Ustalony dopływ wody do studni zupełnej Według teorii Dupuita

Ustalony dopływ wody do studni zupełnej Według teorii Dupuita

©2004 Przemysław Baran – www.ar.krakow.pl\~pbaran
Ustalony dopływ wody do studni zupełnej
Według teorii Dupuita, woda do studni dostaje się w sposób radialny. Linie
ekwipotencjalne mają kształt kół, których średnice zmniejszają się wraz z bliskością
studni, a ich środki leżą w jej osi. Powierzchnia zerowego potencjału (płaszczyzna
depresji) ma kształt leja (rys. poniżej). Promień leja depresyjnego zatacza okrąg na
obwodzie którego woda gruntowa ma swoje pierwotne (naturalne) położenie.
promień leja depresyjnego
depresja
miąższość
warstwy
wodonośnej
zadana
głębokość
wody w studni
krzywa
depresji
podłoże nieprzepuszczalne
Promień leja depresyjnego, zwanego inaczej zasięgiem depresji w praktycznych
obliczeniach dla prezentowanego przypadku studni zupełnej można wyznaczyć z
formuły Kussakina:
R = 3000 ⋅ s ⋅ H ⋅ k
(1)
gdzie:
R – zasięg depresji [m]
s – depresja [m],
H – miąższość warstwy wodonośnej [m],
k – współczynnik filtracji warstwy wodonośnej [m/s].
Aby określić wydatek studni i rzędne płaszczyzny depresji (w przekroju są to rzędne
krzywej depresji), opieramy się na prawie Darcy. Uproszczony wzór na przepływ w
gruncie przyjmie poniższą postać:
Q = F ⋅v = F ⋅k ⋅i = F ⋅k ⋅
dz
dx
(2)
1
©2004 Przemysław Baran – www.ar.krakow.pl\~pbaran
gdzie:
Q – przepływ wody w gruncie [m3/s],
F – powierzchnia przez którą przepływa woda [m2],
v – prędkość filtrującej wody [m/s],
i – spadek hydrauliczny wyrażony przez stosunek różnic nieskończenie
małych wysokości z i długości x [-].
s
r
z
H
x
h
R
Bazując na teorii Dupuita, zgodnie z oznaczeniami przytoczonego wyżej przekroju,
równanie przepływu (2) otrzyma postać:
Q = z ⋅ 2 ⋅π ⋅ x ⋅ k ⋅
dz
dx
(3)
w dalszych przekształceniach otrzymamy:
1
Q ⋅ ⋅ dx = 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ z ⋅ dz
x
(4)
Po uwzględnieniu warunków brzegowych (zgodnie z powyższym rysunkiem)
równanie (4) przyjmie postać:
2
©2004 Przemysław Baran – www.ar.krakow.pl\~pbaran
R
Q⋅
∫
r
H
1
⋅ dx = 2 ⋅ π ⋅ k ⋅
x
∫ z ⋅ dz
h
(
Q ⋅ (ln R − ln r ) = π ⋅ k ⋅ H 2 − h 2
)
W ostateczności:
Q=
π ⋅ k ⋅ (H 2 − h 2 )
(5)
ln R − ln r
gdzie:
h – założony poziom zwierciadła wody w studni [m],
r – promień studni [m].
Zastępując we wzorze (5) wysokość wody w studni h wielkością depresji s:
H 2 − h 2 = (H − h ) ⋅ (H + h )
H −h = s⇒ h = H −s
H 2 − h 2 = s ⋅ (H + H − s ) = s ⋅ (2 ⋅ H − s )
możemy równanie (5) przedstawić w postaci:
Q=
π ⋅ k ⋅ s ⋅ (2 ⋅ H − s )
(5a)
ln R − ln r
W celu określenia rzędnych krzywej depresji korzystamy z równania (4) zakładając
dowolne wartości brzegowe x i z:
x
Q⋅
∫
r
z
1
⋅ dx = 2 ⋅ π ⋅ k ⋅
x
∫ z ⋅ dz
h
(
Q ⋅ (ln x − ln r ) = π ⋅ k ⋅ z 2 − h 2
Q ⋅ (ln x − ln r )
= z 2 − h2
π ⋅k
)
Stąd dla wcześniej wyliczonego przepływu Q otrzymamy:
z = h2 +
Q
⋅ (ln x − ln r )
π ⋅k
(6)
3
©2004 Przemysław Baran – www.ar.krakow.pl\~pbaran
Ustalony dopływ wody do zespołu studni
Studnie tworzące zespół muszą być tak usytuowane, aby ich leje depresyjne
faktycznie się nachodziły. Depresję zespołu studni wyznacza się stosując zasadę
superpozycji. W odniesieniu do prezentowanego problemu, zasada superpozycji
będzie polegać na zsumowaniu depresji wywołanych przez każdą ze studni w
warunkach gdy nie oddziałują one na siebie. Przeanalizujmy dwie studnie zupełne
oddziałujące na siebie.
