 + 2x2 + 2y 2
=2
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
x2 + y 2
(b)
lim
=0
(x,y)→(0,0) |x| + |y|
(a)
lim
3. (K) Wyznaczyć,
jeśli istnieją, pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (0, 0) funkcji

2

sin(2x
+ y)

, (x, y) : x 6= 0
f (x, y) =
x


0
, (x, y) : x = 0
 √

3x6 + y 4

∂f
∂f
, (x, y) 6= (0, 0)
4. (K) Obliczyć, jeśli istnieją, pochodne
(0, 0) oraz
(0, 0) dla f (x, y) =  x2 + 2y 2
∂x
∂y

0
, (x, y) = (0, 0)
5. (K) Zbadać ciągłość w punkcie (0, 1) oraz
 istnienie pochodnych cząstkowych pierwszego
3x
(y − 1)


+
, (x, y) : x · (y − 1) 6= 0
rzędu w punkcie (0, 1) funkcji f (x, y) =  (y − 1)
3x

0
, (x, y) : x · (y − 1) = 0



1
(x, y) : x 6= 2 ∧ y =
6 2
6. (E) Dana jest funkcja f (x, y) =
. Zbadać jej
(2 − x)(2 − y)


0
(x, y) : x = 2 ∨ y = 2
∂f ∂f
ciągłość w punkcie (2, 2) oraz istnienie
i
w punkcie (2, 2) .
∂x ∂y



1
, (x, y) 6= (−2, 0)
2 + y2
7. (K) f (x, y) =
. Obliczyć, jeśli istnieją,
(x
+
2)


0
, (x, y) = (−2, 0)
pochodne cząstkowe I rzędu funkcji f w punkcie (−2, 0).
(x + 2)arctg
8. (E) Obliczyć,
q jeśli istnieją, wszystkie pochodne cząstkowe II rzędu w punkcie (0, 0) funkcji
f (x, y) = sin4 x + 2y 2 .