1 De nicje 2 Granica

Funkcje dwóch zmiennych
1 Denicje
Denicja
Funkcj¦
f
dwóch zmiennych okre±lon¡ na zbiorze
porz¡dkowanie ka»demu punktowi ze zbioru
Funkcj¦ tak¡ oznaczamy przez
Warto±¢ funkcji
f
w punkcie
f :A→R
(x, y)
A
lub
A ⊂ R2
o warto±ciach w
R
nazywamy przy-
dokªadnie jednej liczby rzeczywistej.
z = f (x, y),
oznaczamy przez
gdzie
(x, y) ∈ A.
f (x, y).
Denicja
Podzbiór pªaszczyzny, na którym okre±lona jest funkcja
czamy
f
nazywamy dziedzin¡ funkcji
f
i ozna-
Df .
Denicja
Wykresem funkcji
f
dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Df , z = f (x, y)}.
Denicja
Poziomic¡ wykresu funkcji
f
odpowiadaj¡c¡ poziomowi
h∈R
nazywamy zbiór
{(x, y) ∈ Df : z = f (x, y) = h}.
2 Granica
Denicja
•
Otoczeniem o promieniu
zbiór
•
r > 0 punktu P0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy
O(P0 , r) = {zbiór wszystkich punktów, których odlegªo±¢ od P0 jest mniejsza od r}.
S¡siedztwem o promieniu
zbiór
r > 0 punktu P0
S(P0 , r) = O(P0 , r) \ {P0 }.
O(P0 , r)
na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy
S(P0 , r)
r
P0
r
Je»eli promie« otoczenia (s¡siedztwa) nie b¦dzie istotny, to zbiór
oznacza¢ krótko
O(P0 ) (S(P0 )).
1
P0
O(P0 , r) (S(P0 , r))
b¦dziemy
2.1
Niech
Granica wªa±ciwa funkcji w punkcie
(x0 , y0 ) ∈ R2
oraz niech funkcja
f
b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie
S(x0 , y0 ).
Denicja
Liczba
jest granic¡ wªa±ciw¡ funkcji
g
w punkcie
f
lim
(x0 , y0 ),
co zapisujemy
f (x, y) = g,
(x,y)→(x0 ,y0 )
wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego
nale»¡cego do s¡siedztwa
S((x, y), δ)
>0
istnieje
taka, »e dla ka»dego punktu
δ >0
(x, y)
zachodzi
|f (x, y) − g| < .
2.2
Niech
Granica niewªa±ciwa funkcji w punkcie
(x0 , y0 ) ∈ R2
oraz niech funkcja
f
b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie
S(x0 , y0 ).
Denicja
Funkcji
f
ma granic¡ niewªa±ciw¡
+∞
w punkcie
lim
(x0 , y0 ),
co zapisujemy
f (x, y) = +∞,
(x,y)→(x0 ,y0 )
wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego
M >0
nale»¡cego do s¡siedztwa
zachodzi
S((x, y), δ)
istnieje
δ>0
taka, »e dla ka»dego punktu
(x, y)
f (x, y) > M.
3 Ci¡gªo±¢
Niech
(x0 , y0 ) ∈ R2
oraz niech funkcja
f
b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu
Denicja
Funkcja
f
jest ci¡gªa w punkcie
(x0 , y0 )
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
Funkcja
f
f (x, y) = f (x0 , y0 ).
jest ci¡gªa w obszarze, gdy jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego obszaru.
2
O(x0 , y0 ).