Rynek Finansowy 2002 Lista 4

Modelowanie rynków finansowych
2011/2012
Lista 2: Rentowność papierów dłużnych, wycena obligacji,
czas trwania, wypukłość
Krzywa rentowności/dochodowości (yield curve) przedstawia zależność stóp zwrotu od terminów wykupu instrumentów dłużnych. Za stopę zwrotu przyjmuje się zazwyczaj stopę zwrotu do terminu wykupu (yield to
maturity, YTM). Jest to stopa zwrotu, jaką uzyska inwestor, który kupi obligację po bieżącej cenie, przetrzyma ją
do terminu wykupu i będzie reinwestował wypłacane odsetki przy tej samej stopie procentowej. Jest ona rozwiązaniem równania:
t
 YTM 
 YTM 
P   Ct 1 
  FV 1 

m 
m 


t 1
mT
 mT
gdzie P jest ceną obligacji, Ct są kuponami płatnymi i kapitalizowanymi m razy w ciągu roku, FV jest wartością
nominalną a T czasem pozostałym do terminu wykupu. Dla obligacji zerokuponowych równanie znacznie się
1/ T
 FV 
upraszcza i YTM można obliczyć wprost z wzoru (w przypadku rocznej kapitalizacji): YTM  
 1.
 P 
 FV
 D
Natomiast dla instrumentów rynku pieniężnego z wzoru: YTM  
 1  , gdzie d jest liczbą dni do
 P
 d
terminu wykupu, a D liczbą dni w roku rozliczeniowym(np. w Polsce D=365 dni, w strefie Euro D=360 dni).
Obligacja z opcją wykupu (callable bond) daje emitentowi prawo (ale nie obowiązek) do wcześniejszego wykupienia długu na z góry ustalonych warunkach.
Stopa zwrotu do pierwszego wykupu (yield to call, yield to first call, ytc) jest liczona tak jak ytm,
z tym że jako czas do wygaśnięcia wstawia się termin pierwszego możliwego wykupu.
Zrealizowana złożona stopa zwrotu (realized compound yield) to rzeczywista stopa zwrotu z inwestycji, tzn.
obliczona w sytuacji gdy odsetki są reinwestowane według rzeczywistych stóp procentowych w całym okresie.
Bieżąca stopa zwrotu (current yield) = roczny kupon / bieżąca cena obligacji.
Zadania
1. Napisać funkcję wyznaczającą YTM dla obligacji kuponowych (laboratorium)
2. Rozpatrzmy obligację kuponową oprocentowaną 10% w skali roku, której stopa zwrotu do terminu wykupu ytm=8%. Jeśli ytm się nie zmieni to za rok cena obligacji będzie wyższa, niższa czy
się nie zmieni?
3. Rozpatrzmy 3 obligacje (o tym samym poziomie ryzyka, wartości nominalnej równej 1000zł i
zapadalności za 10 lat):
A: zerokuponową,
B: kuponową o kuponie w wysokości 80zł wypłacanym raz w roku
C: kuponową o kuponie w wysokości 100zł wypłacanym raz w roku
Jeśli ytm wszystkich obligacji wynosi 8% to jakie są ich ceny? Jeśli za rok ytm tych obligacji się
nie zmieni to jakie będą ich ceny? A jakie będą ich ceny jeśli za rok ytm=7%?
4. Jaka jest relacja między P i FV gdy YTM = C/FV ? A gdy YTM < C/FV ? YTM > C/FV ?
5. Inwestor posiada portfel, w skład którego wchodzą 3 obligacje A i 5 obligacji B. Charakterystyki
obligacji są następujące:
- obligacja A: wartość nominalna 100, cena 102, termin do wykupu 2 lata, oprocentowanie
10%, odsetki płacone co roku;
- obligacja B: zerokuponowa, wartość nominalna 100, cena 92, termin do wykupu 1 rok.
Obliczyć YTM całego portfela.
6. Załóżmy, że roczna obligacja zerokuponowa o wartości nominalnej 100zł jest sprzedawana po
94,34zł, a dwuletnia po 84,99zł. Zastanawiasz się nad zakupem dwuletniej obligacji kuponowej o
wartości nominalnej 100zł i kuponach w wysokości 12zł płatnych raz w roku. Jaka jest ytm dwuletniej obligacji zerokuponowej? A jaka obligacji kuponowej? Jaka jest stopa forward 1r2 (na drugi
rok)?
