π π π

Praca domowa nr 5. WM-E, kierunek MBM. Termin oddania pracy 19 I 2016
Grupa 1. Drgania
1. Ciężarek o masie m przymocowany do poziomej sprężyny wykonuje ruch drgający harmoniczny poruszając
się po idealnie gładkiej poziomej powierzchni. W czasie t pokonuje drogę d między skrajnymi wychyleniami z
położenia równowagi. Ile wynosi energia mechaniczna tych drgań?
2. Klocek o masie 0,25 kg przymocowany do sprężyny wykonuje na doskonale gładkim stole drgania
harmoniczne o energii całkowitej równej 50 J. Wyznacz wartość energii kinetycznej tego klocka w momencie,
gdy jego wychylenie liczone od punktu równowagi jest równe połowie wartości amplitudy drgań.
3. Przy jakiej prędkości samochód poruszający się po drodze z betonowych płyt będzie silnie drgał w kierunku
pionowym, jeśli długość płyty wynosi L, a nacisk na resor, który ugina się o ∆x pod działaniem siły Fx, wynosi
N1?
4. Wyznacz okresy drgań wahadła matematycznego umieszczonego: a) W windzie jadącej w górę z
przyspieszeniem a? b) W windzie jadącej w dół z przyspieszeniem a?
5. Wyznacz okresy drgań wahadła fizycznego o momencie bezwładności I podwieszonego w odległości l od
środka masy umieszczonego: a) W windzie jadącej w górę z przyspieszeniem a? b) W windzie jadącej w dół z
przyspieszeniem a?
6. Pod poziomą poprzeczką w punktach O podwieszono kulę i sferę o jednakowych
masach m i promieniach R (patrz rys. obok). Kula i sfera mogą wykonywać małe drgania
będąc podwieszone w punktach O. Wyznacz okresy małych drgań tych brył.
7. Pod poziomą poprzeczką w punktach O podwieszono cienką obręcz, tarczę oraz pręt o
jednakowych masach m, promieniach R obręczy i tarczy ( patrz rys. do zad. 6.); pręt ma
długość 2R. Ciała te mogą wykonywać małe drgania będąc podwieszone w punktach O. Wyznacz okresy małych
drgań tych ciał.
8. Energia całkowita ciała drgającego harmonicznie jest równa Ec a maksymalna siła działająca na ciało Fmax.
Napisać równanie ruchu tego ciała, jeśli okres drgań trwa T a faza początkowa wynosi 0 .
Grupa 2. Fale
1. A) Napisz równanie opisujące poprzeczną falę sinusoidalną biegnącą w sznurze w dodatnim kierunku osi OX,
dla której k = 60 cm−1, T = 0,2 s, A = 3mm. Wyznacz maksymalną prędkość poprzeczną cząsteczek sznura. Jak
wyznaczamy współrzędne punktów sznura, w których w danej chwili wychylenie jest maksymalne/zerowe? B)
Prędkość dźwięku w powietrzu w przybliżeniu wynosi c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 300 Hz
jest syrena wozu policyjnego. Wóz porusza się z prędkością 45 m/s. Za wozem jadą dwa samochody: jeden w
tym samym kierunku z prędkością 20 m/s, a drugi w przeciwnym kierunku z prędkością 15m/s. Jakie częstości fal
słyszą pasażerowie samochodów?
2. A) Po naciągniętej strunie biegnie fala poprzeczna
y ( x , t ) = 0, 024 ⋅ sin [3 ⋅ x + 40 ⋅ t ] .
Liniowa
-4
gęstość masy tej struny wynosi 2.2·10 kg/m. Oblicz prędkość fali i naprężenie struny. B) Prędkość dźwięku w
powietrzu w przybliżeniu wynosi c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 600 Hz jest syrena wozu policyjnego. Wóz porusza się z prędkością 35 m/s. Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem.
3. A) Fala poprzeczna biegnąca w sznurze ma postać (w SI)
y( x, t ) = 0,35 ⋅ sin (10π t − 6π x + π / 4) . Ile
wynosi prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i
x = 0,1 m? Ile wynosi długość i częstotliwość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej? B)
Prędkość dźwięku w powietrzu w przybliżeniu wynosi c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 850 Hz
jest syrena wozu policyjnego. Wóz porusza się z prędkością 30 m/s. Za wozem jadą dwa samochody: jeden w
tym samym kierunku z prędkością 20 m/s, a drugi w przeciwnym kierunku z prędkością 30m/s. Jakie częstości fal
słyszą pasażerowie samochodów?