St1
St2
2r1
2r2
H
hf2
h1
x1
hf1
z
A
h2
x2
R1
R2
R0
Korzystając z przekształconego wzoru (6) otrzymamy dla pojedynczej nie
oddziałującej studni:
h fi − hi =
2
2
Qi
Q
2
2
⋅ (ln xi − ln ri ) ⇒ h fi = i ⋅ (ln xi − ln ri ) + hi
π ⋅k
π ⋅k
(6a)
gdzie:
hfi – fikcyjna wysokość wody w odległości x od osi i-tej studni [m],
Qi – wydatek i-tej studni [m3/s].
Według teorii Forchheimera superpozycją należy objąć wartość z2 we wzorze (6).
Zatem kwadrat depresji w obszarze działania zespołu studni będzie równy sumie
kwadratów fikcyjnych depresji od poszczególnych studni:
4
©2004 Przemysław Baran – www.ar.krakow.pl\~pbaran
n
z = h f 1 + h f 2 + ... + h fn ⇒ z =
2
2
2
2
2
∑h
2
(7)
fi
i =1
gdzie:
n – liczba studni.
Łącząc (6a) z (7) otrzymamy:
n
z =
2
∑
i =1
Qi
⋅ (ln xi − ln ri ) +
π ⋅k
n
∑h
2
(8)
i
i =1
Zamiast sumy wysokości zwierciadeł wody w studniach wprowadźmy stałą C:
n
z =
2
∑ πQ⋅ k ⋅ (ln x − ln r ) + C
i
i
(9)
i
i =1
Zakładając, że wydatek każdej ze studni jest taki sam, możemy zapisać:
Q = Qi ⋅ n ⇒ Qi =
gdzie:
Q
n
(10)
Q – łączny wydatek zespołu studni [m3/s].
Łącząc (9) z (10) otrzymamy:
Q
z =
⋅
π ⋅k ⋅n
2
n
∑
i =1
⎛
(ln xi − ln ri ) + C ⇒ z = Q ⋅ ⎜⎜ ln
π ⋅k ⋅n
⎝
2
n
∏
n
xi − ln
i =1
∏
i =1
⎞
ri ⎟ + C
⎟
⎠
(11)
W celu ustalenia wartości C obierzmy sobie punkt leżący od osi wszystkich studni na
tyle daleko, że prawdziwy będzie zapis:
x1 ≈ x 2 ≈ ... ≈ x n ≈ X
(12)
Podstawiając (12) do (11):
⎛
Q
z =
⋅ ⎜ n ⋅ ln X − ln
π ⋅k ⋅n ⎜
⎝
2
n
∏
i =1
⎞
Q
ri ⎟ + C ⇒ z 2 =
⎟
π ⋅k
⎠
⎛
1
⋅ ⎜ ln X − ln
⎜
n
⎝
n
∏
i =1
⎞
ri ⎟ + C
⎟
⎠
(13)
5
©2004 Przemysław Baran – www.ar.krakow.pl\~pbaran
Po przekształceniach:
Q
C=z −
π ⋅k
2
⎛
1
⋅ ⎜ ln X − ln
⎜
n
⎝
n
∏
i =1
⎞
ri ⎟
⎟
⎠
(13a)
Zakładając warunki brzegowe: X = R0 we wzorze (13a), gdzie R0 jest zasięgiem
depresji zespołu studni, oraz z = H we wzorze (11), łącząc (13a) z (11) otrzymamy:
⎛
Q
⋅ ⎜ ln
H =
π ⋅k ⋅n ⎜
⎝
2
n
∏
2
Q
⋅ ln
H −z =
π ⋅k ⋅n
2
2
xi − ln
i =1
Q
⋅ ln
H −z =
π ⋅k ⋅n
2
n
∏
i =1
n
∏
i =1
⎞
Q
ri ⎟ + z 2 −
⎟
π ⋅k
⎠
Q
⋅ ln
xi −
π ⋅k ⋅n
n
∏
i =1
⎛
1
⋅ ⎜ ln R0 − ln
⎜
n
⎝
n
∏
i =1
⎞
ri ⎟
⎟
⎠
Q
Q
ln
⋅ ln R0 +
ri −
π ⋅k
π ⋅k ⋅n
n
∏r
i
i =1
n
∏ x − πQ⋅ k ⋅ ln R
i
0
i =1
n
⎞
⎛1
⎜
xi − ln R0 ⎟
⋅ ln
⎟
⎜n
i =1
⎠
⎝
n
⎞
1
Q ⎛⎜
xi ⎟
z2 − H 2 =
⋅ ln R0 − ln
⎟
π ⋅k ⎜
n
i =1
⎠
⎝
Q
H −z =
π ⋅k
2
2
∏
∏
Zatem, w celu obliczenia rzędnej zwierciadła wody z w dowolnym punkcie oddalonym
o x od osi każdej studni, korzystamy z poniższej formuły:
Q
z= H +
π ⋅k
2
⎛
1
⋅ ⎜ ln R0 − ln
⎜
n
⎝
n
∏
i =1
⎞
xi ⎟
⎟
⎠
(14)
6