7. Obliczyć odsetki proste od długu zaciągniętego 15 grudnia 2001 i zwróconego 28 listopada 2002,
jeśli roczna stopa procentowa wynosiła 10.5%. Zastosować każdą z czterech strategii obliczania
odsetek związanych ze sposobem liczenia czasu.
8. Obligacje skarbowe o kuponie 8% (w skali roku) płatnym co 6 miesięcy są obecnie sprzedawane
po cenie równej wartości nominalnej. Jaki powinien być kupon tych obligacji gdyby odsetki były
płatne raz w roku a ich cena byłaby równa wartości nominalnej?
9. Dwie obligacje mają identyczne terminy zapadalności i kupony. Jedna może być wykupiona przez
emitenta (callable) po cenie 105zł a druga po 110zł. Która powinna mieć większą ytm?
10. Rozpatrzmy obligację z kuponem 8% (płatności raz na rok) sprzedawaną po $953,10 i terminem
zapadalności za 3 lata. Stopy procentowe w kolejnych 3 latach będą następujące: 8%, 10% i 12%.
Oblicz ytm oraz zrealizowaną złożoną stopę zwrotu (realized compound yield).
11. Rozpatrzmy obligację z kuponem 10% (płatności 2 razy w roku) i terminem zapadalności za 3
lata. Rynkowa stopa procentowa na pół roku wynosi jedynie 4%. Jaka jest dzisiejsza cena obligacji? A jaka będzie jej cena za pół roku po wypłacie kuponu? Jaka jest 6 miesięczna stopa zwrotu z
tej obligacji?
12. Obligacja z kuponem 7% wypłaca odsetki dwa razy w roku: 15/1 i 15/7. 30 stycznia The Wall
Street Journal podaje cenę tej obligacji jako 100:02. Jaka jest brudna cena tej obligacji? Wartość
nominalna = $1000. Przyjąć, że okres między płatnościami kuponów wynosi 182 dni.
13. Bieżąca stopa zwrotu obligacji wynosi 9% a ytm=10%. Czy obligacja jest sprzedawana powyżej
czy poniżej wartości nominalnej? Czy kupon tej obligacji jest wyższy czy niższy niż 9%?
14. 30-letnia obligacja o oprocentowaniu 8% (w skali roku) wypłacająca kupony co pół roku może
być wykupiona przez emitenta (callable) za pięć lat po cenie 1100zł. Obecna ytm tej obligacji
wynosi 7%. Jaka jest stopa zwrotu to pierwszego wykupu (ytc)? Jaka jest ytc jeśli cena wykupu
(call price) wynosi tylko 1050zł? Jaka jest ytc jeśli cena wykupu wynosi 1100zł, ale obligacja
może być wykupiona przez emitenta już za dwa lata?
15. Cena dwuletniej obligacji o odsetkach płatnych raz w roku i wynoszących $100 jest równa wartości nominalnej ($1000). Oblicz ytm. Jaka będzie zrealizowana złożona stopa zwrotu jeśli w następnym roku stopa procentowa będzie wynosić 8%? 10%? 12%?
16. Jaka jest relacja pomiędzy ytm a zrealizowaną złożoną stopą zwrotu obligacji zerokuponowej?
17. Obligacja z kuponem 10%, wypłacająca odsetki dwa razy w roku: 15/1 i 15/7, 15 kwietnia jest
notowana (ask price) w The Wall Street Journal po 101:04. Ile trzeba zapłacić (pomijając prowizje) maklerowi za tą obligację?
18. Załóżmy, że 15 marca 2001r mamy następujące stopy na rynku obligacji skarbowych (lata do
wygaśnięcia > ytm): 1 > 3,5%, 2 > 4,5%, 3 > 5%, 4 > 5,5%, 5 > 6%. Policz stopy forward: 1r2, 2r3,
3r4, 4r5.
19. Pokaż, że cena obligacji kuponowej jako funkcja rentowności jest funkcją wypukłą. Czy to samo
można powiedzieć o ln( PV) jako funkcji ln 1  ytm ?
20. Znajdź relację (np. narysuj wykres) pomiędzy czasem trwania a zapadalnością obligacji dla
PV>FV i PV<FV.
21. Jak wielkość kuponu wpływa na czas trwania? Narysuj wykres D względem ytm dla obligacji
o różnej wielkości kuponach.