1
4. A) Dwie fale biegnące opisują równania (w SI): y1 = 0,3 sin[π(5x−200t)] oraz y2 = 0,3 sin[π(5x−200t)+π/3].
W wyniku ich nałożenia powstaje fala biegnąca. Wyznaczyć amplitudę, prędkość i długość fali biegnącej. B)
Wóz policyjny zbliża się z prędkością 5m/s do pionowej ściany odbijającej dźwięk syreny. Jaką częstotliwość
dudnień słyszy policjant?
5. Struna ma długość 1,5 m, masę 8,7 g, a jej naprężenie wynosi 120 N. Zamocowano jej końce i wzbudzono
drgania. Obliczyć: (a) prędkość rozchodzenia się fal poprzecznych w tej strunie; (b) długość i częstotliwość
dwóch fal interferujących ze sobą i wytwarzających na strunie falę stojącą o jednej strzałce i dwóch strzałkach.
Jakie są długości fal akustycznej, których źródłem jest ta struna?
6. Wyznaczyć prędkość poprzeczną v = ∂y/∂t oraz przyspieszenie poprzeczne a = ∂2y/∂t2 fragmentów struny w
chwili czasu t = 0,2 s w punkcie x = 1,6m struny, w której rozchodzi się fala y(x, t) = 0,12 sin[π(x/8 + 4t)]. Ile
wynoszą wartości maksymalne wyznaczonych wielkości? Dla jakich chwil czasu wielkości v oraz a osiągają w
tym punkcie wartości ekstremalne? Czy spełniona jest relacja a = −ω2y? Ile wynoszą: długość, okres i prędkość
fazowa tej fali?
7. A) Nadajnik ultradźwiękowy echosondy wysyła fale o częstotliwości 40 kHZ. Wyznaczyć długość fali
ultradźwiękowej w wodzie. Jaka jest głębokość morza, jeżeli w danym miejscu impuls echosondy powraca po 0,2
s od chwili jego wysłania? Prędkość dźwięku w wodzie 1450 m s. B) Prędkość dźwięku w powietrzu w
przybliżeniu wynosi c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 1 kHZ jest syrena karetki pogotowia, która
jedzie z prędkością 35 m/s. Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za karetką.
8. A) Ile razy zmieni się długość fali dźwiękowej przy przejściu fali z powietrza do wody? Prędkość dźwięku w
powietrzu przyjąć jako 332 m s , a w wodzie jako 1450 m s. B) Prędkość dźwięku w powietrzu w przybliżeniu
wynosi c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 1.2 kHZ jest syrena karetki pogotowia, która jedzie z
prędkością 30 m/s. Za karetką jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością 30 m/s, a drugi w
przeciwnym kierunku z prędkością 15m/s. Jakie częstości fal słyszą pasażerowie samochodów?
Grupa 3. Termodynamika
1. A) Współczynnik sprawności pewnej maszyny cieplnej stanowi 60% współczynnika sprawności
maszyny idealnej pracującej według cyklu Carnota. Temperatura źródeł i chłodnic tych maszyn są
jednakowe. Dochodząca do maszyny para ma temperaturę 200oC a temperatura skraplacza maszyny jest
równa 60oC . Moc maszyny wynosi 314 kW. Ile węgla potrzebuje maszyna w ciągu 1 godziny
pracy? Ciepło spalania węgla wynosi 3,14 ⋅107 J kg. B) Okrągły otwór w płycie aluminiowej ma w
temperaturze 0oC średnicę 4 cm. Jaki będzie jego promień, jeśli temperatura płyty wzrośnie do 100◦C?
Współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej aluminium wynosi 2,3 ·10−5 K-1.
4
2. A) Moc promieniowania cieplnego ciała dana jest wzorem Pemit = σ ⋅ ε ⋅ S ⋅ T , gdzie stała StefanaBoltzmanna σ = 5,6703·10-8W/(m2·K4), ε – zdolność emisyjna powierzchni ciała, T – temperatura
bezwzględna ciała, S jego powierzchnia. Moc absorbowana przez ciało z otoczenia określa wzór
4
Pabs = σ ⋅ ε ⋅ S ⋅ Totoczenia
. Kulę o promieniu 0.4 m, temp. 30oC, zdolności emisyjnej powierzchni 0,8
umieszczono w otoczeniu o temp. 80oC. Z jaką szybkością kula: a) emituje i absorbuje energię cieplną?
