Wykład 5

Wykład 5
Wiadomości wstępne
Łuk (zwykły) na płaszczyźnie (krótko: łuk) jest to zbiór wszystkich punktów (x, y) o współrzędnych x = x(t), y = y(t), gdzie x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi, określonymi na przedziale hα; βi;
bez punktów wielokrotnych tzn. dla różnych wartości parametru t ∈ (α; β) otrzymujemy różne
punkty na łuku.
Układ: x = x(t) , y = y(t), t ∈ hα; βi – przedstawienie parametryczne łuku.
Punkty A(x(α), y(α)) i B(x(β), y(β)) – końce łuku.
Łuk jest otwarty, jeżeli A 6= B.
Łuk jest zamknięty (in. jest krzywą zamkniętą, krzywą Jordana), jeżeli A = B.
Łuk gładki – taki łuk, dla którego pochodne x0 (t) i y 0 (t) są ciągłe na przedziale hα; βi oraz nie
są w żadnym punkcie tego przedziału jednocześnie równe 0.
Łuk kawałkami gładki jest to skończona suma łuków gładkich.
d lub na odwrót (BA).
d Łuk, któremu nadano
Łukowi można nadać kierunek od A do B (ozn.AB)
kierunek, nazywamy łukiem skierowanym.
Definicja 1. Przedstawienie parametryczne i kierunek łuku są zgodne, jeśli kierunek łuku jest
zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. W przeciwnym wypadku przedstawienie parametryczne i kierunek łuku są niezgodne.
Uwaga 1. Jeżeli przedstawienie parametryczne x = x(t), y = y(t), t ∈ hα ; βi jest niezgodne z
nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie
x = x(−t) , y = y(−t) , t ∈ h−β , −αi
będzie z tym kierunkiem zgodne.
Obszar w R2 nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej zawartej
w nim krzywej Jordana. Warunek ten oznacza, że obszar jest ”bez dziur”.
Niech D będzie obszarem normalnym względem obu osi współrzędnych, a krzywa Jordana K
jego brzegiem. Jeżeli kierunek na krzywej K jest określony tak, że poruszając się po K obszar
D jest po lewej stronie, to krzywa K jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D. W
przeciwnym razie jest skierowana ujemnie względem swego wnętrza D.
Całka krzywoliniowa skierowana w R2
d – łuk zwykły skierowany o przedstawieniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t ∈
Niech AB
hα ; βi zgodnym z kierunkiem tego łuku oraz para uporządkowana [P (x, y); Q(x, y)] funkcji określonych na tym łuku.
Analiza 2 (ANAL2)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015
Niech n ∈ N – ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział hα ; βi na n części punktami:
α = t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = β.
Odpowiadają temu punkty na łuku: A0 , A1 , . . . An , gdzie Ak = (x(tk ), y(tk )) , k = 1, . . . n.
W przedziale htk−1 ; tk i , k = 1, . . . , n wybieramy dowolnie punkt τk . Tworzymy sumę
Sn =
n
X
(P (x(τk ), y(τk )) · (x(tk ) − x(tk−1 )) + Q(x(τk ), y(τk )) · (y(tk ) − y(tk−1 )))
k=1
Definicja 2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału hα ; βi ciąg (Sn ) jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów τk , to wartość tej granicy
nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną) pary funkcji [P (x, y); Q(x, y)] po łuku
d i oznaczamy
AB
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
c
AB
−
ozn −−−−→
ozn →
Przy oznaczeniach [P (x, y); Q(x, y)] = R(x, y) oraz [dx, dy] = dl :
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
−−−−→ →
−
R(x, y) ◦ dl
Z
c
AB
c
AB
Uwaga 2. Własności całki
1.
Z
Z
−−−−→ →
−−−−→ →
−
−
R(x, y) ◦ dl = − R(x, y) ◦ dl ,
c
BA
c
AB
2.
3.
Z
Z
−−−−→ →
−−−−→ →
−
−
k · R(x, y) ◦ dl = k · R(x, y) ◦ dl , k ∈ R,
c
AB
c
AB
Z Z
Z
−−−−−→ →
−−−−−→ →
−−−−−→ −−−−−→ →
−
−
−
R1 (x, y) ◦ dl + R2 (x, y) ◦ dl
R1 (x, y) + R2 (x, y) ◦ dl =
c
AB
c
AB
c
AB
Jeżeli całkę krzywoliniową obliczamy po łuku zamkniętym K, to zamiast symbolu
symbolu
I
Z
używamy
c
AB
(zaznaczając ew. strzałką na kółeczku skierowanie krzywej).
K
Twierdzenie 1. (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)
d o parametryzacji x = x(t), y = y(t),
Jeżeli funkcje P (x, y) , Q(x, y) są ciągłe na łuku gładkim AB
t ∈ hα; βi zgodnej z kierunkiem tego łuku, to
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
c
AB
Zβ
(P (x(t), y(t)) · x0 (t) + Q(x(t), y(t)) · y 0 (t))dt
α
Uwaga 3. Wartość całki krzywoliniowej skierowanej zależy (na ogół) od kształtu drogi całkowania.
Analiza 2 (ANAL2)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015
Uwaga 4. Jeżeli krzywa K =
n
X
Ki jest sumą otwartych łuków gładkich, to całką skierowaną
i=1
pary funkcji [P (x, y); Q(x, y)] po łuku K określamy jako
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

Z
n
X


i=1
K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy 

Ki
Uwaga 5. Prawdziwy jest wzór
Z
K
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy,
−K
gdzie −K oznacza krzywą różniącą się od K kierunkiem.
Uwaga 6. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną pozostaje prawdziwe
dla krzywych zamkniętych.
Analiza 2 (ANAL2)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015