22. Pokaż, że czas trwania obligacji zerokuponowej jest równy terminowi wykupu.
23. Wyprowadź wzór na wypukłość obligacji zerokuponowych oraz kuponowych.
24. Jaka jest zależność między wypukłością a zapadalnością obligacji?
25. Rozpatrzmy dwie obligacje o takim samym czasie trwania ale o różnej wypukłości. Która z nich
jest atrakcyjniejsza?
26. Czy krzywa rentowności dla obligacji z opcją wykupu powinna leżeć powyżej czy poniżej krzywej otrzymanej z obligacji bez takiego prawa. Uzasadnij.
27. Dana jest obligacja z dwuletnim terminem wykupu, o wartości nominalnej 100, oprocentowaniu
20%, odsetki są płacone co roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu wynosi 15%. Obliczyć czas
trwania tej obligacji. To samo zadanie rozwiązać gdy odsetki są płacone co pół roku i co kwartał.
Jakie wnioski można wysnuć na podstawie tych obliczeń?
28. Rozpatrzmy obligację 1.5 roku przed terminem wykupu, której wartość nominalna wynosi 100,
oprocentowanie 10%, a odsetki są płacone co roku. Stopa dochodu, będąca jednocześnie wymaganą stopą dochodu wynosi 7%. Policzyć duration tej obligacji. Policzyć czas jej trwania po upływie
pół roku, tuż przed wypłatą kuponu i tuż po wypłacie kuponu. Jakie wnioski płyną z otrzymanych
wyników?
29. Inwestor posiada portfel 50 obligacji A i 70 obligacji B, które płacą odsetki raz w roku. Ich charakterystyki są następujące:
A – dwuletnia, stałe oprocentowanie = 16%, stopa dochodu 14%, wartość 103,29
B – trzyletnia, stałe oprocentowanie = 15%, stopa dochodu 12.5%, wartość 105.95.
Obliczyć średni termin wykupu portfela.
30. Inwestor posiada obligację z 3-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej 100, 14.5% kuponie, rentowności 14% i odsetkach płatnych co pół roku. Oblicz wypukłość tej obligacji.
31. Dana jest obligacja zerokuponowa z 4-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej 100. Wartość obligacji wynosi 70. Oblicz średni termin wykupu tej obligacji.
32. Inwestor A posiada 3-letnie obligacje o stałym oprocentowaniu wynoszącym 18%, wartości nominalnej 100, stopie dochodu 15%, dla których odsetki płatne są raz w roku. Inwestor B posiada
podobne obligacje z tą różnicą, że oprocentowanie wynosi 17.5% i jest płatne co pół roku. Porównaj te obligacje pod względem zmodyfikowanego średniego terminu wykupu.
33. Dla podanej listy cen obligacji zerokuponowych przy różnych terminach wykupu policzyć stopy
zwrotu do terminu wykupu. Policzyć sekwencję stóp forward implikowaną przez te stopy.
1
2
3
4
Czas (lata)
943.40
898.47
847.62
792.16
Cena
34. YTM dla jednorocznej obligacji zerokuponowej wynosi obecnie 7% zaś dla dwuletniej obligacji
zerokuponowej 8%. Skarb Państwa chce wyemitować dwuletnią obligację kuponową o kuponie
9% płatnym raz w roku i wartości 100.
a. Jaka będzie jej cena?
b. Jaka będzie jej YTM?
c. Jaka jest jej oczekiwana cena za rok zgodnie z teorią oczekiwań?
d. Jaka będzie jej cena za rok zgodnie z teorią preferencji jeśli premia wynosi 1%?
35. Tabele poniżej pokazują odpowiednio: charakterystyki dwóch obligacji o rocznych płatnościach o
tym samym poziomie ryzyka oraz natychmiastowe stopy procentowe. Na podstawie tych informacji oceń, która z obligacji jest korzystniejsza do kupienia. Uzasadnij wybór.
1
2
3
Czas (lata)
5%
8%
11%
Natychmiastowa stopa procentowa
Obligacja A
Obligacja B
Kupony
Rocznie
Rocznie
Termin wykupu
3 lata
3 lata
Wielkość kuponu
10%
6%
YTM
10.65%
10.75%
Cena
98.40
88.34
36. Obecna krzywa rentowności dla obligacji zerokuponowych bez ryzyka podana jest w tabeli:
1
2
3
Czas (lata)
10%
11%
12%
YTM
a. Jakie są implikowane roczne stopy forward?
b. Przy założeniu teorii oczekiwań jaka będzie krzywa rentowności dla jedno- i dwuletnich obligacji zerokuponowych za rok?
c. Jeśli kupisz dwuletnią obligację jaka jest oczekiwana stopa zwrotu w pierwszym roku? A jaka
jest ta stopa dla obligacji trzyletniej?
d. Jaka powinna być cena obligacji trzyletniej z 12% kuponem płatnym raz w roku? Jeśli kupisz
ją po tej cenie ile wyniesie stopa zwrotu przez następny rok (kupon + zmiana ceny)?