Czy kula się ochładza, czy ogrzewa? B) Współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej aluminium
wynosi 2,3 ·10−5 K-1, współczynnik objętościowej rozszerzalności cieplnej gliceryny 5·10−4 K−1.
Naczynie aluminiowe o objętości 100 cm3 jest całkowicie wypełnione gliceryną o temperaturze 20oC.
Ile gliceryny wyleje się lub nie po ogrzaniu naczynia do temperatury 30oC?
3. A) Nad układem termodynamicznym wykonano pracę równą 300 J i odebrano od niego 50 cal ciepła.
Jakie wartości (i znak, zgodnie z konwencją przyjętą w I zasadzie termodynamiki) ma: a) praca W?; b)
ciepło Q?; c) zmiana energii wewnętrznej ∆U? B) Alkohol etylowy wrze w temperaturze 78oC, krzepnie
przy −114oC, a jego ciepło właściwe 2,43 kJ/(kgK), ciepło parowania 879 kJ/kg, ciepło krzepnięcia 109
kJ/kg. Ile energii trzeba odebrać od 0,51 kg alkoholu etylowego, który początkowo jest gazem o
temperaturze 78oC, aby zamienić go w ciało stałe o temperaturze −114oC?
2
4. Układ termodynamiczny poddano przemianom od
stanu początkowego A do B, a następnie z powrotem do
stanu A poprzez stan C, tj. od A do B, od B do C i od C
do A, co ilustruje wykres po prawej stronie. Uzupełnij
tabelę b) wpisując odpowiednie znaki + lub –
odzwierciedlające charakter przemian cząstkowych.
Oblicz wartość całkowitej pracy wykonanej przez układ
w tym zamkniętym cyklu.
5. Idealny gaz zamknięty w komorze poddano cyklicznym procesom, które
ilustruje rys. po lewej str. Wyznacz ile ciepła oddał układ w procesie CA, jeżeli
ciepło 20 J dostarczono układowi w procesie AB, w procesie BC energia w postaci ciepła nie była wymieniana, a wypadkowa praca w całym cyklu wyniosła 15J?
6. Jeden mol gazu doskonałego podlega cyklicznej
przemianie przedstawionej na rysunku po prawej j stronie.
Obliczyć ciepło pobrane przez gaz w przemianie od 2 do 3
oraz pracę uzyskaną w cyklu, jeśli dane są temperatury: najwyższa T1 i
najwyższa, przy czym T2 = T3.
7. A) Moc promieniowania cieplnego ciała człowieka określa wzór
Pemit = σ ⋅ ε ⋅ S ⋅ T 4 , gdzie stała Stefana-Boltzmanna σ = 5,6703·10-8W/(m2·K4), ε – zdolność emisyjna
powierzchni ciała człowieka, T – temperatura bezwzględna ciała, S jego powierzchnia. Moc
4
absorbowana przez ciało człowieka z otoczenia określa wzór Pabs = σ ⋅ ε ⋅ S ⋅ Totoczenia . Wyobraź sobie
siebie w pomieszczeniu o temp. 30oC, gdy zdolność emisyjna powierzchni Twojego ciała wynosi 0,6. Z
jaką szybkością: a) emituje i absorbuje energię cieplną Twoje ciało? Czy Twoje ciało ochładza się, czy
ogrzewa? B) W termosie znajduje się 200 cm3 gorącej wody o temperaturze 90oC. Wrzucono do
termosu kostkę lodu o masie 15 g i temp. 0oC. O ile stopni spadnie temp. wody w termosie?
8. A) Masa molowa nieznanego ciała stałego wynosi 0,05 kg/mol. Temu ciału o masie 0,03 kg i
temperaturze 25oC dostarczono 314 J energii pod postacią ciepła, co spowodowało ogrzanie się tego
ciała do 45oC. Oblicz ciepła właściwe i molowe tego ciała. Ile moli materii zawiera to ciepło? B) W
rurach kolektora zamontowanego na dachu podgrzewana jest woda absorbowaną energią słoneczną. Po
podgrzaniu woda jest pompowana do zbiornika w łazience domu. Załóżmy, że sprawność konwersji
energii słonecznej w takim kolektorze wynosi 20%. Jaka powinna być powierzchnia tego kolektora, aby
w czasie jednej godziny możliwe było ogrzanie 100 l wody od 20oC do 50oC, jeśli natężenie promieni
słonecznych wynosi 560 W/m2?
W. Salejda
Wrocław, 12 XII 2015
3