Rozwiązanie zadania o łączeniu oporników.

Rozwiązanie zadania o łączeniu oporników.
Jacek Izdebski
4 listopada 2001 roku
1
1.1
Zadanie o łączeniu oporników.
Równolegle czy szeregowo?
W tym zadaniu wszystko wyjaśnia rysunek 1.
Rysunek 1: Każdy opornik ma opór 3 Ω. Jaki jest opór zastępczy obwodu?
Powyższy układ jest tak naprawdę połączeniem równoległym trzech oporników, więc oporność zastępczą liczy się tu wg. wzoru:
1
1
1
1
=
+ +
R
r1 r2 r3
W tym przypadku r1 = r2 = r3 = r więc powyższy wzór daje
3
1
=
R
r
czyli
R=
r
3
więc po podstawieniu danych
R = 1Ω
1
1.2
Opornikowy sześcian.
Oblicz opór zastępczy dla układu oporników z rysunku 2.
Rysunek 2: Każda krawędź tego sześcianu ma jednakowy opór r.
Rozwiązanie tego zadania nie jest trudne, gdy użyje się tricku. Sześcian trzeba podzielić, wykorzystując symetrię, na dwie części. Jedna z tych części jest
zaznaczona kolorem czerwonym na rysunku 2. Na niebiesko jest zaznaczony
opornik przez, który prąd nie płynie1 . Zielonym kolorem zostały zaznaczone
oporniki wzdłóż których przebiega myślowo poprowadzona granica pomiędzy ”kolorową” a ”czarną” częścią sześcianu. Połowa prądu jaki płynie przez
zielone oporniki należy do jednej a połowa do drugiej części sześcianu. Inaczej można powiedzieć, że sześcian tworzą dwa opory zastępcze zbudowane z
”kolorowych” oporników i połączone równolegle. Przy czym zgodnie z wcześniejszym założeniem o prądach oporniki ”zielone” traktujemy tak jak gdyby
miały opór 2r, natomiast opornik ”niebieski” tak jak gdyby go wcale nie było2
Uwzględniając to wszystko obliczymy opór zastępczy całej kolorowej części
jako
1
1
1
=
+
Rkolor
6r 2r
1
W całym układzie są dwa takie oporniki. Drugi jest położony dokładnie po przeciwnej
stronie środka symetrii sześcianu
2
Przez niego i tak prąd nie płynie, co można udowodnić z praw Kirchhoffa i Ohma, ale
i tak widać, że opornik ten łączy miejsca o jednakowym potencjale.
2
1
Rkolor
=
2
3r
czyli
Cały sześcian to dwa Rkolor
3
Rkolor = r
2
połączone równolegle.
1
2
=
R
Rkolor
Rkolor
2
3
R= r
4
Jeśli za elementarny opór r podstawimy 3 Ω wtedy
R=
R=
3
9
Ω
4