37. Tabela poniżej przedstawia ceny obligacji zerokuponowych o cenie nominalnej 1000:
1
2
3
Czas (lata)
943.40
873.52
816.37
Cena
a. Jaką YTM ma obligacja o wartości nominalnej 1000 i kuponie 8.5% płatnym raz w roku o trzyletnim terminie wykupu?
b. Jeśli za rok krzywa rentowności będzie płaska na poziomie 8% jaka będzie roczna stopa zwrotu z
tej obligacji (w pierwszym roku)?
38. Dana jest następująca struktura terminowa:
Efektywna roczna YTM
1-roczna obligacja zerokuponowa
6.1%
2-letnia obligacja zerokuponowa
6.2%
3-letnia obligacja zerokuponowa
6.3%
4-letnia obligacja zerokuponowa
6.4%
Jeśli zakładamy, że za rok ta struktura się nie zmieni, która z obligacji przyniesie największą stopę zwrotu w najbliższym roku?
39. Dane są trzy rodzaje obligacji o tej samej wartości wykupu i tych samych terminach płatności
kuponów:
(i) pierwsza obligacja z kuponem w wysokości 40 ma cenę P,
(ii) druga obligacja z kuponem w wysokości 30 ma cenę Q,
(iii) trzecia obligacja z kuponem w wysokości 80 ma cenę R.
Wyznacz cenę R trzeciej obligacji jako funkcję cen dwóch pozostałych:
A. R = 4P - 4Q
B. R = 4P + 4Q
C. R = 4Q - 3P
D. R = 5P - 4Q
E. R = 5Q - 4P
40. Inwestor kupuje 20 letnią obligację o wartości nominalnej równej wartości wykupu równej 1000
przy założeniu efektywnej stopy procentowej i za kwotę 1500. Kupony są płatne rocznie a stopa
kuponowa wynosi 3i (3-krotna stopa procentowa). Po 10 latach sprzedaje obligacje za kwotę X
przy założeniu tej samej efektywnej stopy zwrotu i. Wyznacz X (podaj najbliższą wartość):
41. 10-letnia obligacja o wartości 1000 płaci kupony półroczne każdy o wysokości 50. Środki otrzymane z kuponów są reinwestowane przy stopie r = 4%. Wyznacz kwotę za którą inwestor zakupił
obligacje, jeżeli efektywna stopa zwrotu z inwestycji w ciągu 10-letniego okresu inwestowania
wyniesie i = 10 %.
42. Inwestor rozważa zakup n-letniej obligacji o nominale 1000 zł, wykupywanej po nominale. Stopa
kuponowa wynosi 6%. Ile powinien zapłacić za obligację inwestor, tak aby rentowność inwestycji
wyniosła 5%? Dodatkowo wiadomo, iż identyczna obligacja 2n-letnia kosztowałaby o 50 zł więcej.
43. Obligacja o wartości nominalnej 1500 zł (równej wartości wykupu) ze stopą kuponową C będzie
wykupiona po n latach. W przypadku gdy zwiększymy stopę kuponową o 1%, cena zakupu wzrośnie o 75 zł. Cena zakupu obligacji została wyliczona przy stopie zwrotu (rentowności) 6% o półrocznej kapitalizacji odsetek. Inna obligacja o wartości nominalnej równej wartości wykupu 1500
zł będzie wykupiona po 2n latach. Oblicz jej cenę zakupu przy stopie zwrotu 6% o półrocznej kapitalizacji odsetek, jeżeli jej stopa kuponowa wynosi 7%. Wszystkie obligacje wypłacają półroczne kupony.
44. Wyznacz czas trwania ciągłej płatności o wysokości (10 – t) w okresie 0  t  10 . Do obliczeń
przyjmij stopę i=5 % oraz

10
0
t 2e log(1.05)t dt  232.25 .
45. Krzywa rentowności określona jest zależnością r(t) = 0.04+t/100. Zakładając prawdziwość teorii
oczekiwań wyznacz spotowe stopy procentowe 0r1 i 0r2 w następnym roku.
Rafał Weron i zespół